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年年岁岁花相似，岁岁年年题不同，经过几年的探索，创新题型日趋成熟，近两年，创新题渗透在高考压轴题中，这些试题立足于课本，着眼于能力，要求考生能够综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立地思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.
例1 （2011年高考江西卷第21题）
（Ⅰ）如图（图1），对于任一给定的四面体[A1A2A3A4]，找出依次排列的四个相互平行的平面 [α1、α2、α3、α4]，使得[Ai∈αi]（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
[图1][图2]
（Ⅱ）给定依次排列的四个相互平行的平面[α1、α2、α3、α4]，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体[A1A2A3A4]的四个顶点满足[Ai∈αi]（i=1,2,3,4），求该正四面体[A1A2A3A4]的体积.
分析 题目要求找出满足条件的平行平面[αi]，使得[Ai∈αi]（i=1,2,3,4）. 我们在课本中寻找题根，联想到课本中的两个平行平面的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 继而进一步推导有：一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行. 由此在平面[α2]中找出两条相交直线[A2P2]、[MP2]分别和平面[α3]中两条相交直线[NP3]、[A3P3]平行.
解 （Ⅰ）如图（图2）所示，取[A1A4]的三等分点[P2、P3]，[A1A3]的中点[M]，[A2A4]的中点[N]，过三点[A2、P2、M]作平面[α2]，过三点[A3、P3、N]作平面[α3]，由[A2P2]∥[NP3]，[MP2]∥[A3P3]，有平面[α2]∥平面[α3]，再过[A1、A4]分别作平面[α1、α4]与平面[α2]平行，那么四个平面[α1、α2、α3、α4]依次互相平行，由线段[A1A4]被平面[α1、α2、α3、α4]截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故[α1、α2、α3、α4]为所求平面.
（Ⅱ）联想到正四面体与正方体的联系，我们将正四面体镶嵌在正方体中解决问题.
将正四面体[A1A2A3A4]置于一个正方体[AA3CA2-A1B1A4D]中(图3)，[E1、F1]分别是[A1B1、C1D1]的中点，[EE1D1D]和[BB1F1F]是两个平行平面，若其距离为1，则正四面体[A1A2A3A4]即为满足条件的正四面体. 图4表示的是正方体的上底面，现设正方体的棱长为[a]，则正四面体的棱长为[2a.]由两个平行平面[EE1D1D]和[BB1F1F]的距离为1，则有[A1M=MN=1,][A1E1=a2]，[D1E1=A1D21+A1E21][=52a].由于[A1D1×A1E1=][A1M×D1E1,]得[a=5]，于是正四面体的棱长为[d=2a=10]，其体积为[V=13sh=13×34×(10)2×63×(10)=553].
[图4][图3]
点拨 对于（Ⅰ），找线与线平行时，要充分考虑[P2,P3]是[A1A4]的三等分点，联想到在其它线段上取三等分点或中点.
对于（Ⅱ），也可以利用整体思维的方法，利用割补法求正四面体的体积. 注意到正四面体的体积即为一个棱长为[a]的正方体割去四个相同的直角三棱锥后的体积，即[V=a3-4×13a×12a2=13a3=553.]
如果是理科生，还可以利用空间直角坐标系求解：
当（Ⅰ）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两个平面间的距离为1，则正四面体[A1A2A3A4]就是满足题意的正四面体.
设正四面体的棱长为[b]，以[ΔA2A3A4]的中心[O]为原点，以直线[A4O]为[y]轴，直线[OA1]为[z]轴建立如图2所示的坐标系. 则有[A10,0,63b]，[A2-b2,36b,0]，[A3b2,36b,0]，[A40,-33b,0].
令[P2、P3]为[A1A4]的三等分点，[N]为[A2A4]的中点，有[P30,-239b,69b]，[N-b4,-312b,0]，所以[P3N=-b4,5336b,-69b]，[NA3=3b4,34b,0]，[A4N=-b4,34b,0].
