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摘 要：可控热核聚变是解决能源危机的终极方式，实现热核聚变离不开对聚变等离子体物理特性的诊断。由于聚变等离子体高温的特性，常规的直接诊断法通常难以实现。介绍一种利用法拉第旋光效应来诊断等离子体内部磁场大小的方法。从麦克斯韦方程组出发，给出了等离子体中法拉第效应的定量表达式。利用推导出的结论，结合相关的实验参数作出可行性分析。
关键词：法拉第效应;等离子体;电磁波;偏振
中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.104
1 背景介绍
法拉第效应是一种神奇的磁光效应，描述的介质中电磁波与磁场的一种相互作用。当一束线偏振的电磁波入射到介质中时，与电磁波传播方向平行的磁场分量会导致线偏振光的偏振面发生偏转，而且偏转的角度与平行磁场分量成正比。即：
β=VBd
其中β是旋转角度，B是磁场沿着电磁波传播方向的分量，V称为维尔德系数，与介质的材料本质、波长、温度有关。
这种效应在光学、天体物理等方面有著十分重要的应用。例如，利用法拉第效应制作光隔离器，能够减少光学器件的反射对激光的干扰，是激光器的不可或缺的组件。再者，在天体物理中，当光波从光源传播到地球的过程中，会经过星际间的介质。在星际介质中传播时，光波的偏振面由于法拉第效应会发生偏转。因此，给予星际间的电子密度，即可计算出偏转角与磁场大小的系数，从而估算出磁场大小。地球的电离层同样会导致法拉第效应的产生，但是越是高频（波长越短）的电磁波，其维尔德系数越小。因此，对于电视频率（<500MHz）来说，穿过地球电离层会出现至少一个全旋转（360度），所以对于电视信号来说，被电离层反射之后，其偏振是难以估计的;但对于高频的卫星信号所在的频段（GHz），由于法拉第效应带来的偏振面偏转能够维持在容许误差之内。
等离子体是物质的第四种状态，其物质特性与固体、液体和气体有很大的不同。宇宙中可见物质的99%都以等离子体的状态存在。研究宇宙中等离子体的物质特性是天体物理的一个重要分支，但自上世纪50年代以来，随着氢弹的研制成功，人们一直希望能够实现可控的热核聚变，来解决日益严峻的能源危机。我们知道，要想使原子核克服库仑斥力聚合在一起，就必须施以极大的外力。也就是说，需要极高的温度或极大的压强。在热核聚变中，有一个十分著名的劳森判据，对于氘氚反应，在14keV的温度下，电子密度n、温度T和约束时间 τ应满足如下关系：
nTτ3×1021keV·s/m3
在如此高的温度和密度下，氘和氚被电离，形成等离子体。因此等离子体物理在核聚变研究中有着无比重要的地位。无论是磁约束核聚变（例如国际合作的ITER装置以及我国的EAST装置）或是激光惯性约束聚变（例如我国的神光三装置），都离不开对等离子体的性质的研究。因此我们需要对等离子体的内部性质进行诊断来获得实验数据，但问题在于，聚变等离子体的高温高密高压的性质使得等离子体诊断十分困难。直接测量是不可能的，我们需要借助各种手段，通过间接的方式测量等离子体的性质。
本文介绍一种利用法拉第效应来测量等离子体性质的方式，从麦克斯韦方程组出发，推导出等离子体中法拉第效应公式，并对具体问题进行一些讨论。
2 理论模型
从麦克斯韦方程组出发，在等离子体中，我们有
考虑等离子体中外加一个恒定磁场B=B0e︿z ，e︿z为z方向的单位向量。电子的流体方程可简化为：
现在讨论电磁波的情况。如下图所示，若电磁波的传播方向平行于外磁场，即k//B0。根据假设，k、B0都是沿着z轴方向，由于电磁波是横波，即k-E1=0，则E1在x-y平面内。又由于B0使电子运动速度ue1有x、y方向的2个分量，即：
E1=（E1X，E1y，0）
ue1=（uX，uy，0）
左侧为线偏振电磁波，沿外加磁场方向入射等离子体。
假设所有扰动量E1、B1、ue1、j1均有相同的传播因子ei（kz-ωt）REF_Ref507236548＼r＼h[3]，那么可以将（4）、（6）线性化为下式：
-iωmeux=-eE1x-euyB0（8）
-iωmeuy=-eE1y+euxB0（9）
（ω2-k2c2）E1x=ieωn0ux/ε0（10）
（ω2-k2c2）E1y=ieωn0uy/ε0（11）
其中（8）、（9）是运动方程，（10）、（11）是场方程。由（10）、（11）解出ux、uy，代入（9）、（10），有
（ω2-k2c2-ωpe2）E1x+iωceω（ω2-k2c2）E1y=0（12）
iωceω（ω2-k2c2）E1x-（ω2-k2c2-ωpe2）E1y=0（13）
