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摘要： 采用谱几何法（SpectroGeometric Method， SGM）对弹性边界条件下环板结构的面内自由振动特性进行计算分析，弹性边界条件采用沿各边界均匀分布的法向和切向线性弹簧来模拟。板结构的位移容许函数被不变地描述为一种谱形式的改进三角级数，正弦三角级数项的引入能够有效地克服弹性边界处潜在的不连续或跳跃现象。将位移容许函数的级数展开系数看作广义坐标，并采用瑞利里兹法对其进行求解，得到一个关于级数展开系数的标准特征值问题。通过求解标准特征值问题而简便地求解环板结构面内自由振动固有频率及其振型。通过不同数值算例，并与现有文献解及有限元法计算结果进行对比，验证了文中方法的正确性。关键词： 环板； 面内振动； 谱几何法； 弹性边界条件
中图分类号： O326；TB532文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2016）03-0465-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.012
引言
环板结构作为独立的结构或组合结构的基本构件，已经被广泛地应用于各类工程领域，例如航天飞行器、船舶、建筑等。因此，环板结构的动态特性是工程师和设计者比较关注的问题。然而，目前大量的研究均集中在弯曲振动问题，而对于面内振动问题的研究还比较少见。近年来研究表明[15]，在实际工程应用领域中，需要同时考虑基础构件的弯曲和面内振动。例如，在机械工程领域中，由于加工与安装的不确定性所带来的误差可能会导致实际载荷方向存在一定的角度偏差，进而引起基础结构的面内振动，危害整个结构的可靠性和安全性。而对于复杂组合结构，耦合边处会发生面内振动和弯曲振动的耦合作用，从而引起波型转化。此外，面内振动对于高频振动或能量传输也起着十分重要的作用，还与周围环境的辐射噪声存在直接关系。
Love[6]开创性地研究了自由边界条件下圆板结构面内自由振动问题，给出了一般解，这就是著名的Love理论。Ambati[7]等人提出了一种适用于环板面内振动特性分析的通用求解方案，并通过改变内外半径参数将该求解方案拓展至圆板和圆环结构。Srinivasan[8]等人分析了内边简支、外边自由组合情况下环板的面内振动特性，并通过伽利略变换获得了外边在旋转面内激励力作用下的稳态应力响应情况。Irie[9]等人采用传递矩阵法建立了环板结构面内振动分析模型，其中环板的边界条件仅为内、外边上的自由或固支的组合。Park[10]根据哈密尔顿原理推导了固支边界条件下圆板的面内振动方程。而国内目前的研究工作大部分均集中在环板的弯曲振动问题，对于其面内振动的相关研究较少。史冬岩[11]等对环扇形板结构面内自由振动特性进行了相关研究分析。
文献中的相关研究工作大部分局限于简单的经典边界条件，而对于弹性边界下的面内振动问题涉及还较少。但在实际工程问题中，存在大量的均匀弹性支撑边界，所以弹性边界条件下环板结构面内自由振动问题一直是设计者关心的问题。因此，开展弹性边界约束下环板结构的面内自由振动特性研究具有实际工程需求和意义。
针对这些技术局限性和实际工程需求，本文基于谱几何法建立了弹性边界条件下环板结构面内自由振动分析模型。将面内振动位移容许函数不变地表示为一种谱形式的改进三角级数形式。然后，将位移容許函数的级数展开系数看作广义坐标，并采用瑞利里兹法进行求解，将结构的面内振动问题转化为求解一个标准的特征值问题。最后通过大量的数值算例对文中方法及分析模型进行验证。
3结论
文中基于谱几何法建立了弹性边界约束条件下环板结构面内自由振动分析模型。该方法的思想是将结构的面内振动位移容许函数表示为一种谱形式的改进三角级数形式，采用沿各边界均匀分布的切向和法向线性位移弹簧来模拟任意弹性约束条件，使环板的面内自由振动问题归结为一个标准特征值问题。通过相关数值算例，验证了文中方法的正确性和可靠性，并得出以下结论：
1）任意弹性约束边界条件下环板结构面内振动位移容许函数可以不变地表示为一种谱形式的改进三角级数形式，收敛性较传统的傅里叶级数有较大改善；
2）在数值计算中，随着级数截断项数的增大，计算结果快速收敛，并且表现出良好的数值稳定性；
3）边界条件的改变仅需通过修改边界约束弹簧刚度值来简单实现，而不需要重新构造位移容许函数，或重新推导与编程。
参考文献：
[1]Bercin A N. An assessment of the effects of inplane vibrations on the energy flow between coupled plates [J]. Journal of Sound and Vibration， 1996， 191（5）： 661—680.