设平面[A3P3N]的法向量[n=x,y,z]，有[n⋅P3N=0n⋅NA3=0,]可以得到[n=1,-3,-6].
因为平面[α1、α2、α3、α4]相邻平面间的距离为1，所以点[A4]到平面[A3P3N]的距离为
[d=A4N⋅nn]
[=-b4×1+3b4×-3+0×-61+-32+-62]，
由题设[d=1]，解得[b=10].
由此可得，边长为[10]的正四面体[A1A2A3A4]满足条件，所以所求正四面体的体积为
[V=13Sh=13×34b2×63b=212b3=535].
例2 （2011年高考上海卷第23题）已知平面上的线段[l]及点[P]，在[l]上任取一点[Q]，线段[PQ]长度的最小值称为点[P]到线段[l]的距离，记作[d(P,l)].
（Ⅰ）求点[P(1,1)]到线段[l:x-y-3=0(3≤x≤5)]的距离[d(P,l)]；
（Ⅱ）设[l]是长为2的线段，求点集[D={P|d(P,l)≤1}]所表示图形的面积；
（Ⅲ）写出到两条线段[l1、l2]距离相等的点的集合[Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)}]，其中[l1=AB,l2=CD]，[A、B、C、D]是下列三组点中的一组. 对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分. 若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)].
②[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)].
③[A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)].
分析 这里的距离是一个新概念，但是我们在课本中能够寻找到它的题根，即是点和直线的距离，点和线段上的点的距离. 点线距离要充分考虑抛物线的定义，点点距离则考虑两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解.
解 （Ⅰ）设[Q(x,x-3)]是线段[l:x-y-3=0][(3≤x≤5)]上一点，则
[|PQ|=(x-1)2+(x-4)2]
[=2(x-52)2+92(3≤x≤5)]，
当[x=3]时，[d(P,l)=|PQ|min=5].
（Ⅱ）设线段[l]的端点分别为[A、B]，以直线[AB]为[x]轴，[AB]的中点为原点建立直角坐标系，
则[A(-1,0),B(1,0)]，点集[D]由如下曲线围成：
[l1:y=1(|x|≤1),l2:y=-1(|x|≤1)]，
[C1:(x+1)2+y2=1(x≤-1),]
[C2:(x-1)2+y2=1(x≥1)]，
其面积为[S=4+π].
（Ⅲ）①选择[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)]，
[Ω={(x,y)|x=0}]. 如①题图.
②选择[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)].
[Ω={(x,y)|x=0,y≥0}⋃{(x,y)|y2=4x,]
[-2≤y<0}⋃{(x,y)|x+y+1=0,x>1}].
如②题图.
③ 选择[A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)].
[Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}⋃{(x,y)|y=x,02}]. 如③题图.
[①题图][③题图][②题图]
点拨 对于（Ⅱ），要正确理解平面区域[D={P|d(P,l)≤1}]的含义，准确地画出它的图形，先定形，再来求面积.
对于（Ⅲ）中的②，对照课本中的概念：点点距离则考虑两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解. 若一个点到一个定点的距离和定直线距离相等，要联想到抛物线的定义.
对于（Ⅲ）中的③，要注意罗列出各种情况，进行讨论. 充分考虑到题中的两点[B、C]重合. 这里会出现4种不同的情形. 情形1： [d(P,l1)=d(P,l2)=PB]；这是点点距离，轨迹是一个区域[Ω1={(x,y)|x≤0,y≤0}]；情形2：点到线段[AB]和[BD]的距离相等，这是点线距离，轨迹是[∠ABD]的平分线上的点，这是一条线段，[Ω2={(x,y)|y=x,0≤x≤1}]；情形3：到点[A]和线段[BD]的距离相等，这是点线距离，联想到抛物线的定义，其轨迹是抛物线上的一段，[Ω3={(x,y)|x2=2y-1,1≤x≤2}]；情形4：到点[A]和点[B]的距离相等，其轨迹是线段[AB]的垂直平分线上的一段，[Ω4][={(x,y)|4x-2y-3=0,x≥2}]. 在解答过程中，要警觉题目中“长度的最小值”这一概念，对于所求出的表达式，要注意自变量的取值范围，做到剥茧抽丝，周密细致.
