（成都树德怀远中学 四川 成都 611230）
　　摘 要：数列求和既是数列部分的基本内容也是重要内容， 同时还是高考考查的热点和重点，题型复杂多变， 技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。因此，本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以帮助同学们提高数列求和的能力。
　　关键词：数列求和；解法。
　　【中图分类号】G623.5
　　数列求和既是数列部分的基本内容也是重要内容， 同时还是高考考查的热点和重点，题型复杂多变， 技巧性也较强，以致成为数列的一个难点。因此，本文根据不同题型总结出一些常见题型及解法技巧，以帮助同学们提高数列求和的能力。
　　一、公式法
　　若所给数列的通项是关于n的多项式，此时可采用公式法求和，利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法之一。常用求和公式列举如下：
　　等差数列求和公式： ，
　　等比数列求和公式：
　　自然数的方幂和：
　　二、错位相减法
　　若数列 的通项公式为 ，其中 ， 中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q，然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。它是教材中推导等比数列的前n项和公式所用的方法。
　　变式训练：已知 ，当 时，求数列 的前n项和 。
　　三、裂项相消法
　　有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前 项和。它适用于 型（其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数）等。常见裂项公式有：
　　四、倒序相加法
　　将一个数列倒过来排列，再把它与原数列相加，就可以得到n个 ，Sn表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次倒序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。这是在推导等差数列的前n项和公式时所用的方法.
　　例3设 ，利用课本中推导等差数列的前 项和的公式的方法，可求得 的值为： 。
　　解：因为f（x）= ，∴f（1—x）=
　　∴f（x）+f（1—x）= .
　　设S=f（—5）+f（—4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（—5）
　　∴2S=（f（6）+f（—5））+（f（5）+f（—4））+…+（f（—5）+…f（6））=6
　　∴S=f（—5）+f（—4）+…+f（0）+…+f（6）=3 .
　　五、分组求和法
　　某些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当分组，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对分组后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和。
　　1、拆项求和法.
　　例4求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.
　　解：设
　　∴ =
　　将其每一项拆开再重新组合得：
　　Sn =
　　=
　　=
　　=
　　2、并项求和法
　　例5 求 。
　　解： …
　　… 。
　　六、叠加法
　　给出数列{ }的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为 型，可以考虑利用叠加法求和。
　　例 6 数列 的前 项和为 ，已知 ，求
　　解：由 得： ，
　　即 ，
　　，对 成立。
　　由 ， ，…，
　　累加得： ，又 ，
　　所以 ，当 时，也成立。
　　七、综合求和法
　　根据数列的通项进行分析，找出其特征，然后再利用其所揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集公式、错位、裂项、分组求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径。
　　例7 已知数列{an}： 的值.
　　解：∵
　　=
　　=
　　∴
　　= =
　　例8 已知数列 的首项 ， ， ….
　　（Ⅰ）证明：数列 是等比数列；
　　（Ⅱ）数列 的前 项和 .
　　解：（Ⅰ） ， ，
　　，又 ， ，
　　数列 是以为 首项， 为公比的等比数列.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，即 ， .
　　设 … ， ①
　　则 … ，②
　　由① ②得
　　… ，
　　.又 … .
　　数列 的前 项和 .
　　总之，数列求和的方法多种多样，这里我只是列出了几种较为常用的方法，希望对大家能有所帮助。