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一、问题的提出
怎样才算是一次成功的考试？不同的考生有不同的理解.本人比较认同：每次考试能把会做的题都很好地答出来，少留遗憾或不留遗憾就是一次成功的考试.因此从这个角度看，考试考得如何并不取决于难题，而是基础题.特别是三角题，全国各题高考试题都喜欢把三角题定位为基本题，即三角分是考生谁也丢不起的分.考试下来要是三角题出现差错，考生尤其会郁闷.下面是笔者平时教学过程中整理起来的考生的4种出错，有的甚至是令人匪夷所思的出错，与大家分享.对照一下，你有类似的“粗心大意”吗？你能避免这种“粗心大意”吗？
二、三角问题中的十种常见失分
1. 思维定势，看错题目.
例1. 化简 的结果是 .
【错解】 原式= = =tanα.
【剖析】这是很多考生会犯的低级错误，其中还包括一些能力强的，错把sin -α看成sinα- = sinα- cosα，在心理学上把这叫思维定势，前面是α- ，后面就是α- .还有些同学经常求A∩B，慢慢的求A∪B也会变成求A∩B，看错题而导致失分的教训是极为深刻的.
【正解】 原式= = = .
2. 审题不清，范围出错.
例2. 在 ABC中，已知sinA= ，cosB= ，求cosC.
【错解】因为sinA= ，A是三角形内角，所以cosA=± ，因为cosB= ，B是三角形内角，所以sinB= ，故cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）
=-cosAcosB+sinAsinB=-± × + × = 或 .
【剖析】本题是课本上的习题，也是高考试题经常涉及到的类型.错误在于审题不清，事实上如果cosA=- <0，因为sinA= < ，角A的范围可以精确到A> ，又cosB= < ，角B的范围可以精确到B> ，这时A+B> + = >与A+B+C=矛盾.
【正解】因为sinA= ，A是三角形内角，当cosA=- <0，因为sinA= < ，角A> ，又cosB= < ，故B> ，这时A+B> + = >与A+B+C=矛盾.所以cosA= ，因为cosB= ，B是三角形内角，所以sinB= ，因为C=-（A+B），由诱导公式cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=-
cosAcosB+sinAsinB=- × + × = .
3. 心不在焉，求角出错.
例3. 已知tanα= ，tan = ，且α， 都是锐角，求α+2 的值.
【错解】∵tan = ，tan2 = = ，又因为tanα= ，∴tan（α+2 ）= =1，由α， 都是锐角知α+2 ∈0， ，
∴ α+2 = 或 .
【剖析】根据三角函数值求角的问题，课本上并没有专题研究，但有不少类似的试题，求角在角上出错是考生很常见的失误，希望同学们高度重视.事实上本题中角α+2 取不到 .
【正解】∵tan = <1，tanα= <1，由α， 都是锐角知α， ∈0， ， ∴ α+2 ∈0， ， ∴ tan2 = = ， ∴ tan（α+2 ）= =1>0， ∴ α+2 ∈0， ，而函数y=tanx在0， 是单调增函数， ∴ α+2 = .
4. 含义不清，定义错误.
例4. 已知角 的终边经过点P（-3t，4t）（t≠0），求角 的正弦、余弦、正切.
【错解】由任意角的三角函数的定义可知r=|OP| = =5t，则sinα= = ，cosα= = - ，tanα= =- .
【剖析】错误的原因是考生忽略了字母t的符号，条件只给出了t≠0，不能确定是否t>0，定义中r的取值范围应该是（0，+∞），应对字母t进行分类讨论.
【正解】由任意角的三角函数的定义可知：当t>0时，r=|OP|= =5t，则sinα= = ，cosα= =- ，tanα= =- .
当t<0时，r=|OP|= =-5t，则sinα= =- ，cosα= = ，tanα= =- .
5. 用五点法，直觉出错.
例5. 函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω>0，- <φ< ）的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是 .
【错解】由图可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，图中点A对应标准图像中的点（0，0）.令2×- +φ=0，解得φ= ，故填2， .
