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【摘要】发散思维是创造性思维的核心，本文就发散思维在数学教学中的培养方法提出了自己的一点看法。
【关键词】发散思维;流畅性;变通性;独特性
1. 发散思维 发散思维属于创造性思维的一种思维方式，它包含创造性思维的实质。美国心理学家基尔福特认为，发散思维是从给定的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样的为数众多的输出，很可能会发生转换作用。它是一种不常规，寻求变异，从多方面探求答案的一种思维。
发散思维具有：流畅性、变通性、独创性三个重要特点。
1.1 流畅性。指智力活动灵敏迅速，畅通无阻，能在较短时间内发表较多观念，是发散思维的量的指标。
1.2 变通性。指思维具有多方指向，触类旁通，随机应变，不受定势的约束，因而能产生不同的构思，提出不同的新观念。
1.3 独创性。指思维具有超乎寻常的新异成分，因而它更多的表现发散思维的本质。
中学生具有好奇、好胜、敢想、敢创等心理特点，他们的思维具有创新求异的潜质，因此，我们在数学中应充分利用中学生的心理特点，注重以下的几种培养发散思维的方法。
2. 发散思维的培养
2.1 构建“数学认识结构”培养思维的流畅性。思维流畅性与思维逻辑性直接相关，所以首先应帮助学生理清知识的关系和联系，并把新知识及时纳入已有的知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统。在教学中要充分提炼和总结出带有规律的解题方法，建立必要的解题思路，使学生学会运用分析、综合、概括、类比等逻辑思维方法来处理数学问题，做到善于把问题归类解决，鼓励学生在大脑记忆中构建数学认识结构，形成条理化的系统，这样，在解题时就能根据题目的条件，在系统中较快地找到相关信息，为优化解题过程打下基础。
例如：在三角形中求证与线段有关的证明时，应帮助学生归纳出如下的数学方法。如果要证两条线段相等，一般的方法是如果这两条线段在一个三角形上，利用等角对等边性后来证；如果在两个三角形上，利用三角形全等来证明。
如果采取线段的和、差关系，则采用补短法或(截长线)来证明。此外，代换的思想也很重要。
例1、已知：如图1，△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，求证:AC＋AD＝BC。
分析：要证AC＋AD＝BC，即线段的和的关系，可利用补短法或截长法，即(1)延长CA到E，使AE＝AD(补短法)。
或(2)在CB上截取CF＝CA，然后证明BF＝AD(截长法)，以补短法为例：作为AE＝AD，则AC＋AD＝AE＋AC＝CE。
要证明CE＝BC，这是证两条线取相等→在两个三角形内→证全等→△CED≌△CBD。
图1
证明：延长CA到E，使AE＝AD，并连结DE
∴∠E＝∠ADE
又∵∠BAC＝∠E＋∠ADE＝2∠E
∴∠BAC＝2∠B
∴∠E＝∠B
又∵∠ACD＝∠BCD CD=CD
∴△CED≌△CBD
∴CE＝BC
即AC＋AD＝BC
从例1看到，解题时利用知识结构系统，运用归纳的解题方法，可使思路畅通，能及时找到延续解题过程的思路。2.2 学会多方位思考，培养思维的变通性。由于事物的质和量是由多种因素决定的，如改变其中某一因素，就可能产生新的思路，在求解数学问题中，“代换法”及使用不同知识解同一道题，如因代数知识解几何题等都能培养思维的变通性。
例2：已知：xa+yb+zc=1 ax+by+ca=0
求证：x2a2+y2b2+z2c2=1
解：作变量代换，可以减少字母个数，从而简化解法。
令 U=xa V=yb W=zc
则 U＋V＋W＝1
1U+1V+1W=0 U＋V＋W＝1 ①
VW+UW+UVUVW=0 ②
由②得VW＋UW＋UV＝0
由①知(U＋V＋W)2＝1，即U2＋V2＋W2＋2(VW＋UW＋UV)＝1
∴U2+V2+W2=1
即：x2a2+y2b2+z2c2=1
在思考问题时，往往有时从正向顺着题意思考陷入困境，而从逆向思考，可能会轻而易举得到答案。
例3：100人排成一列，由1起往F报数，报奇数的出列，报偶数的再重复报，这标准读下去，最后留下一个人。
问此人第一次报数时，报的是第几？
显然，从正面思考，必然让人大费周折，而从逆向思考，由于这个人每次都应报的是偶数，因而这个人第一次报的数是2的最大整数次幂，∵26＝64，27＝128＞100。
