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【摘 要】弹性力学在内容的表述方面具有很强的理论性、抽象性和概括性，另外其求解过程对数学运算依赖性大，加大了学生的学习难度。近年来，弹性力学课程的课堂教学学时呈减少趋势，在有限的学时条件下保证教学的基本要求成为迫切需要解决的问题。针对弹性力学课程的特点和当前学科发展的需要，本文在比较弹性力学与材料力学和结构力学基本求解思路的异同，分析数学与弹性力学的关系，比较弹性力学与材料力学单元体分析方法的异同三个方面进行了教学研究。通过教学手段的调整，使学生将弹性力学课程的学习与已经掌握的力学、数学等知识有机结合，理解本课程与其他课程的关联性，从而调动了学习的积极性。
【关键词】弹性力学；比较教学法；实践
0.引言
弹性力学是固体力学的一个重要分支，是高等学校力学、土木、机械等专业兼具理论性和应用性的重要课程。弹性力学为解决工程问题提供直接的基础理论依据，使学生初步学会运用弹性力学的方法分析实际工程中的力学问题。由于该课程理论的抽象性和数学推导过程的复杂性，要求学生具有相当的数学和力学基础，自学难度大，不少学生在学习过程中产生了“畏惧”心理，学习效果不理想[1，2]。
近年来，随着我国高等教育改革的深入，很多学科根据本专业的培养目标、专业教育的基本模式和课程框架，实行宽口径、厚基础的教学基本要求，弹性力学课程的课堂教学学时呈减少趋势[3，4]。在有限的学时条件下如何保证教学的基本要求，对教学内容和形式作相应的探索，研究用什么教学方法和手段达到强化能力培养的目标，成为弹性力学课程教学过程中需要认真思考的问题[5，6]。
针对客观存在的问题，我学院对弹性力学的教学进行了一些改革，将比较教学法运用于课堂教学实践，使学生将弹性力学课程的学习与已经掌握的力学、数学等知识有机结合，收到了良好效果。
1.弹性力学问题基本求解思路的比较教学法实践
弹性力学课程与材料力学和结构力学有同样的任务，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和形变、校核其强度和刚度的一门技术性较强的基础课，只是弹性力学研究的范围更广、要求更精确、计算也更趋于抽象化。弹性力学经典理论中最重要也是最精彩的教学内容之一是从静力学、几何学和物理学方面导出的弹性力学基本方程[7]。对于平面问题，弹性力学8个方程中有5个是偏微分方程，公式多、数学演绎繁，难以获得解析解。由于弹性力学问题是超静定问题，必须寻找补充方程，教学中可联系学生已经掌握的材料力学和结构力学求解超静定问题的力法和位移法[8，9]，讲述平面问题按应力求解和按位移求解的基本思路。例如[7]，在按应力求解的平面问题中，弹性力学的两个静力平衡方程中含有三个未知数 ，，，当体力为常量时，最后所补充的方程是用应力分量表示的形变协调方程（ 相容方程） 。讲授中，在说明该相容方程是弹性体内各点均需满足的一个变形协调条件的同时，应强调它是结合了形变与应力之间的本构关系，并用平衡方程进行简化得出的一个最简方程形式的思路过程，揭示其用应力分量表达形变协调方程的物理实质，使学生认识到整个变形体力学求解问题的基本思路本质上是一致的。对于常体力，平面问题按应力求解其实就是解决平衡方程、相容方程、应力边界条件下的边值问题。如果引进应力函数，三个基本方程便可巧妙地用一个重调和方程表示。因此，常体力下平面问题按应力求解最终归结为寻求一个在给定应力边界条件下满足重调和方程的应力函数，这就是平面问题按应力求解的基本思路。尽管所有按应力求解的弹性力学问题实际都在用各种方法构建应力函数，表面上变成了单纯的数学问题，但在授课中应结合具体问题把弹性力学求解问题的基本思路贯穿于始终，力争使学生心领神会，提高学生的学习兴趣。这样就使得学生把学习本门课的重点转移到掌握基本思路、结论及应用方面上，理解和分析问题的能力就会得到提高。
2.数学与弹性力学关系的比较教学法实践
在弹性力学的发展过程中，弹性理论与数学的许多分支有密切的关系。一方面，数学是弹性力学的重要支柱，没有数学就没有弹性力学。另一方面，弹性理论的建立又促进和推动了数学的发展。数学的许多分支，象微分方程、变分学、泛函分析等都是以弹性力学的某些问题为研究背景的。从数学的观点看，弹性力学问题都是偏微分方程的边值问题，为了加深学生对这些经典方程的理解和应用，在建立数学方程式时，除讲解问题的物理意义外，还应赋予其直观的几何意义。这样，学生就易接受和记忆。例如[7]，弹性力学教材在建立平面问题的几何方程之一的时，由于为微小变形，忽略了方向位移所引起的线段沿方向的变形量。在讲授一定要把这个被忽略了的高一阶微量用几何图形表示出来。这样，抽象的数学概念被形象具体化了，学生就容易接受。