例3 (2010年高考安徽卷第21题)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出[n]瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这[n]瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设[n=4]，分别以[a1、a2、a3、a4]表示第一次排序时被排为1、2、3、4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
[X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4]，
则[X]是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（Ⅰ）写出[X]的可能值集合；
（Ⅱ）假设[a1、a2、a3、a4]等可能地为1、2、3、4的各种排列，求[X]的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有[X≤2]，
①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
分析 确定问题（Ⅰ）的求解是本题的关键,因情况较多，分类讨论比较简单.
解 （Ⅰ）根据与[1、2、3、4]的顺序是否相同，可考虑分为四种情况：完全相同、有且只有两个相同、仅一个相同或完全不同. 完全相同时只有一种结果，此时[X=0]；有且只有两个相同时，共有[C24=6]种情况，其中[X=2]时有三种情况，[X=4]时有两种情况，[X=6]时有一种情况；仅有一个相同时共有[2C14=8]种情况，其中[X=4]时有四种情况，[X=6]时有四种情况；完全不同时共有[3×3×1×1=9]种情况，其中[X=4]时有一种情况，[X=6]时有四种情况，[X=8]时四种情况. 其中每一类可用列表或树状图列出排列,再计算每种排列下的[X]的值，综合可得[X]的可能值集合为[{0,2,4,6,8}].
（Ⅱ）由（1）及等可能性事件的概率计算,得到[X]的分布列为
（Ⅲ）①首先[p(X≤2)=p(X=0)+p(X=2)=16]，将三轮测试都有[X≤2]的概率记作[p]. 由上述结果和独立性假设,得[p=163=1216].
②由于[p=1216<51000]是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有[X≤2]的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.
点拨 在进行分类讨论时，首先要确定分类标准，再进行分类，进行分类时要做到既不重复也不遗漏. 同时本题利用小概率事件解释现实生活问题，这是概率思想的重要体现. 此题分类讨论比较复杂，容易出错，在解题时，要做到周密、准确.
【专题训练十一】
1. 若自然数[n]使得作竖式加法[n+(n+1)+(n+2)]均不产生进位现象，则称[n]为“良数”. 例如：32是“良数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因23+24+25产生进位现象. 那么，小于1000的“良数”的个数为（ ）
A. 27 B. 36 C. 39 D. 48
2. 设[a=(a1,a2),b=(b1,b2)]，定义一种向量积：[a][⊗][b]＝([a1b1，a2b2]). 已知点[P(θ,sinθ)]，[m]＝[(2,12)]，[n]＝[(π3,0)]，点Q在[y＝f(x)]的图象上运动，满足[OQ]＝[m][⊗][OP]＋[n] (其中[O]为坐标原点)，则[y＝f(x)]的最大值[A]及最小正周期[T]分别为（ ）
A. 2，π B. 2,4π
C. [12]，4π D. [12]，π
3. 函数[f(x)=i=119x-i]的最小值为（ ）
A. [190] B. [171]
C. [90] D. [45]
4. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为[τ1、τ2、τ3、τ4]，则列关系中正确的为（ ）
A. [τ1>τ4>τ3] B. [τ3>τ1>τ2]
C. [τ4>τ2>τ3] D. [τ3>τ4>τ1]
5. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 双曲线
6. 过圆[C: (x-1)2+(y-1)2=1]的圆心，作直线分别交[x]、[y]正半轴于点[A]、[B]，[△AOB]被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足[SI+SIV=SII+SIII,]则直线[AB]有（ ）
[Ⅰ][Ⅱ][Ⅲ][Ⅳ]
A. [0]条 B. [1]条 C. [2]条 D. [3]条
7. 设函数[f(x)=ax2+bx+c(a<0)]的定义域为[D]，若所有点[(s,f(t))(s,t∈D)]构成一个正方形区域，则[a]的值为（ ）
A. [-2] B. [-4]
C. [-8] D. 不能确定w
8. 已知函数[f(x)=log2(4+16-x2)]，命题[p]：“[∃ x0∈R]，使[f2(x0)+af(x0)+1=0]”，则在区间[[-4,1]]上随机取一个数[a]，命题[p]为真命题的概率为（ ）
A. [16] B. [13] C. [23] D. [56]
9. 已知[fx]是定义在[R]上的函数，且[fx=1+fx-21-fx-2]，若[f1=2+3]，则[f2011]等于（ ）
A. [3-2] B. [3+2]
C. [-3] D. [3]
10. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点[A]、[B]是它的焦点，长轴长为[2a]，焦距为[2c]，静放在点[A]的小球（小球的半径不计），从点[A]沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点[A]时，小球经过的路程是（ ）
A. [4a] B. [2(a-c)]
C. [2(a+c)] D. 以上答案均有可能
11. 设有一个正方形网络. 其中每个小正方形的边长都为[6cm]，现用直径为[2cm]的硬币投掷到此网络上，硬币落下后与格线有公共点的概率为 .
