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作为新课程终极评价的中考,许多试题形式新颖,方法灵活多样.教学实际中我们一方面要加强一题多解的教学,另一方面也需要不断地寻找其中方便快捷的解题策略.
在中考应试中,学生要在有限的时间内完成题目的解答,解题方法的选择直接决定着解题时间的多少.因此在总复习教学中,一定要听取学生不同的解题思路,还要通过比较加强解题策略的研究.这样不仅可以提高学生的实战能力,也可以在教学中通过解题方法的选择,提升师生对于数学理解的境界.
下面以2012年上海中考数学的24题为例,做如下探析.
一、培养第一感,尽快上手
图1题目:如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=12,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
分析1:第(1)问应当是个基础试题,难度较小.第一感是直接将A、B两点的坐标代入解析式,这应该是最容易想到,转化为方程组上手最快,如果计算能力较强,得出结果也会很快:
16a+6×4+c=0
a-6+c=0,解得a=-2
c=8,所以其解析式为:
y=-2x2+6x+8.
分析2:由于点A、B坐标的特殊性,有的学生就会想到运用二次函数的分解式,设y=a(x-4)(x+1)= ax2-3ax-4a对比系数,得-3a=6,本解法很精巧,思维含量很高,对于系数较为复杂的题目,这个特殊方法往往很快捷.但是对于本题,加上思考时间,以及计算和书写时间,下手较慢,对于多数学生来说往往不如上面的方法更能赢得时间.
分析3:根据本题点A、B坐标,可以知道该二次函数的图象的对称轴是AB的垂直平分线,运用数形结合的思想得对称轴为x=-1+42=-62a,求得a=-2,求c的值时还需再代入一个点的坐标;或者再设配方式:y=-2(x-32)2+h,代入一个点的坐标求出h再展开求得函数解析式,反而有弄巧成拙之嫌.
因此,我们应该把思路清晰和计算快捷作为中考解题实战策略,一切以从读题到解答完整后所需的时间最少为标准,不断培养第一感,尽快上手.
二、辨认基本图形,尽快书写
第(2)问是第(3)问的铺垫,第一感觉,求OF只要求得DF即可,这样实际上就是要解△DEF.
方法1:图中蕴含一个学生非常熟悉的相似基本图形,解法是显而易见的,利用垂直关系中所含的互余角尽快书写过程:由∠DEF+∠EDF=∠DEF+∠ADO,得∠DEF=∠ADO.从而得Rt△EDF∽Rt△DAO,所以EFDO=EDDA.因为EDDA=tan∠DAE=12,所以EF=12t.同理DFOA=EDDA,所以DF=2,所以OF=t-2.
方法2:如果没有发现这个相似基本图形,一味的计算就很遥远了.如先求得AD=t2+16,后由tan∠DAE=12得出DE=12t2+16,再由cos∠DEF=cos∠ADO,得到EF=ED•cos∠ADO=12t2+16tt2+16=12t,这样肯定得不偿失了.
因此,掌握一些基本图形,发现一些特殊关系对于提高解题的速度和准确性很有帮助,这也是中考实战的重要解题策略.
当然,若本题改变问法,比如要求的是点E的坐标,就要千万留意符号了,点E的坐标应该是(-12t,t-2),这里由题意可知其中t>2.
三、向熟悉问题化归,尽快求解
第(3)问应当将“∠ECA=∠OAC”化归为自己熟悉的问题,以利于用方程的思想解决问题.
1.化归到直角三角形
图2我们往往最容易想到的是构造全等三角形,如图2所示,有C(0,8),所以OC=8.连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于点G.则不难知道 △CAG≌△OCA,所以CG=4,AG=OC=8.再过E点作EM⊥x轴于点M,则
EM=OF=t-2,AM=OA+OM=OA+EF=4+12t,
因为AE2=AM2+EM2=(4+12t)2+(t-2)2;
所以EG=AE2-AG2=(4+12t)2+(t-2)2-82=54t2-44.
因为EF=12t,CF=OC-OF=10-t,CE=CG+EG=54t2-44+4.
所以由EF2+CF2=CE2,得(12t)2+(10-t)2=(54t2-44+4)2.(*)
解得t1=10(不合题意t≤8,舍去),t2=6,所以t=6.
这个方法中,无理方程(*)解起来很费时间,先化简为254t2-44=32-5t,然后再化为t2-16t+60=0,才能求得结果,这对于考场上的学生来说,要求很高的计算能力,以及很强的心理素质.事实上连续三次运用勾股定理的方法,直觉上应当是中考实战解题的下策,万不得已应当避免这一解题策略.
