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摘 要 高等代数是数学专业的一门竹竿基础课程，它是学生的抽象思维能力、逻辑能力的培养，它同数学分析都是对后继课程学习起着非常重要的作用。学生在学习高等代数的过程中，由于高等代数中知识的抽象，让学生不能更好地掌握其中的内涵。为帮助学生消化课堂讲授的内容，加深对基础概念、基本理论的理解，提高学生学习能力，所以对高等代数知识中的行列式和线性方程组进行总结。
关键词 高等代数 抽象 行列式 线性方程组
一、行列式
（一）行列式的性质
1、性质1行与列互换，行列式的值不变
2、性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外
3、性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同
4、性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零
5、性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零
6、性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变
7、性质7交换两行（列）的位置，行列式的值不变
（二）行列式的解答方法
1、利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角形
2、行列式按某一行（列）展开，结合归纳法展开
例
3、升阶法
行列式计算的方法一般是降阶，但对于一些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或者成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶行列式，特别是第一列为（1，0，…0）并适当选取第一行的元素，就可以使消零化简更简单，这一方法成为升阶法或加边法。
4、利用特殊行列式，如范德蒙德行列式
例：
5、行列式降阶定理（利用分块矩阵）
设A为r阶方阵，B为r€譻阵，c为s€譺阵，D为s阶方阵，则当A、D都可逆时，ID—CA_1BI=书甜iA—BD叫cf（3）称定理2为行列式的第二降阶定理。
6、克拉默法则
（1）如果线性方程组的系数矩阵
则方程组有唯一解
其中
（2）含n个方程n个未知量的其次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必为零
二、线性方程组
（一）求解线性方程组的消元法
1、消元法是求解线性方程组的具体方法，它通过对线性方程组施行三种初等变换
（1）用一非零的数乘某一方程
（2）把一方程的倍数加到另一方程
（3）互换两个方程的位置
2、消元法解线性方程组的理论根据是：线性方程组经初等变换得到同解线性方程组。
3、使用消元法解线性方程组可以在线性方程组的增广矩阵由方程组的系数与右端项构成的矩阵上进行，即对增广矩阵的行施行矩阵的响应的初等变换化为阶梯矩阵，此时就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯方程行去解。
（二）向量组的线性相关性
设V是数域P上的向量空间€%Z，€%Z1，…，€%Zs，€%[，€%[1，…，€%[s∈V
1、如果存在数域P中的一组数K1，K2，…，Ks，使€%Z=K1€%Z1+K2€%Z2+…+Ks€%Zs，则称向量€%Z是向量组€%Z1，…，€%Zs的线性组合，或称向量€%Z可由向量组€%Z1，…，€%Zs的线性表出。
2、如果向量组（Ⅰ）€%Z，€%Z1，…，€%Zs中每个向量€%Zi都可由向量组（Ⅱ）€%[，€%[1，…，€%[s线性表出，则称这两个向量组等价。
（1）反身性：每个向量组都与它本身等价
（2）对称性：如果向量组€%Z1，…，€%Zs与€%[1，…，€%[s等价，则向量€%[1，…，€%[s也与€%Z1，…，€%Zs等价
（3）传递性：如果向量组€%Z1，…，€%Zs与€%[，€%[1，…，€%[t等价，€%[1，…，€%[t与€%＼1，…，€%＼p等价，那么向量组€%Z1，…，€%Zs与€%＼1，…，€%＼p等价
3、线性表出与线性相关的关系：
（1）向量组€%Z1，…，€%Zs（s≥2）线性相关充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表出；
（2）如果向量组€%Z1，…，€%Zs线性无关，而向量组€%Z1，…，€%Zs，€%[线性相关，则€%[可由向量组€%Z1，…，€%Zs唯一线性表示；
（3）如果向量组€%Z1，…，€%Zs可由向量组€%[，€%[1，…，€%[t线性表出，且s>t，则€%Z1，…，€%Zs必线性无关；
（4）如果向量组€%Z1，…，€%Zs线性无关，且它可由由向量组€%[，€%[1，…，€%[t线性表出，则s≤t
（5）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。
（三）向量的秩与极大线性无关组的有关结论
1、向量组与它的任一极大线性无关组等价；
2、向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3、向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同；
4、如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出，则向量组（Ⅰ）的秩大于向量组（Ⅱ）的秩；