12. 已知命题：平面上一矩形[ABCD]的对角线[AC]与边[AB]和[AD]所成角分别为[α 、 β]，[cos2α+cos2β=1]. 若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题： .
13. 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为 .
14. 一个将字符串“ABCDEFG” 变成字符串“CDABFGE”的置换为一次运算，则从字符串“一行白鹭上青天”开始，经过2011次运算后的字符串为 .
15. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .
16. 设锐角[△ABC]的内角[A、B、C]的对边分别是[a]、[b]、[c]，且[3 a=2bsinA].
（Ⅰ）求[B]的大小；
（Ⅱ）求[sinA+sinC]的取值范围.
17. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为[a]的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，求[a]的取值范围.
18. 在数列[an]、[bn]中，[a1=2]，[b1=4]，且[an、bn、an+1]成等差数列，[bn、an+1、bn+1]成等比数列（[n∈N*]）.
（Ⅰ）求[a2、a3、a4]及[b2、b3、b4]，由此猜测[an]、[bn]的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：[1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512].
19. （Ⅰ）已知：[a、b、x]均是正数，且[a>b]，求证：[1 （Ⅱ）当[a、b、x]均是正数，且[a （Ⅲ）证明：[△ABC]中，[sinAsinB+sinC+sinBsinC+sinA][+sinCsinA+sinB<2]（可直接应用第（Ⅰ）、（Ⅱ）小题结论）；
（Ⅳ）自己设计一道可直接应用第（Ⅰ）、（Ⅱ）小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程.
20. 已知椭圆[C]的两个焦点分别为[F1]和[F2]，且点[A(-5,0)、B(5,0)]在椭圆[C]上，又[F1(-5,4)].
（Ⅰ）求焦点[F2]的轨迹[Γ]的方程；
（Ⅱ）若直线[y=kx+b(k>0)]与曲线[Γ]交于[M、N]两点，以[MN]为直径的圆经过原点，求实数[b]的取值范围.
21. 已知[a、b]是实数，函数[f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,] [f(x)]和[g(x)]是[f(x)、g(x)]的导函数，若[f(x)g(x)≥0]在区间I上恒成立，则称[f(x)]和[g(x)]在区间I上单调性一致.
（Ⅰ）设[a>0]，若函数[f(x)]和[g(x)]在区间[[-1,+∞)]上单调性一致,求实数[b]的取值范围；
（Ⅱ）设[a<0,]且[a≠b]，若函数[f(x)]和[g(x)]在以[a]、[b]为端点的开区间上单调性一致，求[|a-b|]的最大值.