2.化归到相似三角形
由tan∠OCA=OAOC=12,可以知道∠OCA=∠DAE,从而有∠DEA=∠ECA,那么能否用“构造相似三角形:延长ED交AC于点N,得△AEN∽△ACE”来列出方程呢.
即AE2=AN•AC,新的问题出来了,如何用t表示AN呢,或者是CN呢?
图3图4还需要构造新的相似三角形,如图3,作NK⊥CD于K,设KN=x,则CK=2x,KD=8-t-2x,由△NDK∽△EFD,得出x=8t-t22t+4,于是AN=AC-CN=8t-t22t+4,于是得方程
(t-2)2+(12t+4)2=45(45-58t-t22t+4 )(*)
方程(*)若直接去分母解,就会化为三次方程,求解会比较困难,应该选择两边通分之策,即5(t2+16)4=20×t2+162t+4,约去一个非零式5(t2+16),直接得到2t+4=16,故t=6.
这个方法是用了一系列的相似三角形,计算量也很大.可见连续运用同一知识点解题,既显得方法的单调,又带来计算上的繁复,这是我们在总复习教学中应该避免的解题策略.
3.化归到等腰三角形
其实由已知“∠ECA=∠OAC”,可以通过延长CE交x轴于点T,直接构造等腰△TAC.问题是点T的坐标怎么得到?
假如运用代数法求出CE的解析式y=kx+8,第一感不是很困难,应当属于实战的中策:
把点E(-12t,t-2)代入,得k=20-2tt;当y=0时,求得点T为(4tt-10,0).在△OCT中运用勾股定理,得(4tt-10)2+82=(4-4tt-10)2.
这个方程比前面两个简单得多,去分母后有t2-16t+60=0,最后轻松得出结果.可见运用不同的知识点,利用多种手法解综合题是中考实战解题的重要策略.
4.化归为中垂线
在上面的方法中,假如我们能够发现下面一个新的知识点:点T在AC的垂直平分线上,就会得到一个解(3)问的上策,将原来的动态问题转化为一个纯几何计算问题.
实际上,明显有△TSA∽△COA,由ASOA=ATAC,得254=AT45,即AT=10,从而得知点T坐标为(-6,0).进而求得TC的解析式:y=43x+8,然后把点E(-12t,t﹣2)代入,得t-2=43(t-2)+8,这是个一元一次方程很快求得t=6.
这个解法的策略是先将条件“∠ECA=∠OAC”固定,然后把动点E往CT上移动.这种先静后动的思路往往也是使问题简化的重要策略.
5.化归为线段
沿着构造等腰三角形的思路,延长EF交AC于点P,则在两个直角三角形中分别运用三角函数:
tan∠ACO=AOCO=PFCF,
于是,有PF=12CF=8-(t-2)2=10-t2.
因此,EP=EF+FP=5,在直角△CEF中,由勾股定理,得方程:(10-t)2+(t2)2=52,化简这个一元二次方程为t2-16t+60=0,从而得解.
这个方法使我们意外发现:EP是个定值,使得问题突然柳暗花明,出现了转机,这在中考解题策略中,虽然不是我们提倡的教学,但是对于实战中的学生来说也不失为上策.
图5图66.化归为等腰梯形
过点E作EQ∥CA交x轴于点Q,将问题“∠ECA=∠OAC”化归为一个等腰梯形问题.
由于AC的解析式为y=-2x+8,所以设EQ为y=-2x+b,代入点E的坐标(-12t,t-2),有 b=-2,于是EQ为y=-2x-2.因而得到点Q为(-1,0),于是EC=AQ=5,再用勾股定理列方程:(10-t)2+(t2)2=52,同样得到t=6.
这个解法,得到意外的收获:点E的运动路线是线段,这一点从上面的方法中“EP是个定值”也可以发现,并且其所在直线解析式为y=-2x-2.事实上,由点E的坐标(-12t,t-2),我们也可以求得点E运动线路的解析式:由x=-12t,得t=-2x,代入y=t-2,得到y=-2x-2.
从后面两个解法,我们看到了命题者选择tan∠ACO=tan∠DAE=12,绝非偶然巧合,而是匠心独运,为学生实战答题留下一个快捷之策.
通过以上分析,我们发现在中考考场的有限时间内解答综合题,不仅需要扎实的基础知识和熟练的基本技能,还需要不断加强联想,从而综合运用知识,把陌生的问题化归为熟悉的类型,根据对问题的总体直觉把握,尽量选择省时且不易出错的解题策略.
