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【摘 要】数学教学知识测试工具是来自于美国密歇根大学LMT项目组的研究成果，它基于美国上世纪80年代由国家教育研究协会教授Shulman所提出的PCK（Pedagogical Content Knowledge）学科教学知识理念，覆盖了学前K-8年级的所有基本数学教学内容。从美国的4～8年级数学教师的大规模随机抽查测试结果中也发现，该测试工具的信度与效度良好，且对教师的教学质量与学生的学业成就具有显著影响。文中简要评价了它针对数学教学知识测试的题目特征，并阐述了它对数学教学知识的主要研究成果。
【关键词】数学教学知识 MKT测试工具 测试题目 研究成果
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）17-0141-02
在Shulman的理论当中，教师知识是最能影响教学质量的关键因素，而且它对学生的学业影响也非常显著，基于这一论据的教学内容就是PCK概念。进入80年代以后，人们开始运用更先进的手段来测试和研究教师知识，就比如说在数学学科领域，其中的教育者就沿袭了这一经典理论来测量数学教学知识与教师教学质量、学生学习质量等等因素之间的关系，并受到了广泛关注。为此，密歇根大学的数学专业研究团队也构建了MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）框架，并设计出了基于MKT的专业测试工具，以此来测量教师的数学教学知识，并通过大量的测试样本与数据统计结果验证和完善了MKT理论模型。
一、关于数学教学知识的分析
在美国密歇根大学，Deborah.Ball教授和他的团队在Shulman的PCK理论基础上，通过关注学校中数学学科的日常教学状况、教师的教学计划、学生的笔记、习题等材料，对数学教师的教学工作进行了研究，其研究的主题就是数学知识和数学教师之间的关系。众所周知，教师不仅仅要熟悉教材中的数学知识内容，也要通过更多途径去深度了解数学，只有这样才能找出异于传统的、更好的教学方法，满足现实教学需求。所以密歇根大学研究团队就对教师的数学教学知识进行了有针对性的研究与测量，将教师的数学教学知识分为两部分：学科知识与教学内容知识。其中学科知识就包含了内容知识与特殊内容知识，而教学内容知识则包含了内容与学生知识。在基于教师的数学教学知识设计中，应该考虑如何选择例子才能让学生深层次的理解和掌握知识及其相关内容。而在基于密歇根团队的数学教学知识模型中，教材的知识与水平知识也是他们所关注并研究的内容。他们深知要从教师日常的数学教学实践角度出发来研发适当的测试工具，同时通过大量的样本测量数据来统计分析教学结果，达到与教学实践成果的完美结合。所以在该团队看来，数学教学知识的内涵就在于教师为了教数学所需要深刻掌握的数学知识，但其出发点应该是数学教学本身而并非教师本身。
二、基于数学教学知识测试工具的数学题目特征
从数学教学知识的宏观角度讲，它的数学测试题目应该具备以下4点特征。
其一，它的测试题目应该均为单项选择题，而且其选项应该有3～6个。
其二，测试题目的应用内容应该覆盖较广范围，其中应该包括数的概念、数的运算、函数代数、几何等等能够覆盖整个学前K-8年级的数学教材所有主要内容。并且在测试过程中，不应该针对特定教师所抽选的年级进行数学内容测试，且所测试的题目主要应该基于数学教学知识的主体4大部分，它们分别为一般内容知识、特殊内容知识、关于数学教材内容和教学的知识以及关于学生和内容的学习知识。
其三，对于数学教学知识测试工具的研发应该由教师团队、教育机构专家一同商讨研进行，而且测试用的每一套试卷都要通过至少5位数学教师的试测，保证其测试内容具有良好的效度与信度。
最后，测试题目不仅仅测试的是教师的高等数学知识，也测试他们的一般教学法知识。考虑到数学教学的复杂性，所以单纯的某一项测试是不够客观全面的，而是应该综合数学内容、数学教学一般任务以及教学数学任务三方面内容，从而达到对教师教学数学知识的综合性测试。