5、等价的向量组有相同的秩
（四）矩阵
矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。在矩阵的学习中，我们可以利用行列式、伴随矩阵、逆矩阵以及对称矩阵和反对称矩阵，这使我们的对于矩阵的学习有着更深刻的印象和了解。
（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）
关键词 高等代数 抽象 行列式 线性方程组
一、行列式
（一）行列式的性质
1、性质1行与列互换，行列式的值不变
2、性质2某行（列）的公因子可以提到行列式符号外
3、性质3如果某行（列）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行（列）元素与原行列式相同
4、性质4两行（列）对应元素相同，行列式的值为零
5、性质5两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零
6、性质6某行（列）的倍数加到另一行（列），行列式的值不变
7、性质7交换两行（列）的位置，行列式的值不变
（二）行列式的解答方法
1、利用行列式的性质，将行列式化为上（下）三角形
2、行列式按某一行（列）展开，结合归纳法展开
例
3、升阶法
行列式计算的方法一般是降阶，但对于一些特殊的n阶行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或者成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶行列式，特别是第一列为（1，0，…0）并适当选取第一行的元素，就可以使消零化简更简单，这一方法成为升阶法或加边法。
4、利用特殊行列式，如范德蒙德行列式
例：
5、行列式降阶定理（利用分块矩阵）
设A为r阶方阵，B为r€譻阵，c为s€譺阵，D为s阶方阵，则当A、D都可逆时，ID—CA_1BI=书甜iA—BD叫cf（3）称定理2为行列式的第二降阶定理。
6、克拉默法则
（1）如果线性方程组的系数矩阵
则方程组有唯一解
其中
（2）含n个方程n个未知量的其次线性方程组如果有非零解，则其系数矩阵的行列式必为零
二、线性方程组
（一）求解线性方程组的消元法
1、消元法是求解线性方程组的具体方法，它通过对线性方程组施行三种初等变换
（1）用一非零的数乘某一方程
（2）把一方程的倍数加到另一方程
（3）互换两个方程的位置
2、消元法解线性方程组的理论根据是：线性方程组经初等变换得到同解线性方程组。
3、使用消元法解线性方程组可以在线性方程组的增广矩阵由方程组的系数与右端项构成的矩阵上进行，即对增广矩阵的行施行矩阵的响应的初等变换化为阶梯矩阵，此时就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯方程行去解。
（二）向量组的线性相关性
设V是数域P上的向量空间€%Z，€%Z1，…，€%Zs，€%[，€%[1，…，€%[s∈V
1、如果存在数域P中的一组数K1，K2，…，Ks，使€%Z=K1€%Z1+K2€%Z2+…+Ks€%Zs，则称向量€%Z是向量组€%Z1，…，€%Zs的线性组合，或称向量€%Z可由向量组€%Z1，…，€%Zs的线性表出。
2、如果向量组（Ⅰ）€%Z，€%Z1，…，€%Zs中每个向量€%Zi都可由向量组（Ⅱ）€%[，€%[1，…，€%[s线性表出，则称这两个向量组等价。
（1）反身性：每个向量组都与它本身等价
（2）对称性：如果向量组€%Z1，…，€%Zs与€%[1，…，€%[s等价，则向量€%[1，…，€%[s也与€%Z1，…，€%Zs等价
（3）传递性：如果向量组€%Z1，…，€%Zs与€%[，€%[1，…，€%[t等价，€%[1，…，€%[t与€%＼1，…，€%＼p等价，那么向量组€%Z1，…，€%Zs与€%＼1，…，€%＼p等价
3、线性表出与线性相关的关系：
（1）向量组€%Z1，…，€%Zs（s≥2）线性相关充分必要条件是其中至少有一个向量可由其余s-1个向量线性表出；
（2）如果向量组€%Z1，…，€%Zs线性无关，而向量组€%Z1，…，€%Zs，€%[线性相关，则€%[可由向量组€%Z1，…，€%Zs唯一线性表示；
（3）如果向量组€%Z1，…，€%Zs可由向量组€%[，€%[1，…，€%[t线性表出，且s>t，则€%Z1，…，€%Zs必线性无关；
（4）如果向量组€%Z1，…，€%Zs线性无关，且它可由由向量组€%[，€%[1，…，€%[t线性表出，则s≤t
（5）两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。
（三）向量的秩与极大线性无关组的有关结论
1、向量组与它的任一极大线性无关组等价；
2、向量组的任意两个极大线性无关组等价；
3、向量组的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相同；
4、如果向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表出，则向量组（Ⅰ）的秩大于向量组（Ⅱ）的秩；
5、等价的向量组有相同的秩
（四）矩阵
矩阵理论是高等代数的主要内容之一，也是数学及许多科学领域中的重要工具，它有着广泛的应用。在矩阵的学习中，我们可以利用行列式、伴随矩阵、逆矩阵以及对称矩阵和反对称矩阵，这使我们的对于矩阵的学习有着更深刻的印象和了解。
（作者单位：沈阳师范大学数学与系统科学学院）