【剖析】用“五点法”画正弦函数在一个周期内的大致图像，是三角部分的核心内容，有部分同学对这五个点的认识不够深刻，特别是第一个点（0，0）和第三个点（，0）分别代表递增区间的对称中心和递减区间的对称中心，图中点A不能对应标准图像中的点（0，0），而是对应递减区间的对称中心（，0）.
【正解】由图可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，由图可知点B对应标准图像中的点 ，1，故令2× +φ= ，解得φ=- ，∵ - <φ< ，故填2，- .
6. 条件隐含，没看清楚.
例6. 已知sinα+cosα= （0<α<），求tanα.
【错解】根据sinα+cosα= ，得sinαcosα=- ，即 =- ，即 =- ，12tan2α+25tanα+12=0，解得tanα=- ，tanα=- .
【剖析】这种解法表面上看天衣无缝，但条件0<α<本题结果有影响，这里隐含了条件决定角的象限，应该挖掘对角的范围的限制.由sinαcosα=- <0应该意识到sinα>0，cosα<0，所以可以将角α的范围进一步缩小到 ，. 【正解】根据sinα+cosα= ，得sinαcosα=- <0，又因为0<α<，所以sinα>0，cosα<0，而（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= ，所以sinα-cosα= ，再联立sinα+cosα= ，解得tanα=- .
7. 因定义域，影响结论.
例7. 判断函数f（x）= 的奇偶性.
【错解】∵ f（x）= = = =tanx，而tan（-x）=-tanx，
所以函数f（x）= 是奇函数.
【剖析】这种解法表面看没有任何问题，但在变换过程中函数f（x）的定义域发生了变化，约分约去sinx+cosx这一步隐含条件sinx+cosx≠0，因此定义域缩小了，且变为关于原点对称的区域了，出现这种错误非常隐蔽，思维不够缜密很难发现.
【正解】∵ 1+sin2x+cos2x≠0，∴ sin2x+ ≠- ，∴ 2x+ ≠2k- （k∈Z），且2x+ ≠2k- （k∈Z），所以原函数的定义域为 x|x≠k- ，且x≠k- ，k∈Z，显然不对称，例如f =tan =1，x=- 时，分母为零无意义，故原函数为非奇非偶函数.
8. 逻辑错误，导致失分.
例8. 已知钝角三角形ABC边长分别为a=2，b=3，c=x，求x的取值范围.
【错解】当x<3时，三角形为钝角三角形的条件是：cosB= <0且x>0，解之得03时三角形为钝角三角形的条件是cosC= <0，解之得x> . 综上所述，x的取值范围为（0， ）∪（ ，+∞）.
【剖析】根据同一三角形中大边对大角的原则，即最大边所对角必为钝角，可以结合余弦定理解答.本题最容易出现的错误就是忽视三角形两边之和大于第三边，事实上a2+c2>b2是B为钝角的必要非充分条件，若把它做为充要条件就会扩大的x取值范围.
【正解】当x<3时，三角形为钝角三角形的条件是：cosB= <0且2+x>3（三角形两边之和大于第三边），解之得13时三角形为钝角三角形的条件是cosC= <0且2+3>x，解之得 9. 转化思想，应用错误.
例9. 三角形ABC中，sin（A+B） = ，cosB=- 求cosA值.
【错解】∵ cosB=- ，B为三角形内角，∴ sinB= ，∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+
cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= .
【剖析】本解法用两角和的正弦公式把问题转化为关于cosA的一元二次方程求解，是化归思想，思路没有任何问题. 错误在于对三角形内角三角函数值的诸多限制认识不足导致错误，事实上，∵ cosB=- <0，所以角B为钝角，即最大角，从而角A必为锐角.cosA= <0就不合题意了.
【正解】∵ cosB=- ，B为三角形内角， ∴ sinB= ， ∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+
cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= . ∵ cosB=- <0，所以角B为钝角，即最大角，从而角A必为锐角，cosA>0，∴ cosA的值为 .
10. 关联有界，正弦出错.
例10. 已知sinα+sin = ，求z=sin -cos2α的最大值.
【错解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[-1，1]，∴ sinα=-1时，zmax=-1- 2- = .