根据上述内容本文加以实例论证，以下题目为2008年LMT项目公开中的几何题目，如图1。
图1 2008年LMT项目公开中的第24题目
如图1为如何计算三角形位置内角度数的几何教学内容。如果利用直角三角形定理，将未知内角放入到直角三角形中，利用直角90°减去已知角度就可以得到所要求的未知角度。那么，为了解决在一般三角形中所遇到的未知角求解困难，以下哪一个问题能够帮助学生澄清问题？
A：当求解90+62+28所得到的答案时
B：为什么从直角90°中减去62°就可以得到未知内角的角度度数
C：怎样找到一个等腰三角形的未知角度数
D：如果已知角为18°而不是62°
该选择题涉及到了设计三角形内角和的相关基础知识，它关系到教师应该选择怎样的教学方式来启发学生的数学理解逻辑思维，让他们学会相关的数学知识。该题目的答案应该是b，因为选择b的学生可以被教师引导来求解三角形中未知角的具体度数，并同时引出三角形内角和为180°这一关键数学知识点。所以说，数学教学知识测试工具要针对测试的就是教师在教学过程中需要引出怎样的数学知识，而不是教师表面教过什么知识，这对于学生学习数学，启发逻辑思维相当重要[1]。
三、关于数学教学知识测试工具的相关研究应用成果
密歇根大学在对数学教学知识测试工具的一系列研究过程中也发现了数学课堂与教师之间的关系。他们发现在测试了教师的MKT后发现测试数据与课堂的实际教学质量会存在较为明显的相互影响关系。为此，美国学者Morris也经过了悉心研究，他发现如果合理运用MKT模型，就会发现教师的教学经验、运用知识的认知水平和数学教学本身的知识水平是呈现出一定的相关关系的。同时也证明了影响学生学业成绩的关键因素不仅仅是教师所教授的数学知识内容，它还包括了教师的教学方式[2]。
总结：
综上所述，对数学教学知识的贡献应该主要来源于教师的实践教学过程，所以人们开发了测量数学教师教学知识的相关测试工具，从理论与实践两个层面来测量教师的数学教学知识水平。也同时希望利用这一测量结论来正视它对于学生数学学业成绩的影响力，进而证明教师教学质量的优劣。
参考文献：
[1]邵珍红，曹一鸣.数学教学知识测试工具简介及其相关应用[J].数学教育学报，2014，23（2）：40-44.
[2]曹一鸣，郭衎.中美教师数学教学知识比较研究[J].比较教育研究，2015，37（2）：108-112.
【关键词】数学教学知识 MKT测试工具 测试题目 研究成果
【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）17-0141-02
在Shulman的理论当中，教师知识是最能影响教学质量的关键因素，而且它对学生的学业影响也非常显著，基于这一论据的教学内容就是PCK概念。进入80年代以后，人们开始运用更先进的手段来测试和研究教师知识，就比如说在数学学科领域，其中的教育者就沿袭了这一经典理论来测量数学教学知识与教师教学质量、学生学习质量等等因素之间的关系，并受到了广泛关注。为此，密歇根大学的数学专业研究团队也构建了MKT（Mathematical Knowledge for Teaching）框架，并设计出了基于MKT的专业测试工具，以此来测量教师的数学教学知识，并通过大量的测试样本与数据统计结果验证和完善了MKT理论模型。
一、关于数学教学知识的分析
在美国密歇根大学，Deborah.Ball教授和他的团队在Shulman的PCK理论基础上，通过关注学校中数学学科的日常教学状况、教师的教学计划、学生的笔记、习题等材料，对数学教师的教学工作进行了研究，其研究的主题就是数学知识和数学教师之间的关系。众所周知，教师不仅仅要熟悉教材中的数学知识内容，也要通过更多途径去深度了解数学，只有这样才能找出异于传统的、更好的教学方法，满足现实教学需求。所以密歇根大学研究团队就对教师的数学教学知识进行了有针对性的研究与测量，将教师的数学教学知识分为两部分：学科知识与教学内容知识。其中学科知识就包含了内容知识与特殊内容知识，而教学内容知识则包含了内容与学生知识。在基于教师的数学教学知识设计中，应该考虑如何选择例子才能让学生深层次的理解和掌握知识及其相关内容。而在基于密歇根团队的数学教学知识模型中，教材的知识与水平知识也是他们所关注并研究的内容。他们深知要从教师日常的数学教学实践角度出发来研发适当的测试工具，同时通过大量的样本测量数据来统计分析教学结果，达到与教学实践成果的完美结合。所以在该团队看来，数学教学知识的内涵就在于教师为了教数学所需要深刻掌握的数学知识，但其出发点应该是数学教学本身而并非教师本身。