在中考应试中,学生要在有限的时间内完成题目的解答,解题方法的选择直接决定着解题时间的多少.因此在总复习教学中,一定要听取学生不同的解题思路,还要通过比较加强解题策略的研究.这样不仅可以提高学生的实战能力,也可以在教学中通过解题方法的选择,提升师生对于数学理解的境界.
下面以2012年上海中考数学的24题为例,做如下探析.
一、培养第一感,尽快上手
图1题目:如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=12,EF⊥OD,垂足为F.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当∠ECA=∠OAC时,求t的值.
分析1:第(1)问应当是个基础试题,难度较小.第一感是直接将A、B两点的坐标代入解析式,这应该是最容易想到,转化为方程组上手最快,如果计算能力较强,得出结果也会很快:
16a+6×4+c=0
a-6+c=0,解得a=-2
c=8,所以其解析式为:
y=-2x2+6x+8.
分析2:由于点A、B坐标的特殊性,有的学生就会想到运用二次函数的分解式,设y=a(x-4)(x+1)= ax2-3ax-4a对比系数,得-3a=6,本解法很精巧,思维含量很高,对于系数较为复杂的题目,这个特殊方法往往很快捷.但是对于本题,加上思考时间,以及计算和书写时间,下手较慢,对于多数学生来说往往不如上面的方法更能赢得时间.
分析3:根据本题点A、B坐标,可以知道该二次函数的图象的对称轴是AB的垂直平分线,运用数形结合的思想得对称轴为x=-1+42=-62a,求得a=-2,求c的值时还需再代入一个点的坐标;或者再设配方式:y=-2(x-32)2+h,代入一个点的坐标求出h再展开求得函数解析式,反而有弄巧成拙之嫌.
因此,我们应该把思路清晰和计算快捷作为中考解题实战策略,一切以从读题到解答完整后所需的时间最少为标准,不断培养第一感,尽快上手.
二、辨认基本图形,尽快书写
第(2)问是第(3)问的铺垫,第一感觉,求OF只要求得DF即可,这样实际上就是要解△DEF.
方法1:图中蕴含一个学生非常熟悉的相似基本图形,解法是显而易见的,利用垂直关系中所含的互余角尽快书写过程:由∠DEF+∠EDF=∠DEF+∠ADO,得∠DEF=∠ADO.从而得Rt△EDF∽Rt△DAO,所以EFDO=EDDA.因为EDDA=tan∠DAE=12,所以EF=12t.同理DFOA=EDDA,所以DF=2,所以OF=t-2.
方法2:如果没有发现这个相似基本图形,一味的计算就很遥远了.如先求得AD=t2+16,后由tan∠DAE=12得出DE=12t2+16,再由cos∠DEF=cos∠ADO,得到EF=ED•cos∠ADO=12t2+16tt2+16=12t,这样肯定得不偿失了.
因此,掌握一些基本图形,发现一些特殊关系对于提高解题的速度和准确性很有帮助,这也是中考实战的重要解题策略.
当然,若本题改变问法,比如要求的是点E的坐标,就要千万留意符号了,点E的坐标应该是(-12t,t-2),这里由题意可知其中t>2.
三、向熟悉问题化归,尽快求解
第(3)问应当将“∠ECA=∠OAC”化归为自己熟悉的问题,以利于用方程的思想解决问题.
1.化归到直角三角形
图2我们往往最容易想到的是构造全等三角形,如图2所示,有C(0,8),所以OC=8.连接EC、AC,过A作EC的垂线交CE于点G.则不难知道 △CAG≌△OCA,所以CG=4,AG=OC=8.再过E点作EM⊥x轴于点M,则
EM=OF=t-2,AM=OA+OM=OA+EF=4+12t,
因为AE2=AM2+EM2=(4+12t)2+(t-2)2;
所以EG=AE2-AG2=(4+12t)2+(t-2)2-82=54t2-44.
因为EF=12t,CF=OC-OF=10-t,CE=CG+EG=54t2-44+4.
所以由EF2+CF2=CE2,得(12t)2+(10-t)2=(54t2-44+4)2.(*)
解得t1=10(不合题意t≤8,舍去),t2=6,所以t=6.
这个方法中,无理方程(*)解起来很费时间,先化简为254t2-44=32-5t,然后再化为t2-16t+60=0,才能求得结果,这对于考场上的学生来说,要求很高的计算能力,以及很强的心理素质.事实上连续三次运用勾股定理的方法,直觉上应当是中考实战解题的下策,万不得已应当避免这一解题策略.