弹性力学平面问题的两个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程，构成了弹性力学平面问题的基本方程。由于基本方程数目与未知函数数目相等，仅从数学角度出发，考虑适当的边界条件，求解这些未知函数是可能的。但对于土木、机械等专业的学生来讲，讲授的重点应放在其所代表的力学意义，以及怎样用相关的力学方法去求解，淡化具体按应力求解和按位移求解基本方程的数学过程。
弹性力学理论的基本方程较多，且公式又长。为便于记忆，授课中可以为学生简单介绍张量符号与下标记号的内容，并用来表示基本方程。张量表示法的应用使得原来冗长的弹性力学公式变得简明，亦为经典的弹性力学理论注入了活力。事实上，这种方法已在当今国际国内的许多文献中被广泛采用[2，3，7]。
3.微单元体分析的比较教学法实践
相对于材料力学，弹性力学微单元体的分析方法使应力应变分析更加严密，应用更加广泛，得到的结果也更加精确。弹性力学作为固体力学的重要分支，与材料力学有着广泛而密切的联系。一方面，弹性力学是材料力学的延续和深入，可研究和处理更为复杂的工程实际问题。另一方面，由于弹性力学理论更具一般性，所以弹性力学的解可对材料力学所得到的解答做出误差的评估。尽管如此，材料力学向弹性力学的过渡却是一个由直观简单想象向抽象复杂思维的过程。这源于两者在建立静力学、几何学和物理学三方面的条件时采用了不同的分析方法[7，8]。在静力学方面，材料力学是考虑构件的整体截面来建立平衡条件的，其平衡条件是代数方程。弹性力学则是从构件内任意点取微单元体建立平衡关系的，平衡条件是偏微分方程，同时边界上的微单元体也需严格满足静力平衡要求而得到应力边界条件。在几何变形方面，材料力学引用了有关截面变形的假定（如研究弯曲变形时的平截面假定），具有一定的近似性。弹性力学则严格根据形变定义，利用微单元体形变分析导出的几何方程，真实地反映了弹性体变形更普遍的规律。在物理学方面，材料力学对力和变形作出了某些假设，如分析弯曲应力时略去了纵向纤维的挤压影响，得出单向应力假设。弹性力学则对弹性体内任一点（微单元体） 进行分析，直接采用了广义虎克定律。因此弹性力学结论更接近实际，理论也更加严谨。为了让学生能更好地理解和接受微单元法的基本思想，在讲授弹性力学课程时，可以在同一个问题上将微单元体分析方法与材料力学分析问题的思想方法进行对比，以引导学生从学科间的衔接与差异上积极思考。
4.结语
弹性力学在内容的表述方面具有很强的理论性、抽象性和高度概括性。另外，其求解过程对数学运算依赖性大，从而加大了学生的学习难度。学生认为弹性力学是一门既抽象又难懂的课程，问题的根本在于在学习中没有充分理解弹性力学解决问题的基本思路，加上对数学知识的遗忘等原因造成的。为了消除学生对弹性力学的畏难心理，针对弹性力学课程的特点和当前学科发展的需要，可以将比较教学法运用于教学实践中。通过教学手段的调整，使学生将弹性力学课程的学习与已经掌握的材料力学、结构力学和数学等知识有机结合，理解弹性力学与其他课程的关联性，把注意力从单纯的记忆公式、模仿教师课堂的演练引导到弹性力学基本理论、基本公式、解决问题的思路和手段等方面的理解上，从而调动学习的积极性。
参考文献：
[1] 郝刚立，王维早.弹性力学教学改革研究[J ].山西建筑，2010，36（25）：204-205.
[2] 原方，吴洁.研究生弹性力学教学方法及问题探讨[J ].力学与实践，2005，27：82-84.
[3]刘京红，杜光乾.土木工程专业弹性力学课程教学改革的探索[J].科技情报开发与经济，2007，17（24）：266-267.
[4]薛江红.对弹性力学课程教学改革的思考[J].高等理科教育，2008，6：84-87.
[5]何琳.“弹性力学”课程的教改实践与探讨[N].重庆交通学院学报，2006-3，6（1）：137-139.
[6]周太全.土木工程专业弹性力学课程教学的若干思考[N].无锡教育学院学报，2005-6，25（2） ：73-76.
[7]吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社，2001.