例1 （2011年高考江西卷第21题）
（Ⅰ）如图（图1），对于任一给定的四面体[A1A2A3A4]，找出依次排列的四个相互平行的平面 [α1、α2、α3、α4]，使得[Ai∈αi]（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；
[图1][图2]
（Ⅱ）给定依次排列的四个相互平行的平面[α1、α2、α3、α4]，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体[A1A2A3A4]的四个顶点满足[Ai∈αi]（i=1,2,3,4），求该正四面体[A1A2A3A4]的体积.
分析 题目要求找出满足条件的平行平面[αi]，使得[Ai∈αi]（i=1,2,3,4）. 我们在课本中寻找题根，联想到课本中的两个平行平面的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 继而进一步推导有：一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，则这两个平面平行. 由此在平面[α2]中找出两条相交直线[A2P2]、[MP2]分别和平面[α3]中两条相交直线[NP3]、[A3P3]平行.
解 （Ⅰ）如图（图2）所示，取[A1A4]的三等分点[P2、P3]，[A1A3]的中点[M]，[A2A4]的中点[N]，过三点[A2、P2、M]作平面[α2]，过三点[A3、P3、N]作平面[α3]，由[A2P2]∥[NP3]，[MP2]∥[A3P3]，有平面[α2]∥平面[α3]，再过[A1、A4]分别作平面[α1、α4]与平面[α2]平行，那么四个平面[α1、α2、α3、α4]依次互相平行，由线段[A1A4]被平面[α1、α2、α3、α4]截得的线段相等知，其中每相邻两个平面间的距离相等，故[α1、α2、α3、α4]为所求平面.
（Ⅱ）联想到正四面体与正方体的联系，我们将正四面体镶嵌在正方体中解决问题.
将正四面体[A1A2A3A4]置于一个正方体[AA3CA2-A1B1A4D]中(图3)，[E1、F1]分别是[A1B1、C1D1]的中点，[EE1D1D]和[BB1F1F]是两个平行平面，若其距离为1，则正四面体[A1A2A3A4]即为满足条件的正四面体. 图4表示的是正方体的上底面，现设正方体的棱长为[a]，则正四面体的棱长为[2a.]由两个平行平面[EE1D1D]和[BB1F1F]的距离为1，则有[A1M=MN=1,][A1E1=a2]，[D1E1=A1D21+A1E21][=52a].由于[A1D1×A1E1=][A1M×D1E1,]得[a=5]，于是正四面体的棱长为[d=2a=10]，其体积为[V=13sh=13×34×(10)2×63×(10)=553].
[图4][图3]
点拨 对于（Ⅰ），找线与线平行时，要充分考虑[P2,P3]是[A1A4]的三等分点，联想到在其它线段上取三等分点或中点.
对于（Ⅱ），也可以利用整体思维的方法，利用割补法求正四面体的体积. 注意到正四面体的体积即为一个棱长为[a]的正方体割去四个相同的直角三棱锥后的体积，即[V=a3-4×13a×12a2=13a3=553.]
如果是理科生，还可以利用空间直角坐标系求解：
当（Ⅰ）中的四面体为正四面体，若所得的四个平行平面，每相邻两个平面间的距离为1，则正四面体[A1A2A3A4]就是满足题意的正四面体.
设正四面体的棱长为[b]，以[ΔA2A3A4]的中心[O]为原点，以直线[A4O]为[y]轴，直线[OA1]为[z]轴建立如图2所示的坐标系. 则有[A10,0,63b]，[A2-b2,36b,0]，[A3b2,36b,0]，[A40,-33b,0].
令[P2、P3]为[A1A4]的三等分点，[N]为[A2A4]的中点，有[P30,-239b,69b]，[N-b4,-312b,0]，所以[P3N=-b4,5336b,-69b]，[NA3=3b4,34b,0]，[A4N=-b4,34b,0].
设平面[A3P3N]的法向量[n=x,y,z]，有[n⋅P3N=0n⋅NA3=0,]可以得到[n=1,-3,-6].
因为平面[α1、α2、α3、α4]相邻平面间的距离为1，所以点[A4]到平面[A3P3N]的距离为
[d=A4N⋅nn]
[=-b4×1+3b4×-3+0×-61+-32+-62]，
由题设[d=1]，解得[b=10].