2.化归到相似三角形
由tan∠OCA=OAOC=12,可以知道∠OCA=∠DAE,从而有∠DEA=∠ECA,那么能否用“构造相似三角形:延长ED交AC于点N,得△AEN∽△ACE”来列出方程呢.
即AE2=AN•AC,新的问题出来了,如何用t表示AN呢,或者是CN呢?
图3图4还需要构造新的相似三角形,如图3,作NK⊥CD于K,设KN=x,则CK=2x,KD=8-t-2x,由△NDK∽△EFD,得出x=8t-t22t+4,于是AN=AC-CN=8t-t22t+4,于是得方程
(t-2)2+(12t+4)2=45(45-58t-t22t+4 )(*)
方程(*)若直接去分母解,就会化为三次方程,求解会比较困难,应该选择两边通分之策,即5(t2+16)4=20×t2+162t+4,约去一个非零式5(t2+16),直接得到2t+4=16,故t=6.
这个方法是用了一系列的相似三角形,计算量也很大.可见连续运用同一知识点解题,既显得方法的单调,又带来计算上的繁复,这是我们在总复习教学中应该避免的解题策略.
3.化归到等腰三角形
其实由已知“∠ECA=∠OAC”,可以通过延长CE交x轴于点T,直接构造等腰△TAC.问题是点T的坐标怎么得到?
假如运用代数法求出CE的解析式y=kx+8,第一感不是很困难,应当属于实战的中策:
把点E(-12t,t-2)代入,得k=20-2tt;当y=0时,求得点T为(4tt-10,0).在△OCT中运用勾股定理,得(4tt-10)2+82=(4-4tt-10)2.
这个方程比前面两个简单得多,去分母后有t2-16t+60=0,最后轻松得出结果.可见运用不同的知识点,利用多种手法解综合题是中考实战解题的重要策略.
4.化归为中垂线
在上面的方法中,假如我们能够发现下面一个新的知识点:点T在AC的垂直平分线上,就会得到一个解(3)问的上策,将原来的动态问题转化为一个纯几何计算问题.
实际上,明显有△TSA∽△COA,由ASOA=ATAC,得254=AT45,即AT=10,从而得知点T坐标为(-6,0).进而求得TC的解析式:y=43x+8,然后把点E(-12t,t﹣2)代入,得t-2=43(t-2)+8,这是个一元一次方程很快求得t=6.
这个解法的策略是先将条件“∠ECA=∠OAC”固定,然后把动点E往CT上移动.这种先静后动的思路往往也是使问题简化的重要策略.
5.化归为线段
沿着构造等腰三角形的思路,延长EF交AC于点P,则在两个直角三角形中分别运用三角函数:
tan∠ACO=AOCO=PFCF,
于是,有PF=12CF=8-(t-2)2=10-t2.
因此,EP=EF+FP=5,在直角△CEF中,由勾股定理,得方程:(10-t)2+(t2)2=52,化简这个一元二次方程为t2-16t+60=0,从而得解.
这个方法使我们意外发现:EP是个定值,使得问题突然柳暗花明,出现了转机,这在中考解题策略中,虽然不是我们提倡的教学,但是对于实战中的学生来说也不失为上策.
图5图66.化归为等腰梯形
过点E作EQ∥CA交x轴于点Q,将问题“∠ECA=∠OAC”化归为一个等腰梯形问题.
由于AC的解析式为y=-2x+8,所以设EQ为y=-2x+b,代入点E的坐标(-12t,t-2),有 b=-2,于是EQ为y=-2x-2.因而得到点Q为(-1,0),于是EC=AQ=5,再用勾股定理列方程:(10-t)2+(t2)2=52,同样得到t=6.
这个解法,得到意外的收获:点E的运动路线是线段,这一点从上面的方法中“EP是个定值”也可以发现,并且其所在直线解析式为y=-2x-2.事实上,由点E的坐标(-12t,t-2),我们也可以求得点E运动线路的解析式:由x=-12t,得t=-2x,代入y=t-2,得到y=-2x-2.
从后面两个解法,我们看到了命题者选择tan∠ACO=tan∠DAE=12,绝非偶然巧合,而是匠心独运,为学生实战答题留下一个快捷之策.
通过以上分析,我们发现在中考考场的有限时间内解答综合题,不仅需要扎实的基础知识和熟练的基本技能,还需要不断加强联想,从而综合运用知识,把陌生的问题化归为熟悉的类型,根据对问题的总体直觉把握,尽量选择省时且不易出错的解题策略.