故此人第一次报的是64。
2.3 拓展思维空间，培养思维的独创性。在思考问题时不“墨守陈规”，追求“标新立异”，在前人已有的经验的基础上敢于突破，敢于提出自己的新思维。
例4：4个矿泉水瓶可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空，若不交钱，最多可以喝多少瓶矿泉水？
大多数的人这样解：先拿12个矿泉水空瓶，换3瓶矿泉水，喝完后，一共还乘6个矿泉水空瓶，财拿其中的4个矿泉水空瓶换一瓶矿泉水，喝完后，只乘3个矿泉水空瓶，因此，最多只能喝4瓶矿泉水。
最多只能喝4瓶矿泉水吗？上述的解法中，最后還剩3个矿泉水空瓶，还差1个空瓶就能换1瓶矿泉水，这里就需要勇于探索，敢于创新的精神，大胆地提出先借1个空瓶，换回1瓶矿泉水，喝完后，剩下一个空瓶，再还回去，因此，最多能5瓶矿泉水。
图2
此外，在课堂教学中，要引导学生对例题适当地改变条件，付练论的变化，欲得某种结论，需加哪些条件，并注意推广命题，鼓励学生敢于创新，养成发散思维的习惯。
例5：如图2，已知AB是⊙O的直径，D为AB延长线上一点DC切⊙O于C，AE⊥DC于E，CF⊥AB于F，连结AC、BC。
(1)请根据已知条件，写出你认为正确的结论。
(2)若添加∠CAD＝30°,又可得到与(1)中不同的哪些特殊结论？
分析：应将所得结论按F列分类，逐一写出。
①考虑角之间的关系，即找相等、互余、互补的角。
②考虑三角形中边之间的关系。
③考虑三角形之间的关系，即找全等或相似的三角形。
解:(1)△AEC≌△AFC；
△BCF∽△CAF，△AEC∽△ACB，△DCB∽△OAC
∠DCB=∠BCF=∠BAC=∠EAC，∠ACE=∠ACF=∠ABC
AE=AF CE=CF
BD：DC＝BC：AC AC2＝AE·AB CF2＝AF·AB
(2)△AEC≌△AFC≌△DFC
AE＝AF＝12AD CD＝BD＝12AB CF＝CE＝12AC
思考问题要全面，熟练掌握有关知识，学会探索，鼓励学生独立思考，大胆创新。
综上所述，要较好地培养学生发散思维的能力，教师应首先把握好发散思维的性质和特点，利用中学生心理特点的优势，善于发掘教材，创造有利于培养学生发散思维的学习氛围，鼓励学生激发学习兴趣，勇于探索，敢于创新，不断拓展发散思维空间，培养创造力。
【关键词】发散思维;流畅性;变通性;独特性
1. 发散思维 发散思维属于创造性思维的一种思维方式，它包含创造性思维的实质。美国心理学家基尔福特认为，发散思维是从给定的信息中产生信息，其着重点是从同一的来源中产生各种各样的为数众多的输出，很可能会发生转换作用。它是一种不常规，寻求变异，从多方面探求答案的一种思维。
发散思维具有：流畅性、变通性、独创性三个重要特点。
1.1 流畅性。指智力活动灵敏迅速，畅通无阻，能在较短时间内发表较多观念，是发散思维的量的指标。
1.2 变通性。指思维具有多方指向，触类旁通，随机应变，不受定势的约束，因而能产生不同的构思，提出不同的新观念。
1.3 独创性。指思维具有超乎寻常的新异成分，因而它更多的表现发散思维的本质。
中学生具有好奇、好胜、敢想、敢创等心理特点，他们的思维具有创新求异的潜质，因此，我们在数学中应充分利用中学生的心理特点，注重以下的几种培养发散思维的方法。
2. 发散思维的培养
2.1 构建“数学认识结构”培养思维的流畅性。思维流畅性与思维逻辑性直接相关，所以首先应帮助学生理清知识的关系和联系，并把新知识及时纳入已有的知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统。在教学中要充分提炼和总结出带有规律的解题方法，建立必要的解题思路，使学生学会运用分析、综合、概括、类比等逻辑思维方法来处理数学问题，做到善于把问题归类解决，鼓励学生在大脑记忆中构建数学认识结构，形成条理化的系统，这样，在解题时就能根据题目的条件，在系统中较快地找到相关信息，为优化解题过程打下基础。
例如：在三角形中求证与线段有关的证明时，应帮助学生归纳出如下的数学方法。如果要证两条线段相等，一般的方法是如果这两条线段在一个三角形上，利用等角对等边性后来证；如果在两个三角形上，利用三角形全等来证明。
如果采取线段的和、差关系，则采用补短法或(截长线)来证明。此外，代换的思想也很重要。
