论文部分内容阅读
圆锥曲线问题是中学数学的核心内容之一，在高考数学中占有十分重要的地位。多年来，在江苏高考中多以中档题出现，对于考生分析问题、解决问题、计算技巧等各个方面的能力要求相对较高。圆锥曲线，是你让我变得“无从下手”，你是我心中永远的“痛”。痛定思痛之后，希望本文能伴你找到属于你的“痛点”！
类型一椭圆方程的求解，直线和椭圆的位置关系
【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.
分析（1）本题的关键是如何处理两点之间的距离的最值问题，其本质就是如何来设定点P的坐标，方法有两种：一般法和三角设参法；
（2）本小题可以抓住题目中的两个条件入手处理：①要求“△OAB的面积最大”首先要写出△OAB的面积表达式，而恰恰这个三角形的两条边|OA|=|OB|=1，所以可以选用∠AOB为变量用正弦定理来表示面积；②由于“点M（m，n）在椭圆C上”，故可以使用三角换元来表示m，n，借助公式S△AOB=12×|AB|×d，其中d表示圆心O到直线l的距离，弦长|AB|可以采用弦长公式或者用勾股定理来表示。
解（1）方法一：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，设P（x，y）是椭圆C上任意一点，则x2a2+y2b2=1，所以x2=a2（1-y2b2）=a2-3y2
|PQ|=x2+（y-2）2
=a2-3y2+（y-2）2
=-2（y+1）2+a2+6
当b≥1时，当y=-1时，|PQ|有最大值a2+6=3，可得a=3，
所以b=1，c=2.当b<1时，|PQ| 故椭圆C的方程为：x23+y2=1.
方法二：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，
则椭圆C：x2a2+y2a23=1，设P是椭圆C上任意一点，则Pacosθ，33asinθ，
|PQ|=（acosθ）2+33asinθ-22
=13a2+23a2cos2θ-433asinθ+4
=a2-23a2sin2θ-433asinθ+4
=-23（asinθ+3）2+6+a2
令t=asinθ∈[-a，a]，则|PQ|=-23（t+3）2+6+a2，当-3≤a≤3时，
则|PQ|max=6+a2=3，所以a=3；当a<-3或a>3时，则|PQ|<6+a2<3，所以不满足.故椭圆C的方程为：x23+y2=1.
（2）方法一：在△AOB中，|OA|=|OB|=1，S△AOB=12×|OA|×|OB|×sin∠AOB≤12，当且仅当∠AOB=90°时，S△AOB有最大值12，∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为d=22.d=221m2+n2=22m2+n2=2，m2+3n2=3m2=32，n2=12，此时点M±62，±22.
方法二：假设存在点M（m，n）满足题意，因为点M在椭圆C上，所以可设m=3cosα，n=sinα，则直线l：3cosαx+sinαy=1，点O到直线AB的距离为d=13cos2α+sin2α=12cos2α+1，所以|AB|=21-d2=21-12cos2α+1=22cos2α2cos2α+1
故S△AOB=12×|AB|×d=12×22cos2α2cos2α+1×12cos2α+1=2cos2α2cos2α+1
①当cosα≥0时，S△AOB=2cosα2cos2α+1=22cosα+1cosα≤222=12（当且仅当cosα=22时取到“=”）此时sinα=±22，所以点M62，±22，（S△AOB）max=12.
②当cosα<0时，S△AOB=-2cosα2cos2α+1=2（-2cosα）+-1cosα≤222=12（当且仅当cosα=-22时取到“=”） 此时sinα=±22，所以点M-62，±22，（S△AOB）max=12.
点拨在解决此类问题时应注意以下几点：
（1）解决圆锥曲线问题最好的方法，应该使用数形结合的方式来解题；
（2）求解有关变量的一元二次函数的最值类问题时，要注意变量的取值范围及其与对称轴之间的关系；
（3）使用基本不等式解题时要注意满足“一正、二定、三相等”。
类型二椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.
（i） 若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；
（ii） 求证：PF1+PF2是定值.