【剖析】本解法错误很隐蔽，虽然注意到了sinα∈[-1，1]，但忽略了sinα，sin 的关联有界性，而导致sinα的隐含限制条件，考生常常会犯这样的错误.
【正解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，而sin ∈[-1，1]，-1≤ -sinα≤1，- ≤sinα≤1，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[- ，1]，∴ sinα=- 时，zmax=- - 2- = .
三、两点感悟
三角题大多数考基本题、容易题，因此很多同学误认为三角题不用花太多时间也可以搞定，最好按高考的权重合理分配时间.误认为它的概念性思维性也不强，这是错觉.为此笔者提两点感悟：
1. 要站在思维科学的视角高度.
数学学习与应用离不开思维活动，三角函数也不例外，对三角函数的研究自然也不能忽略思维科学的视角.三角函数的出现使平面几何的研究从定性向定量深化，例如前面探讨的三角形中“两边之和大于第三边”“大边对大角，小边对小角”都是定性的，有了正弦定理、余弦定理进行边角转化就可以将定性研究变为定量计算.再比如三角函数概念与向量的正交分解的交汇导致了坐标化，从而数形结合得以实现.前面的10个例子的探究主要的数学思想都有深刻体现.
2. 从不同角度诠释数学严谨性.
考生在高考备考过程中有必要牢记两句话：“实力决定信心，细节决定成败.”一是提高能力，二是减少失误.学数学主要是学会推理，学会思维，三角函数的学习尤其如此，三角部分多考基本题，从评卷的角度看越是容易题，对严谨性的要求就越高.哪怕是一个不经意的小失误，都会造成无谓的失分，甚至满盘皆输，我们要做的是，让自己深刻理解概念，灵活运用公式，平时复习时那就算出错也要知道错在哪里？为什么会错？这样今后就会减少错误，甚至避免错误，在不断纠错中得以提高.
（作者单位：南雄市第一中学）
责任编校 徐国坚
怎样才算是一次成功的考试？不同的考生有不同的理解.本人比较认同：每次考试能把会做的题都很好地答出来，少留遗憾或不留遗憾就是一次成功的考试.因此从这个角度看，考试考得如何并不取决于难题，而是基础题.特别是三角题，全国各题高考试题都喜欢把三角题定位为基本题，即三角分是考生谁也丢不起的分.考试下来要是三角题出现差错，考生尤其会郁闷.下面是笔者平时教学过程中整理起来的考生的4种出错，有的甚至是令人匪夷所思的出错，与大家分享.对照一下，你有类似的“粗心大意”吗？你能避免这种“粗心大意”吗？
二、三角问题中的十种常见失分
1. 思维定势，看错题目.
例1. 化简 的结果是 .
【错解】 原式= = =tanα.
【剖析】这是很多考生会犯的低级错误，其中还包括一些能力强的，错把sin -α看成sinα- = sinα- cosα，在心理学上把这叫思维定势，前面是α- ，后面就是α- .还有些同学经常求A∩B，慢慢的求A∪B也会变成求A∩B，看错题而导致失分的教训是极为深刻的.
【正解】 原式= = = .
2. 审题不清，范围出错.
例2. 在 ABC中，已知sinA= ，cosB= ，求cosC.
【错解】因为sinA= ，A是三角形内角，所以cosA=± ，因为cosB= ，B是三角形内角，所以sinB= ，故cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）
=-cosAcosB+sinAsinB=-± × + × = 或 .
【剖析】本题是课本上的习题，也是高考试题经常涉及到的类型.错误在于审题不清，事实上如果cosA=- <0，因为sinA= < ，角A的范围可以精确到A> ，又cosB= < ，角B的范围可以精确到B> ，这时A+B> + = >与A+B+C=矛盾.
【正解】因为sinA= ，A是三角形内角，当cosA=- <0，因为sinA= < ，角A> ，又cosB= < ，故B> ，这时A+B> + = >与A+B+C=矛盾.所以cosA= ，因为cosB= ，B是三角形内角，所以sinB= ，因为C=-（A+B），由诱导公式cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）=-
cosAcosB+sinAsinB=- × + × = .