由此可得，边长为[10]的正四面体[A1A2A3A4]满足条件，所以所求正四面体的体积为
[V=13Sh=13×34b2×63b=212b3=535].
例2 （2011年高考上海卷第23题）已知平面上的线段[l]及点[P]，在[l]上任取一点[Q]，线段[PQ]长度的最小值称为点[P]到线段[l]的距离，记作[d(P,l)].
（Ⅰ）求点[P(1,1)]到线段[l:x-y-3=0(3≤x≤5)]的距离[d(P,l)]；
（Ⅱ）设[l]是长为2的线段，求点集[D={P|d(P,l)≤1}]所表示图形的面积；
（Ⅲ）写出到两条线段[l1、l2]距离相等的点的集合[Ω={P|d(P,l1)=d(P,l2)}]，其中[l1=AB,l2=CD]，[A、B、C、D]是下列三组点中的一组. 对于下列三组点只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分. 若选择了多于一种的情形，则按照序号较小的解答计分.
①[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)].
②[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)].
③[A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)].
分析 这里的距离是一个新概念，但是我们在课本中能够寻找到它的题根，即是点和直线的距离，点和线段上的点的距离. 点线距离要充分考虑抛物线的定义，点点距离则考虑两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解.
解 （Ⅰ）设[Q(x,x-3)]是线段[l:x-y-3=0][(3≤x≤5)]上一点，则
[|PQ|=(x-1)2+(x-4)2]
[=2(x-52)2+92(3≤x≤5)]，
当[x=3]时，[d(P,l)=|PQ|min=5].
（Ⅱ）设线段[l]的端点分别为[A、B]，以直线[AB]为[x]轴，[AB]的中点为原点建立直角坐标系，
则[A(-1,0),B(1,0)]，点集[D]由如下曲线围成：
[l1:y=1(|x|≤1),l2:y=-1(|x|≤1)]，
[C1:(x+1)2+y2=1(x≤-1),]
[C2:(x-1)2+y2=1(x≥1)]，
其面积为[S=4+π].
（Ⅲ）①选择[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,0)]，
[Ω={(x,y)|x=0}]. 如①题图.
②选择[A(1,3),B(1,0),C(-1,3),D(-1,-2)].
[Ω={(x,y)|x=0,y≥0}⋃{(x,y)|y2=4x,]
[-2≤y<0}⋃{(x,y)|x+y+1=0,x>1}].
如②题图.
③ 选择[A(0,1),B(0,0),C(0,0),D(2,0)].
[Ω={(x,y)|x≤0,y≤0}⋃{(x,y)|y=x,0
[①题图][③题图][②题图]
点拨 对于（Ⅱ），要正确理解平面区域[D={P|d(P,l)≤1}]的含义，准确地画出它的图形，先定形，再来求面积.
对于（Ⅲ）中的②，对照课本中的概念：点点距离则考虑两点间的距离公式，利用二次函数的性质求解. 若一个点到一个定点的距离和定直线距离相等，要联想到抛物线的定义.
对于（Ⅲ）中的③，要注意罗列出各种情况，进行讨论. 充分考虑到题中的两点[B、C]重合. 这里会出现4种不同的情形. 情形1： [d(P,l1)=d(P,l2)=PB]；这是点点距离，轨迹是一个区域[Ω1={(x,y)|x≤0,y≤0}]；情形2：点到线段[AB]和[BD]的距离相等，这是点线距离，轨迹是[∠ABD]的平分线上的点，这是一条线段，[Ω2={(x,y)|y=x,0≤x≤1}]；情形3：到点[A]和线段[BD]的距离相等，这是点线距离，联想到抛物线的定义，其轨迹是抛物线上的一段，[Ω3={(x,y)|x2=2y-1,1≤x≤2}]；情形4：到点[A]和点[B]的距离相等，其轨迹是线段[AB]的垂直平分线上的一段，[Ω4][={(x,y)|4x-2y-3=0,x≥2}]. 在解答过程中，要警觉题目中“长度的最小值”这一概念，对于所求出的表达式，要注意自变量的取值范围，做到剥茧抽丝，周密细致.