分析（1）第一小题较为容易，只要根据椭圆的性质a2=b2+c2，e=ca和已知（1，e）和e，32都在椭圆上列式求解；
（2）第二小题难度较大，如果仅仅注意到（i）中已知条件AF1-BF2=62的话，估计好多同学会往焦半径的方向上考虑；如果同时注意到（i）（ii）两个问题，估计有同学会往两点之间的距离公式上考虑，当然无论哪种考虑方式，都能都够解答。在处理（ii）时，把PF1，PF2通过所给的两平行线间线段成比例来转化为焦半径AF1，BF2来表示，这对于处理题目而言相对简单。 解（1）由题设知，a2=b2+c2，e=ca，由点（1，e）在椭圆上，得
12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1，∴c2=a2-1点e，32在椭圆上，e2a2+322b2=1c2a2+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2
∴椭圆的方程为x22+y2=1.
（2）方法一：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，
①当直线AF1斜率不存在时，易知AF1=BF2=22.
②当直线AF1斜率存在时，则设直线AF1，BF2的方程分别为y=k（x+1），y=k（x-1）（k≠0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0
∴x212+y21=1
y1=k（x1+1）1k2+2y21-2ky1-1=0y1=1k+21k2+21k2+2=k·1+2+2k21+2k2
∴AF1=x1+12+y1-02
=1ky12+y21
=1k2+1·k·1+2+2k21+2k2
=1+k2·1+2+2k21+2k2
=21+k2+1+k21+2k2①，
同理，∴BF2=21+k2-1+k21+2k2②
（i） 由①②得，∴AF1-BF2=21+k21+2k2.解21+k21+2k2=62得k2=12
∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.
（ii） 证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.
∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2）.
同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.
∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1.BF2AF1+BF2
由①②得，AF1+BF2=22k2+12k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，
∴PF1+PF2=22-22=322.∴PF1+PF2是定值.
方法二：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，
∴设AF1，BF2的方程分别为my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.
∴x212+y21=1
my1=x1+1（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.
∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y21=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2.①
同理，∴BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.②
（i） 由①②得，∴AF1-BF2=2mm2+1m2+2.
解2mm2+1m2+2=62得m2=2
∵注意到m>0，∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.
（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2，由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，∴PF1+PF2=22-22=322.
∴PF1+PF2是定值.
方法三：延长AF1交椭圆于点B′，则点B′与B点关于原点对称，
设A（x1，y1），B′（x2，y2），B（-x2，-y2），则AF1=ex1+a2c=ex1+a，BF2=ea2c-（-x2）=a+ex2
∴AF1-BF2=（ex1+a）-（a+ex2）=e（x1-x2）=62，即x1-x2=3
（i）由题意设直线AF1的方程为y=k（x+1）（k≠0），由y=k（x+1）
x22+y2=1得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=-4k22k2+12-42k2-22k2+1=3
化简得12k4+4k2-5=0，解得k2=12或k2=-56
∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2
∴AF1+BF2=（ex1+a）+（a+ex2）=e（x1+x2）+2a=22-4k22k2+1+22
∴AF1·BF2=（ex1+a）（a+ex2）=12x1x2+（x1+x2）+2=k2-12k2+1+-4k22k2+1+2
∴AF1+BF2=22（k2+1）2k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，∴PF1+PF2=22-22=322.
∴PF1+PF2是定值.
点拨在解决此类问题时应注意以下几点：
（1）注意条件“A，B是椭圆上位于x轴上方的两点”中所提到的对A，B纵坐标的要求。
（2）（i）题中条件“AF1-BF2=62”隐含了直线AF1斜率为正这一条件。
（3）当直线的斜率未确定的情况下，有两种处理方法：一种可以采用分类讨论的思想，另一种可以采用my=x+1，my=x-1，这样的直线方程假设方式就可以避免讨论。
奇思妙想 已知椭圆C：x2a2+y2=1（a>1）的右焦点为F（c，0）（c>1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P在第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q，R.
（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；
（2）若椭圆离心率为32，求线段
类型一椭圆方程的求解，直线和椭圆的位置关系
【例1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=23，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由.