3. 心不在焉，求角出错.
例3. 已知tanα= ，tan = ，且α， 都是锐角，求α+2 的值.
【错解】∵tan = ，tan2 = = ，又因为tanα= ，∴tan（α+2 ）= =1，由α， 都是锐角知α+2 ∈0， ，
∴ α+2 = 或 .
【剖析】根据三角函数值求角的问题，课本上并没有专题研究，但有不少类似的试题，求角在角上出错是考生很常见的失误，希望同学们高度重视.事实上本题中角α+2 取不到 .
【正解】∵tan = <1，tanα= <1，由α， 都是锐角知α， ∈0， ， ∴ α+2 ∈0， ， ∴ tan2 = = ， ∴ tan（α+2 ）= =1>0， ∴ α+2 ∈0， ，而函数y=tanx在0， 是单调增函数， ∴ α+2 = .
4. 含义不清，定义错误.
例4. 已知角 的终边经过点P（-3t，4t）（t≠0），求角 的正弦、余弦、正切.
【错解】由任意角的三角函数的定义可知r=|OP| = =5t，则sinα= = ，cosα= = - ，tanα= =- .
【剖析】错误的原因是考生忽略了字母t的符号，条件只给出了t≠0，不能确定是否t>0，定义中r的取值范围应该是（0，+∞），应对字母t进行分类讨论.
【正解】由任意角的三角函数的定义可知：当t>0时，r=|OP|= =5t，则sinα= = ，cosα= =- ，tanα= =- .
当t<0时，r=|OP|= =-5t，则sinα= =- ，cosα= = ，tanα= =- .
5. 用五点法，直觉出错.
例5. 函数f（x）=2sin（ωx+φ），（ω>0，- <φ< ）的部分图像如图所示，则ω，φ的值分别是 .
【错解】由图可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，图中点A对应标准图像中的点（0，0）.令2×- +φ=0，解得φ= ，故填2， .
【剖析】用“五点法”画正弦函数在一个周期内的大致图像，是三角部分的核心内容，有部分同学对这五个点的认识不够深刻，特别是第一个点（0，0）和第三个点（，0）分别代表递增区间的对称中心和递减区间的对称中心，图中点A不能对应标准图像中的点（0，0），而是对应递减区间的对称中心（，0）.
【正解】由图可知 -- = T，解得T== （∵ω>0），所以ω=2，由图可知点B对应标准图像中的点 ，1，故令2× +φ= ，解得φ=- ，∵ - <φ< ，故填2，- .
6. 条件隐含，没看清楚.
例6. 已知sinα+cosα= （0<α<），求tanα.
【错解】根据sinα+cosα= ，得sinαcosα=- ，即 =- ，即 =- ，12tan2α+25tanα+12=0，解得tanα=- ，tanα=- .
【剖析】这种解法表面上看天衣无缝，但条件0<α<本题结果有影响，这里隐含了条件决定角的象限，应该挖掘对角的范围的限制.由sinαcosα=- <0应该意识到sinα>0，cosα<0，所以可以将角α的范围进一步缩小到 ，. 【正解】根据sinα+cosα= ，得sinαcosα=- <0，又因为0<α<，所以sinα>0，cosα<0，而（sinα-cosα）2=1-2sinαcosα= ，所以sinα-cosα= ，再联立sinα+cosα= ，解得tanα=- .
7. 因定义域，影响结论.
例7. 判断函数f（x）= 的奇偶性.
【错解】∵ f（x）= = = =tanx，而tan（-x）=-tanx，
所以函数f（x）= 是奇函数.
【剖析】这种解法表面看没有任何问题，但在变换过程中函数f（x）的定义域发生了变化，约分约去sinx+cosx这一步隐含条件sinx+cosx≠0，因此定义域缩小了，且变为关于原点对称的区域了，出现这种错误非常隐蔽，思维不够缜密很难发现.
【正解】∵ 1+sin2x+cos2x≠0，∴ sin2x+ ≠- ，∴ 2x+ ≠2k- （k∈Z），且2x+ ≠2k- （k∈Z），所以原函数的定义域为 x|x≠k- ，且x≠k- ，k∈Z，显然不对称，例如f =tan =1，x=- 时，分母为零无意义，故原函数为非奇非偶函数.