[2]Thompson D J. Wheelrail noise generation， Part II： wheel vibration[J]. Journal of Sound and Vibration， 1993， 161（3）： 401—419.
[3]Thompson D J， Jones C J C. A review of the modelling of wheel/rail noise generation [J]. Journal of Sound and Vibration， 2000， 231（3）： 519—536.
[4]Lee H. Sound radiation from inplane vibration of thick annular discs with a narrow radial slot [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2012， 227（5）： 919—934. [5]Bashmal S， Bhat R， Rakheja S. Inplane free vibration analysis of an annular disk with point elastic support [J]. Shock and Vibration， 2011， 18： 627—640.
[6]Love A E H A. A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity [M]. New York： Dover Publications， 1944： 52—71.
[7]Ambati G， Bell J F W， Sharp J C K. Inplane vibrations of annular rings [J]. Journal of Sound and Vibration， 1976， 47（3）： 415—432.
[8]Srinivasan V， Ramamurti V. Dynamic response of an annular disk to a moving concentrated， inplane edge load [J]. Journal of Sound and Vibration， 1980， 72（2）： 251—262.
[9]Irie T， Yamada G， Muramoto Y. Natural frequencies of inplane vibration of annular plates [J]. Journal of Sound and Vibration， 1984， 97（1）： 171—175.
[10]Chan II Park. Frequency equation for the inplane vibration of a clamped circular plate [J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 313（12）： 325—333.
[11]史冬巖，石先杰，李文龙. 任意边界条件下环扇形板面内振动特性分析 [J]. 振动工程学报， 2014， 27（1）： 1—8.
SHI Dongyan， SHI Xianjie， LI Wen long. Inplane vibration analysis of annular sector plates with arbitrary boundary supports [J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（1）： 1—8.
[12]Gorman D J. Exact solutions for the free inplane vibration of rectangular plates with two opposite edges simply supported [J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 294（12）： 131—161.
[13]Shi Xianjie， Shi Dongyan， Li Wenlong， et al. A unified method for free vibration analysis of circular， annular and sector plates with arbitrary boundary conditions [J]. Journal of Vibration and Control， 2016， 22（2）： 442—456.
[14]Eduard Ventsel， Theodor Krauthammer. Thin Plates and Shells： Theory， Analysis， and Applications [M]. New York： Marcel Dekker， Inc.， 2001： 76—82.
中图分类号： O326；TB532文献标志码： A文章编号： 1004-4523（2016）03-0465-07
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2016.03.012
引言
环板结构作为独立的结构或组合结构的基本构件，已经被广泛地应用于各类工程领域，例如航天飞行器、船舶、建筑等。因此，环板结构的动态特性是工程师和设计者比较关注的问题。然而，目前大量的研究均集中在弯曲振动问题，而对于面内振动问题的研究还比较少见。近年来研究表明[15]，在实际工程应用领域中，需要同时考虑基础构件的弯曲和面内振动。例如，在机械工程领域中，由于加工与安装的不确定性所带来的误差可能会导致实际载荷方向存在一定的角度偏差，进而引起基础结构的面内振动，危害整个结构的可靠性和安全性。而对于复杂组合结构，耦合边处会发生面内振动和弯曲振动的耦合作用，从而引起波型转化。此外，面内振动对于高频振动或能量传输也起着十分重要的作用，还与周围环境的辐射噪声存在直接关系。
Love[6]开创性地研究了自由边界条件下圆板结构面内自由振动问题，给出了一般解，这就是著名的Love理论。Ambati[7]等人提出了一种适用于环板面内振动特性分析的通用求解方案，并通过改变内外半径参数将该求解方案拓展至圆板和圆环结构。Srinivasan[8]等人分析了内边简支、外边自由组合情况下环板的面内振动特性，并通过伽利略变换获得了外边在旋转面内激励力作用下的稳态应力响应情况。Irie[9]等人采用传递矩阵法建立了环板结构面内振动分析模型，其中环板的边界条件仅为内、外边上的自由或固支的组合。Park[10]根据哈密尔顿原理推导了固支边界条件下圆板的面内振动方程。而国内目前的研究工作大部分均集中在环板的弯曲振动问题，对于其面内振动的相关研究较少。史冬岩[11]等对环扇形板结构面内自由振动特性进行了相关研究分析。
