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【摘要】本文对教材一道经典隐式微分方程习题的三种推广进行分析.
【关键词】隐式微分方程
本文是对教材x（y′）3=1 y′隐式微分方程的三种推广分析，具体如下：
推广一把原方程的x变成mx，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成mx（y′）n=1 y′.（1）
分析方程（1）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（1）可化为x=m-1（p-n p-（n-1）），两边同时对y求导整理得dpdy=mpn-n-（n-1）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-1）pmpn，
两边同时积分整理得y=nm（n-1）pn-1 n-1m（n-2）pn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（1）的通解为
x=m-1（p-n p-（n-1）），y=nm（n-1）pn-1 n-1m（n-2）pn-2 c （其中c为任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得x=m-1（tn tn-1）.
由dy=y′dx可得
dy=1tnmtn-1 n-1mtn-2dt=nmtn-2 n-1mtn-3dt，
两边同时积分整理得y=nm（n-1）tn-1 n-1m（n-2）tn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（1）的通解为
x=m-1（tn tn-1），y=nm（n-1）tn-1 n-1m（n-2）tn-2 c （其中c为任意常数）.
推广二把原方程的x变成xm，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成xm（y′）n=1 y′.（2）
分析方程（2）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（2）可化为xm=p-n p-（n-1），
两边同时对y求导整理得dpdy=mxm-1pn-n-（n-1）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-1）pmxm-1pn，
两边同时积分整理得y=nmxm-1（n-1）pn-1 n-1mxm-1（n-2）pn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（2）的通解为
x=mp-n p-（n-1），y=nmxm-1（n-1）pn-1 n-1mxm-1（n-2）pn-2 c
（其中c是任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得xm=tn tn-1，
由dy=y′dx，
dy=1tnmxm-1tn-1 n-1mxm-1tn-2dt
=nmxm-1tn-2 n-1mxm-1tn-3dt，
两边同时积分整理得
y=nmxm-1（n-1）tn-1 n-1mxm-1（n-2）tn-2 c（其中c为任意常数）.
综上所述，方程（2）的通解为
x=mtn tn-1，y=nmxm-1（n-1）tn-1 n-1mxm-1（n-2）tn-2 c （其中c为任意常数）.
推广三把原方程的y′变成（y′）m，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成x（y′）n=1 （y′）m.（3）
分析方程（3）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（3）可化为x=p-n p-（n-m），
两边同时对y求导整理得dpdy=pn-n-（n-m）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-m）ppn，
两边同时积分整理得y=n（n-1）pn-1 n-1（n-m-1）pn-m-1 c（其中c為任意常数）.
综上所述，方程（3）的通解为
x=p-n p-（n-m），y=n（n-1）pn-1 n-1（n-m-1）pn-m-1 c （其中c为任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得x=tn tn-m，
由dy=y′dx得
dy=1t{ntn-1 （n-m）tn-m-1}dt={ntn-2 （n-m）tn-m-2}dt，
两边同时积分整理得y=nn-1tn-1 n-mn-m-1tn-m-1 c（其中c为任意常数）.
综上所述，方程（3）的通解为
x=tn tn-m，y=nn-1tn-1 n-mn-m-1tn-m-1 c （其中c为任意常数）.
【参考文献】
[1]赵临龙，李必文，张明波.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.
[2]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]丁同仁，李承志.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.
【关键词】隐式微分方程
本文是对教材x（y′）3=1 y′隐式微分方程的三种推广分析，具体如下：
推广一把原方程的x变成mx，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成mx（y′）n=1 y′.（1）
分析方程（1）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（1）可化为x=m-1（p-n p-（n-1）），两边同时对y求导整理得dpdy=mpn-n-（n-1）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-1）pmpn，
两边同时积分整理得y=nm（n-1）pn-1 n-1m（n-2）pn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（1）的通解为
x=m-1（p-n p-（n-1）），y=nm（n-1）pn-1 n-1m（n-2）pn-2 c （其中c为任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得x=m-1（tn tn-1）.
由dy=y′dx可得
dy=1tnmtn-1 n-1mtn-2dt=nmtn-2 n-1mtn-3dt，
两边同时积分整理得y=nm（n-1）tn-1 n-1m（n-2）tn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（1）的通解为
x=m-1（tn tn-1），y=nm（n-1）tn-1 n-1m（n-2）tn-2 c （其中c为任意常数）.
推广二把原方程的x变成xm，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成xm（y′）n=1 y′.（2）
分析方程（2）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（2）可化为xm=p-n p-（n-1），
两边同时对y求导整理得dpdy=mxm-1pn-n-（n-1）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-1）pmxm-1pn，
两边同时积分整理得y=nmxm-1（n-1）pn-1 n-1mxm-1（n-2）pn-2 c（其中c是任意常数）.
综上所述，方程（2）的通解为
x=mp-n p-（n-1），y=nmxm-1（n-1）pn-1 n-1mxm-1（n-2）pn-2 c
（其中c是任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得xm=tn tn-1，
由dy=y′dx，
dy=1tnmxm-1tn-1 n-1mxm-1tn-2dt
=nmxm-1tn-2 n-1mxm-1tn-3dt，
两边同时积分整理得
y=nmxm-1（n-1）tn-1 n-1mxm-1（n-2）tn-2 c（其中c为任意常数）.
综上所述，方程（2）的通解为
x=mtn tn-1，y=nmxm-1（n-1）tn-1 n-1mxm-1（n-2）tn-2 c （其中c为任意常数）.
推广三把原方程的y′变成（y′）m，把原方程的（y′）3变成（y′）n，则把原方程变成x（y′）n=1 （y′）m.（3）
分析方程（3）是关于x的隐式微分方程，我们引入参数，将隐式方程转化为显式可求解的方程，从而进行求解.
解法一令y′=p，方程（3）可化为x=p-n p-（n-m），
两边同时对y求导整理得dpdy=pn-n-（n-m）p，
方程对于p来说是可分离变量方程，
故分离变量得-dy=dpn （n-m）ppn，
两边同时积分整理得y=n（n-1）pn-1 n-1（n-m-1）pn-m-1 c（其中c為任意常数）.
综上所述，方程（3）的通解为
x=p-n p-（n-m），y=n（n-1）pn-1 n-1（n-m-1）pn-m-1 c （其中c为任意常数）.
解法二令y′=t-1，代入原方程得x=tn tn-m，
由dy=y′dx得
dy=1t{ntn-1 （n-m）tn-m-1}dt={ntn-2 （n-m）tn-m-2}dt，
两边同时积分整理得y=nn-1tn-1 n-mn-m-1tn-m-1 c（其中c为任意常数）.
综上所述，方程（3）的通解为
x=tn tn-m，y=nn-1tn-1 n-mn-m-1tn-m-1 c （其中c为任意常数）.
【参考文献】
[1]赵临龙，李必文，张明波.常微分方程[M].武汉：华中师范大学出版社，2014.
[2]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程：第2版[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]丁同仁，李承志.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1985.