论文部分内容阅读
摘要: 是人类发现最早最具代表性的无理数之一,认识神秘的 ,对认识无理数、理解实数、产生对数学的兴趣具有极其重要的作用。
关键词: 诞生;连分数;幂级数;数列极限
中图分类号:O122.4 文献标识码:A 文章编号:1000-8136(2010)30-0129-01
是人类最早发现的无理数之一。早在公元前500年左右,人们就会证明 是无理数了。本文从 的诞生、 是什么、 的连分数表示、 的幂级数展开式以及关于 的三个巧妙极限进行了阐述,旨在让中学生更清楚地认识神秘的 ,激发学生学习数学的兴趣。
1 的诞生
公元前5世纪,古希腊著名数学家与哲学家毕达哥拉斯创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别——毕达哥拉斯学派。“万物皆数”是该学派的哲学基石,而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。勾股定理也称毕达哥拉斯定理,是第一个把代数与几何联系起来的定理,也是人们最早认识的平面几何定理之一。毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个“新数”来表示。希帕索斯的发现导致了数学上第一个无理数 的诞生。小小 的出现,在当时的数学界却掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派大为恐慌。同理也极大地冲击了当时所有古希腊人的观点,从而导致了西方数学史上一场大的风波,历史上称为“第一次数学危机”。很多数学家、学者纷纷研究,其中有很多的波折和坎坷,直到19世纪下半叶,德国数学家戴德金及康托尔等人建立了现代实数理论后,才彻底搞清楚了无理数的本质,确立了无理数在数学中的合法地位。
2 是什么
由 的诞生到对 的研究,站在不同的角度,利用不同的观点,对 进行了深刻的描述。如: 是边长为1的正方形对角线长度, 是2的算术平方根, 是方程x2-2=0的正根, 不是整数, 不是分数, 是无理数, 是介于1和2之间的一个数, 是无限不循环小数……这些描述,能使学生从不同的角度认识 。
3 的连分数表示
在边长为1的正方形中,如果用边来量其对角线,可推得一个无穷无尽的连分数来表示 ,而且也是表示 的最佳近似分数。
4 的幂级数展开式
在 的幂级数展开式:
…(-1≤x≤1)中令x=1,可得 的幂级数形式:
5关于 的三个巧妙极限
用数列极限的存在定理,可以证明以下三个极限的存在性,用求极限的方法,可求得他们看似截然不同的关系式,却有相同的极限值2。
参考文献
1 张景中.从 谈起[M].北京:中国少年儿童出版社,2004
2 [美]彼得•温克勒.最迷人的数学趣题(谈柏祥等译)[M].上海:上海教育出版社,2007
3 刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2006
General remark“ ”
Liao Hongju
Abstract: The earliest human beings found in one of the most representative of the irrational, mystical knowledge , the understanding of irrational numbers, understand the real number, resulting in interest in mathematics has an important role.
Key words: the birth of the power series with scores of sequence limit
关键词: 诞生;连分数;幂级数;数列极限
中图分类号:O122.4 文献标识码:A 文章编号:1000-8136(2010)30-0129-01
是人类最早发现的无理数之一。早在公元前500年左右,人们就会证明 是无理数了。本文从 的诞生、 是什么、 的连分数表示、 的幂级数展开式以及关于 的三个巧妙极限进行了阐述,旨在让中学生更清楚地认识神秘的 ,激发学生学习数学的兴趣。
1 的诞生
公元前5世纪,古希腊著名数学家与哲学家毕达哥拉斯创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别——毕达哥拉斯学派。“万物皆数”是该学派的哲学基石,而“一切数均可表示成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。勾股定理也称毕达哥拉斯定理,是第一个把代数与几何联系起来的定理,也是人们最早认识的平面几何定理之一。毕达哥拉斯学派中的一个成员希帕索斯思考了一个问题:边长为1的正方形的对角线长度是多少?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个“新数”来表示。希帕索斯的发现导致了数学上第一个无理数 的诞生。小小 的出现,在当时的数学界却掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派大为恐慌。同理也极大地冲击了当时所有古希腊人的观点,从而导致了西方数学史上一场大的风波,历史上称为“第一次数学危机”。很多数学家、学者纷纷研究,其中有很多的波折和坎坷,直到19世纪下半叶,德国数学家戴德金及康托尔等人建立了现代实数理论后,才彻底搞清楚了无理数的本质,确立了无理数在数学中的合法地位。
2 是什么
由 的诞生到对 的研究,站在不同的角度,利用不同的观点,对 进行了深刻的描述。如: 是边长为1的正方形对角线长度, 是2的算术平方根, 是方程x2-2=0的正根, 不是整数, 不是分数, 是无理数, 是介于1和2之间的一个数, 是无限不循环小数……这些描述,能使学生从不同的角度认识 。
3 的连分数表示
在边长为1的正方形中,如果用边来量其对角线,可推得一个无穷无尽的连分数来表示 ,而且也是表示 的最佳近似分数。
4 的幂级数展开式
在 的幂级数展开式:
…(-1≤x≤1)中令x=1,可得 的幂级数形式:
5关于 的三个巧妙极限
用数列极限的存在定理,可以证明以下三个极限的存在性,用求极限的方法,可求得他们看似截然不同的关系式,却有相同的极限值2。
参考文献
1 张景中.从 谈起[M].北京:中国少年儿童出版社,2004
2 [美]彼得•温克勒.最迷人的数学趣题(谈柏祥等译)[M].上海:上海教育出版社,2007
3 刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2006
General remark“ ”
Liao Hongju
Abstract: The earliest human beings found in one of the most representative of the irrational, mystical knowledge , the understanding of irrational numbers, understand the real number, resulting in interest in mathematics has an important role.
Key words: the birth of the power series with scores of sequence limit