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[摘 要] 在中职《数学(基础模块)》修订版上册中,第2章 第3节一元二次不等式的教学中,围绕一元二次函数、一元二次方程以及一元二次不等式之间的关系及其应用,以一元二次函数为中心,从代数角度及几何图形角度,利用数形结合,由图像直观感知揭示规律,解决不等式问题。
[关 键 词] 二次函数;图像;一元二次不等式;一元二次方程
[中图分类号] G715 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2020)31-0102-02
由于中职生的文化基础较差,初中阶段对数学的学习缺漏多,数学基础知识很薄弱。在《数学(基础模块)》修订版上册中,第2章 第3节一元二次不等式的教学中感触特别强烈,学生对于初中所学的一元二次方程、一元二次函数的知识极其不熟悉。一元二次方程、一元二次函数在初高中甚至中职的数学中,都占有重要的地位,有着广泛的应用,紧密联系中职数学,起桥梁、纽带的作用。中职数学教材中,从初中一次函数、一元一次方程与一元一次不等式出发,利用一元一次函数图象,引出一元二次函数图象与之进行对比,并提出问题、解决问题,引导学生利用已学过的知识解答,从而达到教育教学的目的。
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数,这三种题型,最终都可以归结为对一元二次函数的研究。从代数的角度来看,一元二次方程是令函数值为0时,自变量的取值;一元二次不等式则是令函数值大于0(或小于零)时,自变量的取值范围。从几何角度看,通过画出二次函数的图象,判断函数图象(抛物线)在直角坐标系中,图象与x轴、y轴之间的位置关系判断函数的性质,一元二次方程则是,图象与x轴交点的x的值;一元二次不等式则是,图象与x轴的位置关系,如果图象在x轴上方函数值大于0,否则反之。利用数形结合形象直观地告诉学生,“一元二次”三者之间的联系。
下面我们就对三者之间的知识进行一个总结。
一、二次方程、二次函数、二次不等式基础代数知识
1.一元二次方程一般式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数且a≠0)
③当Δ=b2-4ac<0时,ax2+bx+c=0,无实数根。
(3)根与系数的关系,韦达定理:
2.一元二次函数一般式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数且a≠0)
(1)函数其他形式。
①顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
②两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
(2)函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。
a的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。
(3)一般式的顶点、对称轴。
3.一元二次不等式一般式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,(其中a>0)
设ax2+bx+c=0(a≠0)时,当Δ=b2-4ac>0,两个根分别为x1、x2,且x1<x2
(1)ax2+bx+c>0
①Δ>0 解集為{x|x<x1或x>x2}
③Δ<0 解集为R
(2)ax2+bx+c<0
①Δ>0 解集为{x|x1<x<x2}
②Δ=0 解集为Φ
③Δ<0 解集为Φ
二、二次方程、二次函数、二次不等式几何意义
1.一元二次方程标准式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数且a≠0)
根的判别式Δ=b2-4ac
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,图象与x轴有两个交点。
(2)当Δ=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根,图象与x轴只有一个交点。
(3)当Δ=b2-4ac<0时,无实数根,图象与x轴无交点。
2.一元二次函数标准式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数且a≠0)
(1)当a>0时,y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,
(2)当a<0时,y=f(x)的图象是开口向下的抛物线,
3.一元二次不等式标准式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,(其中a>0)
(1)ax2+bx+c>0(其中a>0)
①图象与x轴有两个交点
解集为{x|x<x1或x>x2}
②图象与x轴有一个交点
③图象与x轴没有交点
解集为R
(2)ax2+bx+c<0(其中a>0)
①图象与x轴有两个交点
解集为{x|x1<x<x2}
②图象与x轴有一个交点
解集为Φ
③图象与x轴没有交点
解集为Φ
从以上对三者之间基础知识的对比,我们发现二次函数、二次方程及不等式中需要记忆的知识、公式太多、太繁杂,对于中职生的实际学习能力,及数学知识的基础不扎实来说,确实是一个难度很大的学习过程。我们通过借助一元二次函数图象,利用抛物线在直角坐标系中体现出的直观性,结合函数、方程以及不等式的基础知识,从而让学生更轻松地掌握知识。
学生通过对函数基础知识的学习,利用基础一元二次函数的顶点公式,对称轴的求解,画出大致抛物线的草图,再通过草图准确掌握函数的性质,从而学会一元二次方程、一元二次不等式的解法。在科技高速发展的今天,学生对于手机软件、电脑软件的学习能力较强,也可以通过许多大家都熟悉的数学软件,如几何画板、GeoGebra等数学软件制作准确的函数图象,并从中掌握一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程的解题规律,以达到更好的学习效果。
实例分析:
例题:画出一元二次函数y=x2-4x+3的图象。
说一说,①当x取哪些值时,y=0?②当x取哪些值时,y>0?③当x取哪些值时,y<0?