例3 (2010年高考安徽卷第21题)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出[n]瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这[n]瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试. 根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.
现设[n=4]，分别以[a1、a2、a3、a4]表示第一次排序时被排为1、2、3、4的四种酒在第二次排序时的序号，并令
[X=1-a1+2-a2+3-a3+4-a4]，
则[X]是对两次排序的偏离程度的一种描述.
（Ⅰ）写出[X]的可能值集合；
（Ⅱ）假设[a1、a2、a3、a4]等可能地为1、2、3、4的各种排列，求[X]的分布列；
（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有[X≤2]，
①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；
②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.
分析 确定问题（Ⅰ）的求解是本题的关键,因情况较多，分类讨论比较简单.
解 （Ⅰ）根据与[1、2、3、4]的顺序是否相同，可考虑分为四种情况：完全相同、有且只有两个相同、仅一个相同或完全不同. 完全相同时只有一种结果，此时[X=0]；有且只有两个相同时，共有[C24=6]种情况，其中[X=2]时有三种情况，[X=4]时有两种情况，[X=6]时有一种情况；仅有一个相同时共有[2C14=8]种情况，其中[X=4]时有四种情况，[X=6]时有四种情况；完全不同时共有[3×3×1×1=9]种情况，其中[X=4]时有一种情况，[X=6]时有四种情况，[X=8]时四种情况. 其中每一类可用列表或树状图列出排列,再计算每种排列下的[X]的值，综合可得[X]的可能值集合为[{0,2,4,6,8}].
（Ⅱ）由（1）及等可能性事件的概率计算,得到[X]的分布列为
（Ⅲ）①首先[p(X≤2)=p(X=0)+p(X=2)=16]，将三轮测试都有[X≤2]的概率记作[p]. 由上述结果和独立性假设,得[p=163=1216].
②由于[p=1216<51000]是一个很小的概率,这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有[X≤2]的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.
点拨 在进行分类讨论时，首先要确定分类标准，再进行分类，进行分类时要做到既不重复也不遗漏. 同时本题利用小概率事件解释现实生活问题，这是概率思想的重要体现. 此题分类讨论比较复杂，容易出错，在解题时，要做到周密、准确.
【专题训练十一】
1. 若自然数[n]使得作竖式加法[n+(n+1)+(n+2)]均不产生进位现象，则称[n]为“良数”. 例如：32是“良数”，因32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因23+24+25产生进位现象. 那么，小于1000的“良数”的个数为（ ）
A. 27 B. 36 C. 39 D. 48
2. 设[a=(a1,a2),b=(b1,b2)]，定义一种向量积：[a][⊗][b]＝([a1b1，a2b2]). 已知点[P(θ,sinθ)]，[m]＝[(2,12)]，[n]＝[(π3,0)]，点Q在[y＝f(x)]的图象上运动，满足[OQ]＝[m][⊗][OP]＋[n] (其中[O]为坐标原点)，则[y＝f(x)]的最大值[A]及最小正周期[T]分别为（ ）
A. 2，π B. 2,4π
C. [12]，4π D. [12]，π
3. 函数[f(x)=i=119x-i]的最小值为（ ）
A. [190] B. [171]
C. [90] D. [45]
4. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为[τ1、τ2、τ3、τ4]，则列关系中正确的为（ ）
A. [τ1>τ4>τ3] B. [τ3>τ1>τ2]
C. [τ4>τ2>τ3] D. [τ3>τ4>τ1]
5. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 椭圆
C. 抛物线 D. 双曲线
6. 过圆[C: (x-1)2+(y-1)2=1]的圆心，作直线分别交[x]、[y]正半轴于点[A]、[B]，[△AOB]被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足[SI+SIV=SII+SIII,]则直线[AB]有（ ）