[8]单辉祖.材料力学（Ⅱ）.北京：高等教育出版社，1999.
[9]龙驭球，包世华.结构力学.北京：高等教育出版社，1995.
作者简介：
海龙（1975-）男 辽宁阜新人，辽宁工程技术大学力学与工程学院讲师，博士，主要从事力学的教学和研究工作。
【关键词】弹性力学；比较教学法；实践
0.引言
弹性力学是固体力学的一个重要分支，是高等学校力学、土木、机械等专业兼具理论性和应用性的重要课程。弹性力学为解决工程问题提供直接的基础理论依据，使学生初步学会运用弹性力学的方法分析实际工程中的力学问题。由于该课程理论的抽象性和数学推导过程的复杂性，要求学生具有相当的数学和力学基础，自学难度大，不少学生在学习过程中产生了“畏惧”心理，学习效果不理想[1，2]。
近年来，随着我国高等教育改革的深入，很多学科根据本专业的培养目标、专业教育的基本模式和课程框架，实行宽口径、厚基础的教学基本要求，弹性力学课程的课堂教学学时呈减少趋势[3，4]。在有限的学时条件下如何保证教学的基本要求，对教学内容和形式作相应的探索，研究用什么教学方法和手段达到强化能力培养的目标，成为弹性力学课程教学过程中需要认真思考的问题[5，6]。
针对客观存在的问题，我学院对弹性力学的教学进行了一些改革，将比较教学法运用于课堂教学实践，使学生将弹性力学课程的学习与已经掌握的力学、数学等知识有机结合，收到了良好效果。
1.弹性力学问题基本求解思路的比较教学法实践
弹性力学课程与材料力学和结构力学有同样的任务，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和形变、校核其强度和刚度的一门技术性较强的基础课，只是弹性力学研究的范围更广、要求更精确、计算也更趋于抽象化。弹性力学经典理论中最重要也是最精彩的教学内容之一是从静力学、几何学和物理学方面导出的弹性力学基本方程[7]。对于平面问题，弹性力学8个方程中有5个是偏微分方程，公式多、数学演绎繁，难以获得解析解。由于弹性力学问题是超静定问题，必须寻找补充方程，教学中可联系学生已经掌握的材料力学和结构力学求解超静定问题的力法和位移法[8，9]，讲述平面问题按应力求解和按位移求解的基本思路。例如[7]，在按应力求解的平面问题中，弹性力学的两个静力平衡方程中含有三个未知数 ，，，当体力为常量时，最后所补充的方程是用应力分量表示的形变协调方程（ 相容方程） 。讲授中，在说明该相容方程是弹性体内各点均需满足的一个变形协调条件的同时，应强调它是结合了形变与应力之间的本构关系，并用平衡方程进行简化得出的一个最简方程形式的思路过程，揭示其用应力分量表达形变协调方程的物理实质，使学生认识到整个变形体力学求解问题的基本思路本质上是一致的。对于常体力，平面问题按应力求解其实就是解决平衡方程、相容方程、应力边界条件下的边值问题。如果引进应力函数，三个基本方程便可巧妙地用一个重调和方程表示。因此，常体力下平面问题按应力求解最终归结为寻求一个在给定应力边界条件下满足重调和方程的应力函数，这就是平面问题按应力求解的基本思路。尽管所有按应力求解的弹性力学问题实际都在用各种方法构建应力函数，表面上变成了单纯的数学问题，但在授课中应结合具体问题把弹性力学求解问题的基本思路贯穿于始终，力争使学生心领神会，提高学生的学习兴趣。这样就使得学生把学习本门课的重点转移到掌握基本思路、结论及应用方面上，理解和分析问题的能力就会得到提高。
2.数学与弹性力学关系的比较教学法实践
在弹性力学的发展过程中，弹性理论与数学的许多分支有密切的关系。一方面，数学是弹性力学的重要支柱，没有数学就没有弹性力学。另一方面，弹性理论的建立又促进和推动了数学的发展。数学的许多分支，象微分方程、变分学、泛函分析等都是以弹性力学的某些问题为研究背景的。从数学的观点看，弹性力学问题都是偏微分方程的边值问题，为了加深学生对这些经典方程的理解和应用，在建立数学方程式时，除讲解问题的物理意义外，还应赋予其直观的几何意义。这样，学生就易接受和记忆。例如[7]，弹性力学教材在建立平面问题的几何方程之一的时，由于为微小变形，忽略了方向位移所引起的线段沿方向的变形量。在讲授一定要把这个被忽略了的高一阶微量用几何图形表示出来。这样，抽象的数学概念被形象具体化了，学生就容易接受。