8. 逻辑错误，导致失分.
例8. 已知钝角三角形ABC边长分别为a=2，b=3，c=x，求x的取值范围.
【错解】当x<3时，三角形为钝角三角形的条件是：cosB= <0且x>0，解之得0
【剖析】根据同一三角形中大边对大角的原则，即最大边所对角必为钝角，可以结合余弦定理解答.本题最容易出现的错误就是忽视三角形两边之和大于第三边，事实上a2+c2>b2是B为钝角的必要非充分条件，若把它做为充要条件就会扩大的x取值范围.
【正解】当x<3时，三角形为钝角三角形的条件是：cosB= <0且2+x>3（三角形两边之和大于第三边），解之得1
例9. 三角形ABC中，sin（A+B） = ，cosB=- 求cosA值.
【错解】∵ cosB=- ，B为三角形内角，∴ sinB= ，∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+
cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= .
【剖析】本解法用两角和的正弦公式把问题转化为关于cosA的一元二次方程求解，是化归思想，思路没有任何问题. 错误在于对三角形内角三角函数值的诸多限制认识不足导致错误，事实上，∵ cosB=- <0，所以角B为钝角，即最大角，从而角A必为锐角.cosA= <0就不合题意了.
【正解】∵ cosB=- ，B为三角形内角， ∴ sinB= ， ∴ sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=- sinA+
cosA= ，∴ sinA= cosA- ，又sin2A+cos2A=1，∴ cos2A- cosA- =0，即144cos2A-48 cosA-17=0，解得cosA= . ∵ cosB=- <0，所以角B为钝角，即最大角，从而角A必为锐角，cosA>0，∴ cosA的值为 .
10. 关联有界，正弦出错.
例10. 已知sinα+sin = ，求z=sin -cos2α的最大值.
【错解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[-1，1]，∴ sinα=-1时，zmax=-1- 2- = .
【剖析】本解法错误很隐蔽，虽然注意到了sinα∈[-1，1]，但忽略了sinα，sin 的关联有界性，而导致sinα的隐含限制条件，考生常常会犯这样的错误.
【正解】由sinα+sin = 知sin = -sinα，而sin ∈[-1，1]，-1≤ -sinα≤1，- ≤sinα≤1，∴ z= -sinα-1+sin2α=sinα- 2- ，又sinα∈[- ，1]，∴ sinα=- 时，zmax=- - 2- = .
三、两点感悟
三角题大多数考基本题、容易题，因此很多同学误认为三角题不用花太多时间也可以搞定，最好按高考的权重合理分配时间.误认为它的概念性思维性也不强，这是错觉.为此笔者提两点感悟：
1. 要站在思维科学的视角高度.
数学学习与应用离不开思维活动，三角函数也不例外，对三角函数的研究自然也不能忽略思维科学的视角.三角函数的出现使平面几何的研究从定性向定量深化，例如前面探讨的三角形中“两边之和大于第三边”“大边对大角，小边对小角”都是定性的，有了正弦定理、余弦定理进行边角转化就可以将定性研究变为定量计算.再比如三角函数概念与向量的正交分解的交汇导致了坐标化，从而数形结合得以实现.前面的10个例子的探究主要的数学思想都有深刻体现.
2. 从不同角度诠释数学严谨性.
考生在高考备考过程中有必要牢记两句话：“实力决定信心，细节决定成败.”一是提高能力，二是减少失误.学数学主要是学会推理，学会思维，三角函数的学习尤其如此，三角部分多考基本题，从评卷的角度看越是容易题，对严谨性的要求就越高.哪怕是一个不经意的小失误，都会造成无谓的失分，甚至满盘皆输，我们要做的是，让自己深刻理解概念，灵活运用公式，平时复习时那就算出错也要知道错在哪里？为什么会错？这样今后就会减少错误，甚至避免错误，在不断纠错中得以提高.
（作者单位：南雄市第一中学）
责任编校 徐国坚