分析（1）本题的关键是如何处理两点之间的距离的最值问题，其本质就是如何来设定点P的坐标，方法有两种：一般法和三角设参法；
（2）本小题可以抓住题目中的两个条件入手处理：①要求“△OAB的面积最大”首先要写出△OAB的面积表达式，而恰恰这个三角形的两条边|OA|=|OB|=1，所以可以选用∠AOB为变量用正弦定理来表示面积；②由于“点M（m，n）在椭圆C上”，故可以使用三角换元来表示m，n，借助公式S△AOB=12×|AB|×d，其中d表示圆心O到直线l的距离，弦长|AB|可以采用弦长公式或者用勾股定理来表示。
解（1）方法一：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，设P（x，y）是椭圆C上任意一点，则x2a2+y2b2=1，所以x2=a2（1-y2b2）=a2-3y2
|PQ|=x2+（y-2）2
=a2-3y2+（y-2）2
=-2（y+1）2+a2+6
当b≥1时，当y=-1时，|PQ|有最大值a2+6=3，可得a=3，
所以b=1，c=2.当b<1时，|PQ|
方法二：设c=a2-b2，由e=ca=23c2=23a2，所以b2=a2-c2=13a2，
则椭圆C：x2a2+y2a23=1，设P是椭圆C上任意一点，则Pacosθ，33asinθ，
|PQ|=（acosθ）2+33asinθ-22
=13a2+23a2cos2θ-433asinθ+4
=a2-23a2sin2θ-433asinθ+4
=-23（asinθ+3）2+6+a2
令t=asinθ∈[-a，a]，则|PQ|=-23（t+3）2+6+a2，当-3≤a≤3时，
则|PQ|max=6+a2=3，所以a=3；当a<-3或a>3时，则|PQ|<6+a2<3，所以不满足.故椭圆C的方程为：x23+y2=1.
（2）方法一：在△AOB中，|OA|=|OB|=1，S△AOB=12×|OA|×|OB|×sin∠AOB≤12，当且仅当∠AOB=90°时，S△AOB有最大值12，∠AOB=90°时，点O到直线AB的距离为d=22.d=221m2+n2=22m2+n2=2，m2+3n2=3m2=32，n2=12，此时点M±62，±22.
方法二：假设存在点M（m，n）满足题意，因为点M在椭圆C上，所以可设m=3cosα，n=sinα，则直线l：3cosαx+sinαy=1，点O到直线AB的距离为d=13cos2α+sin2α=12cos2α+1，所以|AB|=21-d2=21-12cos2α+1=22cos2α2cos2α+1
故S△AOB=12×|AB|×d=12×22cos2α2cos2α+1×12cos2α+1=2cos2α2cos2α+1
①当cosα≥0时，S△AOB=2cosα2cos2α+1=22cosα+1cosα≤222=12（当且仅当cosα=22时取到“=”）此时sinα=±22，所以点M62，±22，（S△AOB）max=12.
②当cosα<0时，S△AOB=-2cosα2cos2α+1=2（-2cosα）+-1cosα≤222=12（当且仅当cosα=-22时取到“=”） 此时sinα=±22，所以点M-62，±22，（S△AOB）max=12.
点拨在解决此类问题时应注意以下几点：
（1）解决圆锥曲线问题最好的方法，应该使用数形结合的方式来解题；
（2）求解有关变量的一元二次函数的最值类问题时，要注意变量的取值范围及其与对称轴之间的关系；
（3）使用基本不等式解题时要注意满足“一正、二定、三相等”。
类型二椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.
（i） 若AF1-BF2=62，求直线AF1的斜率；
（ii） 求证：PF1+PF2是定值.
分析（1）第一小题较为容易，只要根据椭圆的性质a2=b2+c2，e=ca和已知（1，e）和e，32都在椭圆上列式求解；
（2）第二小题难度较大，如果仅仅注意到（i）中已知条件AF1-BF2=62的话，估计好多同学会往焦半径的方向上考虑；如果同时注意到（i）（ii）两个问题，估计有同学会往两点之间的距离公式上考虑，当然无论哪种考虑方式，都能都够解答。在处理（ii）时，把PF1，PF2通过所给的两平行线间线段成比例来转化为焦半径AF1，BF2来表示，这对于处理题目而言相对简单。 解（1）由题设知，a2=b2+c2，e=ca，由点（1，e）在椭圆上，得
12a2+e2b2=11a2+c2a2b2=1b2+c2=a2b2a2=a2b2b2=1，∴c2=a2-1点e，32在椭圆上，e2a2+322b2=1c2a2+3221=1a2-1a4+34=1a4-4a2+4=0a2=2
∴椭圆的方程为x22+y2=1.
（2）方法一：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，
①当直线AF1斜率不存在时，易知AF1=BF2=22.