文献中的相关研究工作大部分局限于简单的经典边界条件，而对于弹性边界下的面内振动问题涉及还较少。但在实际工程问题中，存在大量的均匀弹性支撑边界，所以弹性边界条件下环板结构面内自由振动问题一直是设计者关心的问题。因此，开展弹性边界约束下环板结构的面内自由振动特性研究具有实际工程需求和意义。
针对这些技术局限性和实际工程需求，本文基于谱几何法建立了弹性边界条件下环板结构面内自由振动分析模型。将面内振动位移容许函数不变地表示为一种谱形式的改进三角级数形式。然后，将位移容許函数的级数展开系数看作广义坐标，并采用瑞利里兹法进行求解，将结构的面内振动问题转化为求解一个标准的特征值问题。最后通过大量的数值算例对文中方法及分析模型进行验证。
3结论
文中基于谱几何法建立了弹性边界约束条件下环板结构面内自由振动分析模型。该方法的思想是将结构的面内振动位移容许函数表示为一种谱形式的改进三角级数形式，采用沿各边界均匀分布的切向和法向线性位移弹簧来模拟任意弹性约束条件，使环板的面内自由振动问题归结为一个标准特征值问题。通过相关数值算例，验证了文中方法的正确性和可靠性，并得出以下结论：
1）任意弹性约束边界条件下环板结构面内振动位移容许函数可以不变地表示为一种谱形式的改进三角级数形式，收敛性较传统的傅里叶级数有较大改善；
2）在数值计算中，随着级数截断项数的增大，计算结果快速收敛，并且表现出良好的数值稳定性；
3）边界条件的改变仅需通过修改边界约束弹簧刚度值来简单实现，而不需要重新构造位移容许函数，或重新推导与编程。
参考文献：
[1]Bercin A N. An assessment of the effects of inplane vibrations on the energy flow between coupled plates [J]. Journal of Sound and Vibration， 1996， 191（5）： 661—680.
[2]Thompson D J. Wheelrail noise generation， Part II： wheel vibration[J]. Journal of Sound and Vibration， 1993， 161（3）： 401—419.
[3]Thompson D J， Jones C J C. A review of the modelling of wheel/rail noise generation [J]. Journal of Sound and Vibration， 2000， 231（3）： 519—536.
[4]Lee H. Sound radiation from inplane vibration of thick annular discs with a narrow radial slot [J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part C： Journal of Mechanical Engineering Science， 2012， 227（5）： 919—934. [5]Bashmal S， Bhat R， Rakheja S. Inplane free vibration analysis of an annular disk with point elastic support [J]. Shock and Vibration， 2011， 18： 627—640.
[6]Love A E H A. A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity [M]. New York： Dover Publications， 1944： 52—71.
[7]Ambati G， Bell J F W， Sharp J C K. Inplane vibrations of annular rings [J]. Journal of Sound and Vibration， 1976， 47（3）： 415—432.
[8]Srinivasan V， Ramamurti V. Dynamic response of an annular disk to a moving concentrated， inplane edge load [J]. Journal of Sound and Vibration， 1980， 72（2）： 251—262.
[9]Irie T， Yamada G， Muramoto Y. Natural frequencies of inplane vibration of annular plates [J]. Journal of Sound and Vibration， 1984， 97（1）： 171—175.
[10]Chan II Park. Frequency equation for the inplane vibration of a clamped circular plate [J]. Journal of Sound and Vibration， 2008， 313（12）： 325—333.
[11]史冬巖，石先杰，李文龙. 任意边界条件下环扇形板面内振动特性分析 [J]. 振动工程学报， 2014， 27（1）： 1—8.
SHI Dongyan， SHI Xianjie， LI Wen long. Inplane vibration analysis of annular sector plates with arbitrary boundary supports [J]. Journal of Vibration Engineering， 2014， 27（1）： 1—8.
[12]Gorman D J. Exact solutions for the free inplane vibration of rectangular plates with two opposite edges simply supported [J]. Journal of Sound and Vibration， 2006， 294（12）： 131—161.
[13]Shi Xianjie， Shi Dongyan， Li Wenlong， et al. A unified method for free vibration analysis of circular， annular and sector plates with arbitrary boundary conditions [J]. Journal of Vibration and Control， 2016， 22（2）： 442—456.
[14]Eduard Ventsel， Theodor Krauthammer. Thin Plates and Shells： Theory， Analysis， and Applications [M]. New York： Marcel Dekker， Inc.， 2001： 76—82.