二、基于数学教学知识测试工具的数学题目特征
从数学教学知识的宏观角度讲，它的数学测试题目应该具备以下4点特征。
其一，它的测试题目应该均为单项选择题，而且其选项应该有3～6个。
其二，测试题目的应用内容应该覆盖较广范围，其中应该包括数的概念、数的运算、函数代数、几何等等能够覆盖整个学前K-8年级的数学教材所有主要内容。并且在测试过程中，不应该针对特定教师所抽选的年级进行数学内容测试，且所测试的题目主要应该基于数学教学知识的主体4大部分，它们分别为一般内容知识、特殊内容知识、关于数学教材内容和教学的知识以及关于学生和内容的学习知识。
其三，对于数学教学知识测试工具的研发应该由教师团队、教育机构专家一同商讨研进行，而且测试用的每一套试卷都要通过至少5位数学教师的试测，保证其测试内容具有良好的效度与信度。
最后，测试题目不仅仅测试的是教师的高等数学知识，也测试他们的一般教学法知识。考虑到数学教学的复杂性，所以单纯的某一项测试是不够客观全面的，而是应该综合数学内容、数学教学一般任务以及教学数学任务三方面内容，从而达到对教师教学数学知识的综合性测试。
根据上述内容本文加以实例论证，以下题目为2008年LMT项目公开中的几何题目，如图1。
图1 2008年LMT项目公开中的第24题目
如图1为如何计算三角形位置内角度数的几何教学内容。如果利用直角三角形定理，将未知内角放入到直角三角形中，利用直角90°减去已知角度就可以得到所要求的未知角度。那么，为了解决在一般三角形中所遇到的未知角求解困难，以下哪一个问题能够帮助学生澄清问题？
A：当求解90+62+28所得到的答案时
B：为什么从直角90°中减去62°就可以得到未知内角的角度度数
C：怎样找到一个等腰三角形的未知角度数
D：如果已知角为18°而不是62°
该选择题涉及到了设计三角形内角和的相关基础知识，它关系到教师应该选择怎样的教学方式来启发学生的数学理解逻辑思维，让他们学会相关的数学知识。该题目的答案应该是b，因为选择b的学生可以被教师引导来求解三角形中未知角的具体度数，并同时引出三角形内角和为180°这一关键数学知识点。所以说，数学教学知识测试工具要针对测试的就是教师在教学过程中需要引出怎样的数学知识，而不是教师表面教过什么知识，这对于学生学习数学，启发逻辑思维相当重要[1]。
三、关于数学教学知识测试工具的相关研究应用成果
密歇根大学在对数学教学知识测试工具的一系列研究过程中也发现了数学课堂与教师之间的关系。他们发现在测试了教师的MKT后发现测试数据与课堂的实际教学质量会存在较为明显的相互影响关系。为此，美国学者Morris也经过了悉心研究，他发现如果合理运用MKT模型，就会发现教师的教学经验、运用知识的认知水平和数学教学本身的知识水平是呈现出一定的相关关系的。同时也证明了影响学生学业成绩的关键因素不仅仅是教师所教授的数学知识内容，它还包括了教师的教学方式[2]。
总结：
综上所述，对数学教学知识的贡献应该主要来源于教师的实践教学过程，所以人们开发了测量数学教师教学知识的相关测试工具，从理论与实践两个层面来测量教师的数学教学知识水平。也同时希望利用这一测量结论来正视它对于学生数学学业成绩的影响力，进而证明教师教学质量的优劣。
参考文献：
[1]邵珍红，曹一鸣.数学教学知识测试工具简介及其相关应用[J].数学教育学报，2014，23（2）：40-44.
[2]曹一鸣，郭衎.中美教师数学教学知识比较研究[J].比较教育研究，2015，37（2）：108-112.