[Ⅰ][Ⅱ][Ⅲ][Ⅳ]
A. [0]条 B. [1]条 C. [2]条 D. [3]条
7. 设函数[f(x)=ax2+bx+c(a<0)]的定义域为[D]，若所有点[(s,f(t))(s,t∈D)]构成一个正方形区域，则[a]的值为（ ）
A. [-2] B. [-4]
C. [-8] D. 不能确定w
8. 已知函数[f(x)=log2(4+16-x2)]，命题[p]：“[∃ x0∈R]，使[f2(x0)+af(x0)+1=0]”，则在区间[[-4,1]]上随机取一个数[a]，命题[p]为真命题的概率为（ ）
A. [16] B. [13] C. [23] D. [56]
9. 已知[fx]是定义在[R]上的函数，且[fx=1+fx-21-fx-2]，若[f1=2+3]，则[f2011]等于（ ）
A. [3-2] B. [3+2]
C. [-3] D. [3]
10. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点[A]、[B]是它的焦点，长轴长为[2a]，焦距为[2c]，静放在点[A]的小球（小球的半径不计），从点[A]沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点[A]时，小球经过的路程是（ ）
A. [4a] B. [2(a-c)]
C. [2(a+c)] D. 以上答案均有可能
11. 设有一个正方形网络. 其中每个小正方形的边长都为[6cm]，现用直径为[2cm]的硬币投掷到此网络上，硬币落下后与格线有公共点的概率为 .
12. 已知命题：平面上一矩形[ABCD]的对角线[AC]与边[AB]和[AD]所成角分别为[α 、 β]，[cos2α+cos2β=1]. 若把它推广到空间长方体中，试写出相应的命题： .
13. 电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为 .
14. 一个将字符串“ABCDEFG” 变成字符串“CDABFGE”的置换为一次运算，则从字符串“一行白鹭上青天”开始，经过2011次运算后的字符串为 .
15. 五位同学围成一圈依序循环报数，规定：
①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次.
已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为 .
16. 设锐角[△ABC]的内角[A、B、C]的对边分别是[a]、[b]、[c]，且[3 a=2bsinA].
（Ⅰ）求[B]的大小；
（Ⅱ）求[sinA+sinC]的取值范围.
17. 有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为[a]的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，求[a]的取值范围.
18. 在数列[an]、[bn]中，[a1=2]，[b1=4]，且[an、bn、an+1]成等差数列，[bn、an+1、bn+1]成等比数列（[n∈N*]）.
（Ⅰ）求[a2、a3、a4]及[b2、b3、b4]，由此猜测[an]、[bn]的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅱ）证明：[1a1+b1+1a2+b2+…+1an+bn<512].
19. （Ⅰ）已知：[a、b、x]均是正数，且[a>b]，求证：[1
（Ⅳ）自己设计一道可直接应用第（Ⅰ）、（Ⅱ）小题结论的不等式证明题，不要求写出证明过程.
20. 已知椭圆[C]的两个焦点分别为[F1]和[F2]，且点[A(-5,0)、B(5,0)]在椭圆[C]上，又[F1(-5,4)].
（Ⅰ）求焦点[F2]的轨迹[Γ]的方程；
（Ⅱ）若直线[y=kx+b(k>0)]与曲线[Γ]交于[M、N]两点，以[MN]为直径的圆经过原点，求实数[b]的取值范围.
21. 已知[a、b]是实数，函数[f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,] [f(x)]和[g(x)]是[f(x)、g(x)]的导函数，若[f(x)g(x)≥0]在区间I上恒成立，则称[f(x)]和[g(x)]在区间I上单调性一致.
（Ⅰ）设[a>0]，若函数[f(x)]和[g(x)]在区间[[-1,+∞)]上单调性一致,求实数[b]的取值范围；
（Ⅱ）设[a<0,]且[a≠b]，若函数[f(x)]和[g(x)]在以[a]、[b]为端点的开区间上单调性一致，求[|a-b|]的最大值.