分析:方法一:可以利用几何画板画出函数图象,从图象可知,对称轴x=2,与y轴的两个交点分别为(1,0)、(3,0)所以
①当x=1或x=3时,y=0
②当{x|x<1或x>3}时,y>0
③当{x|1<x<3}时,y<0
方法二:①令y=0,即x2-4x+3=0,利用因式分解(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,利用口诀“大于在两边,小于夹中间”
②当{x|x<1或x>3}时,y>0
③当{x|1<x<3}时,y<0
在中职数学“2.3一元二次不等式”的教学中,我们常常以 一元二次函数的知识点为基础,一元二次方程及一元二次不等式分别是以函数与x轴的位置关系,与x轴有两个交点、一个交点或者是没有交点,通过二次函数的函数图象和基本性质来解决问题,在数形结合的反复练习中,应掌握函数的基本性质,从而提高熟练解决二次方程及二次不等式的解题能力。
◎编辑 马燕萍
[关 键 词] 二次函数;图像;一元二次不等式;一元二次方程
[中图分类号] G715 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603(2020)31-0102-02
由于中职生的文化基础较差,初中阶段对数学的学习缺漏多,数学基础知识很薄弱。在《数学(基础模块)》修订版上册中,第2章 第3节一元二次不等式的教学中感触特别强烈,学生对于初中所学的一元二次方程、一元二次函数的知识极其不熟悉。一元二次方程、一元二次函数在初高中甚至中职的数学中,都占有重要的地位,有着广泛的应用,紧密联系中职数学,起桥梁、纽带的作用。中职数学教材中,从初中一次函数、一元一次方程与一元一次不等式出发,利用一元一次函数图象,引出一元二次函数图象与之进行对比,并提出问题、解决问题,引导学生利用已学过的知识解答,从而达到教育教学的目的。
一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数,这三种题型,最终都可以归结为对一元二次函数的研究。从代数的角度来看,一元二次方程是令函数值为0时,自变量的取值;一元二次不等式则是令函数值大于0(或小于零)时,自变量的取值范围。从几何角度看,通过画出二次函数的图象,判断函数图象(抛物线)在直角坐标系中,图象与x轴、y轴之间的位置关系判断函数的性质,一元二次方程则是,图象与x轴交点的x的值;一元二次不等式则是,图象与x轴的位置关系,如果图象在x轴上方函数值大于0,否则反之。利用数形结合形象直观地告诉学生,“一元二次”三者之间的联系。
下面我们就对三者之间的知识进行一个总结。
一、二次方程、二次函数、二次不等式基础代数知识
1.一元二次方程一般式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数且a≠0)
③当Δ=b2-4ac<0时,ax2+bx+c=0,无实数根。
(3)根与系数的关系,韦达定理:
2.一元二次函数一般式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数且a≠0)
(1)函数其他形式。
①顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)
②两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
(2)函数的图象是对称轴平行于y轴的抛物线。
a的符号决定抛物线的开口方向:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。
(3)一般式的顶点、对称轴。
3.一元二次不等式一般式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,(其中a>0)
设ax2+bx+c=0(a≠0)时,当Δ=b2-4ac>0,两个根分别为x1、x2,且x1<x2
(1)ax2+bx+c>0
①Δ>0 解集為{x|x<x1或x>x2}
③Δ<0 解集为R
(2)ax2+bx+c<0
①Δ>0 解集为{x|x1<x<x2}
②Δ=0 解集为Φ
③Δ<0 解集为Φ
二、二次方程、二次函数、二次不等式几何意义
1.一元二次方程标准式:ax2+bx+c=0(其中a、b、c为常数且a≠0)
根的判别式Δ=b2-4ac
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根,图象与x轴有两个交点。
(2)当Δ=b2-4ac=0时,有两个相等的实数根,图象与x轴只有一个交点。
(3)当Δ=b2-4ac<0时,无实数根,图象与x轴无交点。
2.一元二次函数标准式:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数且a≠0)
(1)当a>0时,y=f(x)的图象是开口向上的抛物线,
(2)当a<0时,y=f(x)的图象是开口向下的抛物线,
3.一元二次不等式标准式:ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,(其中a>0)
(1)ax2+bx+c>0(其中a>0)
①图象与x轴有两个交点
解集为{x|x<x1或x>x2}
②图象与x轴有一个交点
③图象与x轴没有交点
解集为R
(2)ax2+bx+c<0(其中a>0)
①图象与x轴有两个交点
解集为{x|x1<x<x2}
②图象与x轴有一个交点
解集为Φ
③图象与x轴没有交点
解集为Φ
从以上对三者之间基础知识的对比,我们发现二次函数、二次方程及不等式中需要记忆的知识、公式太多、太繁杂,对于中职生的实际学习能力,及数学知识的基础不扎实来说,确实是一个难度很大的学习过程。我们通过借助一元二次函数图象,利用抛物线在直角坐标系中体现出的直观性,结合函数、方程以及不等式的基础知识,从而让学生更轻松地掌握知识。
学生通过对函数基础知识的学习,利用基础一元二次函数的顶点公式,对称轴的求解,画出大致抛物线的草图,再通过草图准确掌握函数的性质,从而学会一元二次方程、一元二次不等式的解法。在科技高速发展的今天,学生对于手机软件、电脑软件的学习能力较强,也可以通过许多大家都熟悉的数学软件,如几何画板、GeoGebra等数学软件制作准确的函数图象,并从中掌握一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程的解题规律,以达到更好的学习效果。
实例分析:
例题:画出一元二次函数y=x2-4x+3的图象。
说一说,①当x取哪些值时,y=0?②当x取哪些值时,y>0?③当x取哪些值时,y<0?
分析:方法一:可以利用几何画板画出函数图象,从图象可知,对称轴x=2,与y轴的两个交点分别为(1,0)、(3,0)所以
①当x=1或x=3时,y=0
②当{x|x<1或x>3}时,y>0
③当{x|1<x<3}时,y<0
方法二:①令y=0,即x2-4x+3=0,利用因式分解(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,利用口诀“大于在两边,小于夹中间”
②当{x|x<1或x>3}时,y>0
③当{x|1<x<3}时,y<0
在中职数学“2.3一元二次不等式”的教学中,我们常常以 一元二次函数的知识点为基础,一元二次方程及一元二次不等式分别是以函数与x轴的位置关系,与x轴有两个交点、一个交点或者是没有交点,通过二次函数的函数图象和基本性质来解决问题,在数形结合的反复练习中,应掌握函数的基本性质,从而提高熟练解决二次方程及二次不等式的解题能力。
◎编辑 马燕萍