弹性力学平面问题的两个平衡方程、3个几何方程和3个物理方程，构成了弹性力学平面问题的基本方程。由于基本方程数目与未知函数数目相等，仅从数学角度出发，考虑适当的边界条件，求解这些未知函数是可能的。但对于土木、机械等专业的学生来讲，讲授的重点应放在其所代表的力学意义，以及怎样用相关的力学方法去求解，淡化具体按应力求解和按位移求解基本方程的数学过程。
弹性力学理论的基本方程较多，且公式又长。为便于记忆，授课中可以为学生简单介绍张量符号与下标记号的内容，并用来表示基本方程。张量表示法的应用使得原来冗长的弹性力学公式变得简明，亦为经典的弹性力学理论注入了活力。事实上，这种方法已在当今国际国内的许多文献中被广泛采用[2，3，7]。
3.微单元体分析的比较教学法实践
相对于材料力学，弹性力学微单元体的分析方法使应力应变分析更加严密，应用更加广泛，得到的结果也更加精确。弹性力学作为固体力学的重要分支，与材料力学有着广泛而密切的联系。一方面，弹性力学是材料力学的延续和深入，可研究和处理更为复杂的工程实际问题。另一方面，由于弹性力学理论更具一般性，所以弹性力学的解可对材料力学所得到的解答做出误差的评估。尽管如此，材料力学向弹性力学的过渡却是一个由直观简单想象向抽象复杂思维的过程。这源于两者在建立静力学、几何学和物理学三方面的条件时采用了不同的分析方法[7，8]。在静力学方面，材料力学是考虑构件的整体截面来建立平衡条件的，其平衡条件是代数方程。弹性力学则是从构件内任意点取微单元体建立平衡关系的，平衡条件是偏微分方程，同时边界上的微单元体也需严格满足静力平衡要求而得到应力边界条件。在几何变形方面，材料力学引用了有关截面变形的假定（如研究弯曲变形时的平截面假定），具有一定的近似性。弹性力学则严格根据形变定义，利用微单元体形变分析导出的几何方程，真实地反映了弹性体变形更普遍的规律。在物理学方面，材料力学对力和变形作出了某些假设，如分析弯曲应力时略去了纵向纤维的挤压影响，得出单向应力假设。弹性力学则对弹性体内任一点（微单元体） 进行分析，直接采用了广义虎克定律。因此弹性力学结论更接近实际，理论也更加严谨。为了让学生能更好地理解和接受微单元法的基本思想，在讲授弹性力学课程时，可以在同一个问题上将微单元体分析方法与材料力学分析问题的思想方法进行对比，以引导学生从学科间的衔接与差异上积极思考。
4.结语
弹性力学在内容的表述方面具有很强的理论性、抽象性和高度概括性。另外，其求解过程对数学运算依赖性大，从而加大了学生的学习难度。学生认为弹性力学是一门既抽象又难懂的课程，问题的根本在于在学习中没有充分理解弹性力学解决问题的基本思路，加上对数学知识的遗忘等原因造成的。为了消除学生对弹性力学的畏难心理，针对弹性力学课程的特点和当前学科发展的需要，可以将比较教学法运用于教学实践中。通过教学手段的调整，使学生将弹性力学课程的学习与已经掌握的材料力学、结构力学和数学等知识有机结合，理解弹性力学与其他课程的关联性，把注意力从单纯的记忆公式、模仿教师课堂的演练引导到弹性力学基本理论、基本公式、解决问题的思路和手段等方面的理解上，从而调动学习的积极性。
参考文献：
[1] 郝刚立，王维早.弹性力学教学改革研究[J ].山西建筑，2010，36（25）：204-205.
[2] 原方，吴洁.研究生弹性力学教学方法及问题探讨[J ].力学与实践，2005，27：82-84.
[3]刘京红，杜光乾.土木工程专业弹性力学课程教学改革的探索[J].科技情报开发与经济，2007，17（24）：266-267.
[4]薛江红.对弹性力学课程教学改革的思考[J].高等理科教育，2008，6：84-87.
[5]何琳.“弹性力学”课程的教改实践与探讨[N].重庆交通学院学报，2006-3，6（1）：137-139.
[6]周太全.土木工程专业弹性力学课程教学的若干思考[N].无锡教育学院学报，2005-6，25（2） ：73-76.
[7]吴家龙.弹性力学.北京：高等教育出版社，2001.
[8]单辉祖.材料力学（Ⅱ）.北京：高等教育出版社，1999.
[9]龙驭球，包世华.结构力学.北京：高等教育出版社，1995.
作者简介：
海龙（1975-）男 辽宁阜新人，辽宁工程技术大学力学与工程学院讲师，博士，主要从事力学的教学和研究工作。