例1、已知：如图1，△ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，求证:AC＋AD＝BC。
分析：要证AC＋AD＝BC，即线段的和的关系，可利用补短法或截长法，即(1)延长CA到E，使AE＝AD(补短法)。
或(2)在CB上截取CF＝CA，然后证明BF＝AD(截长法)，以补短法为例：作为AE＝AD，则AC＋AD＝AE＋AC＝CE。
要证明CE＝BC，这是证两条线取相等→在两个三角形内→证全等→△CED≌△CBD。
图1
证明：延长CA到E，使AE＝AD，并连结DE
∴∠E＝∠ADE
又∵∠BAC＝∠E＋∠ADE＝2∠E
∴∠BAC＝2∠B
∴∠E＝∠B
又∵∠ACD＝∠BCD CD=CD
∴△CED≌△CBD
∴CE＝BC
即AC＋AD＝BC
从例1看到，解题时利用知识结构系统，运用归纳的解题方法，可使思路畅通，能及时找到延续解题过程的思路。2.2 学会多方位思考，培养思维的变通性。由于事物的质和量是由多种因素决定的，如改变其中某一因素，就可能产生新的思路，在求解数学问题中，“代换法”及使用不同知识解同一道题，如因代数知识解几何题等都能培养思维的变通性。
例2：已知：xa+yb+zc=1 ax+by+ca=0
求证：x2a2+y2b2+z2c2=1
解：作变量代换，可以减少字母个数，从而简化解法。
令 U=xa V=yb W=zc
则 U＋V＋W＝1
1U+1V+1W=0 U＋V＋W＝1 ①
VW+UW+UVUVW=0 ②
由②得VW＋UW＋UV＝0
由①知(U＋V＋W)2＝1，即U2＋V2＋W2＋2(VW＋UW＋UV)＝1
∴U2+V2+W2=1
即：x2a2+y2b2+z2c2=1
在思考问题时，往往有时从正向顺着题意思考陷入困境，而从逆向思考，可能会轻而易举得到答案。
例3：100人排成一列，由1起往F报数，报奇数的出列，报偶数的再重复报，这标准读下去，最后留下一个人。
问此人第一次报数时，报的是第几？
显然，从正面思考，必然让人大费周折，而从逆向思考，由于这个人每次都应报的是偶数，因而这个人第一次报的数是2的最大整数次幂，∵26＝64，27＝128＞100。
故此人第一次报的是64。
2.3 拓展思维空间，培养思维的独创性。在思考问题时不“墨守陈规”，追求“标新立异”，在前人已有的经验的基础上敢于突破，敢于提出自己的新思维。
例4：4个矿泉水瓶可换一瓶矿泉水，现有15个矿泉水空，若不交钱，最多可以喝多少瓶矿泉水？
大多数的人这样解：先拿12个矿泉水空瓶，换3瓶矿泉水，喝完后，一共还乘6个矿泉水空瓶，财拿其中的4个矿泉水空瓶换一瓶矿泉水，喝完后，只乘3个矿泉水空瓶，因此，最多只能喝4瓶矿泉水。
最多只能喝4瓶矿泉水吗？上述的解法中，最后還剩3个矿泉水空瓶，还差1个空瓶就能换1瓶矿泉水，这里就需要勇于探索，敢于创新的精神，大胆地提出先借1个空瓶，换回1瓶矿泉水，喝完后，剩下一个空瓶，再还回去，因此，最多能5瓶矿泉水。
图2
此外，在课堂教学中，要引导学生对例题适当地改变条件，付练论的变化，欲得某种结论，需加哪些条件，并注意推广命题，鼓励学生敢于创新，养成发散思维的习惯。
例5：如图2，已知AB是⊙O的直径，D为AB延长线上一点DC切⊙O于C，AE⊥DC于E，CF⊥AB于F，连结AC、BC。
(1)请根据已知条件，写出你认为正确的结论。
(2)若添加∠CAD＝30°,又可得到与(1)中不同的哪些特殊结论？
分析：应将所得结论按F列分类，逐一写出。
①考虑角之间的关系，即找相等、互余、互补的角。
②考虑三角形中边之间的关系。
③考虑三角形之间的关系，即找全等或相似的三角形。
解:(1)△AEC≌△AFC；
△BCF∽△CAF，△AEC∽△ACB，△DCB∽△OAC
∠DCB=∠BCF=∠BAC=∠EAC，∠ACE=∠ACF=∠ABC
AE=AF CE=CF
BD：DC＝BC：AC AC2＝AE·AB CF2＝AF·AB
(2)△AEC≌△AFC≌△DFC
AE＝AF＝12AD CD＝BD＝12AB CF＝CE＝12AC
思考问题要全面，熟练掌握有关知识，学会探索，鼓励学生独立思考，大胆创新。
综上所述，要较好地培养学生发散思维的能力，教师应首先把握好发散思维的性质和特点，利用中学生心理特点的优势，善于发掘教材，创造有利于培养学生发散思维的学习氛围，鼓励学生激发学习兴趣，勇于探索，敢于创新，不断拓展发散思维空间，培养创造力。