②当直线AF1斜率存在时，则设直线AF1，BF2的方程分别为y=k（x+1），y=k（x-1）（k≠0）
设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0
∴x212+y21=1
y1=k（x1+1）1k2+2y21-2ky1-1=0y1=1k+21k2+21k2+2=k·1+2+2k21+2k2
∴AF1=x1+12+y1-02
=1ky12+y21
=1k2+1·k·1+2+2k21+2k2
=1+k2·1+2+2k21+2k2
=21+k2+1+k21+2k2①，
同理，∴BF2=21+k2-1+k21+2k2②
（i） 由①②得，∴AF1-BF2=21+k21+2k2.解21+k21+2k2=62得k2=12
∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.
（ii） 证明：∵AF1∥BF2，∴PBPF1=BF2AF1，即PBPF1+1=BF2AF1+1PB+PF1PF1=BF2+AF1AF1.
∴PF1=AF1AF1+BF2BF1.由点B在椭圆上知，BF1+BF2=22，∴PF1=AF1AF1+BF2（22-BF2）.
同理PF2=BF2AF1+BF2（22-AF1）.
∴PF1+PF2=AF1AF1+BF2（22-BF2）+BF2AF1+BF222-AF1=22-2AF1.BF2AF1+BF2
由①②得，AF1+BF2=22k2+12k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，
∴PF1+PF2=22-22=322.∴PF1+PF2是定值.
方法二：由（1）得F1（-1，0），F2（1，0），又∵AF1∥BF2，
∴设AF1，BF2的方程分别为my=x+1，my=x-1，A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.
∴x212+y21=1
my1=x1+1（m2+2）y21-2my1-1=0y1=m+2m2+2m2+2.
∴AF1=（x1+1）2+（y1-0）2=（my1）2+y21=m2+1·m+2m2+2m2+2=2（m2+1）+mm2+1m2+2.①
同理，∴BF2=2（m2+1）-mm2+1m2+2.②
（i） 由①②得，∴AF1-BF2=2mm2+1m2+2.
解2mm2+1m2+2=62得m2=2
∵注意到m>0，∴m=2.∴直线AF1的斜率为1m=22.
（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2，由①②得，AF1+BF2=22（m2+1）m2+2，AF1·BF2=m2+1m2+2，∴PF1+PF2=22-22=322.
∴PF1+PF2是定值.
方法三：延长AF1交椭圆于点B′，则点B′与B点关于原点对称，
设A（x1，y1），B′（x2，y2），B（-x2，-y2），则AF1=ex1+a2c=ex1+a，BF2=ea2c-（-x2）=a+ex2
∴AF1-BF2=（ex1+a）-（a+ex2）=e（x1-x2）=62，即x1-x2=3
（i）由题意设直线AF1的方程为y=k（x+1）（k≠0），由y=k（x+1）
x22+y2=1得（2k2+1）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=-4k22k2+1，x1x2=2k2-22k2+1
∴（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=-4k22k2+12-42k2-22k2+1=3
化简得12k4+4k2-5=0，解得k2=12或k2=-56
∵注意到k>0，∴k=22.∴直线AF1的斜率为22.（ii） 证明：同方法一可以得到，∴PF1+PF2=22-2AF1·BF2AF1+BF2
∴AF1+BF2=（ex1+a）+（a+ex2）=e（x1+x2）+2a=22-4k22k2+1+22
∴AF1·BF2=（ex1+a）（a+ex2）=12x1x2+（x1+x2）+2=k2-12k2+1+-4k22k2+1+2
∴AF1+BF2=22（k2+1）2k2+1，AF1·BF2=k2+12k2+1，∴PF1+PF2=22-22=322.
∴PF1+PF2是定值.
点拨在解决此类问题时应注意以下几点：
（1）注意条件“A，B是椭圆上位于x轴上方的两点”中所提到的对A，B纵坐标的要求。
（2）（i）题中条件“AF1-BF2=62”隐含了直线AF1斜率为正这一条件。
（3）当直线的斜率未确定的情况下，有两种处理方法：一种可以采用分类讨论的思想，另一种可以采用my=x+1，my=x-1，这样的直线方程假设方式就可以避免讨论。
奇思妙想 已知椭圆C：x2a2+y2=1（a>1）的右焦点为F（c，0）（c>1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P在第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q，R.
（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；
（2）若椭圆离心率为32，求线段