式中ωce=eB0me为电子在外磁场B0中的回旋频率，ωpe=n0e2meε0为电子等离子体频率。根据线性代数的知识，（12）、（13）若有非零解，其充要条件是其系数行列式等于0，即：
（ω2-k2c2-ωpe2）2=ωce2ω2ω2-k2c2）2（14）
有
ω2-k2c2-ωpe2=±ωceω（ω2-k2c2）（15）
所以
E1y=±iE1x（16）
E1=E1xex+E1yey=E0（ex±iey）ei（kz-ωt）（17）
又已知其为圆偏振波，“+”对应右旋圆偏振波（R），“-”对应左旋圆偏振波（L），则（14）为R波与L波的色散关系，整理得
kR（L）=ωc1-ωpe2ω2（1ωceω）（18） 下面考虑线偏振波以平行于外加磁场B0的方向入射等离子体，那么线偏振波可以分解为左旋和右旋圆偏振波的叠加，即：
E=EL+ER=E0ex（eikLz+eikRz）-iey（eikLz-eikRz）e-iωt（19）
则：
cotφ=ExEy=-i1+ei（kL-kR）z1-ei（kL-kR）z（20）
所以
φ=arccotExEy=（kL-kR）z2（21）
考虑ωωpeωce，由（18）有
kL-kR=ωc 1-ωpe2ω2（1+ωceω）-ωc 1-ωpe2ω2（1-ωceω）（22）
对（22）进行泰勒展开，有
kL-kR=12ωc1-ωpe2ω2（1+ωceω）-1+ωpe2ω2（1-ωceω）=ωpe2ωcecω2（23）
則：
φ=（kL-kR）z2=12（ωpe2ωcecω2）z=（e3B0n02ε0cme2ω2）z（24）
其中，n0 为等离子体中电子密度，ω为入射电磁波的频率。至此，等离子体中法拉第旋光效应的理论推导完毕，（24）式为线偏振波以平行于外加磁场方向射入等离子体后其偏振面的偏转角的方程。
3 可行性研究
以超强激光与气体靶产生的等离子体为例， 激光与物质相互作用会产生环状的自生磁场。如下图所示，超强短脉冲激光（红色）与靶相互作用产生了环向的自生磁场，我们利用一束高频的探针光（橙色）入射超强激光与靶相互作用的区域。由于自生磁场的作用，探针光的偏振面会发生偏转。通过检测这一偏转角度，即可估算出自生磁场的大小。
激光与气体相互作用中产生的等离子体的电子密度一般在0.01nc 左右，其中 nc为临界电子密度（对于波长为 1μm 的激光，nc=1.1×1027m-3）。超强激光与气体产生的等离子体尺度约为100μm。根据前文得到的公式，如果测量到的偏转角度为1°，那么磁场的大小约为60T （0.6MG），这和以往的实验结果（50～100T）在同一个数量级。因此，这种方案是切实可行的。
4 总结
法拉第效应是磁致旋光效应，由于磁场的存在，使得光的偏振面会发生偏转，这一效应在许多方面有着十分重要的应用。由于聚变等离子体高温高密的性质，通常难以直接对等离子体进行诊断，但是利用法拉第效应，可以间接地通过测量偏振面转过的角度来反推出等离子体中的磁场。本文从麦克斯韦方程组出发，详细推导了等离子体中的法拉第效应的相关公式，此结论可以应用在等离子体磁场的测量中。通过和实验参数比对，作者估计出超强激光与气体靶相互作用产生的等离子体中的自生磁场的大小约为60T，这和前人得到的结果基本一致。除去测量磁场大小，此方法还可应用在测量等离子体的电子密度，通过施加一个与探针光相同方向的外磁场，我们可以反推出等离子体的电子密度。
参考文献
[1]Mancuso S，Spangler S R.Faraday rotation and models for the plasma structure of the solar corona[J].The Astrophysical Journal，2000，539（1）：480.
[2]Lawson J D.Some criteria for a power producing thermonuclear reactor[J].Proceedings of the Physical Society，Section B，1957，70（1）：6.
[3]马腾才，胡希伟，陈银华.等离子体物理原理[M].北京：中国科学技术大学出版社，1988.
[4]李玉同，张杰，江文勉.激光等离子体中自生磁场的诊断[J].物理，2000，29（04）.
关键词：法拉第效应;等离子体;电磁波;偏振
中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.11.104
1 背景介绍
法拉第效应是一种神奇的磁光效应，描述的介质中电磁波与磁场的一种相互作用。当一束线偏振的电磁波入射到介质中时，与电磁波传播方向平行的磁场分量会导致线偏振光的偏振面发生偏转，而且偏转的角度与平行磁场分量成正比。即：
β=VBd
其中β是旋转角度，B是磁场沿着电磁波传播方向的分量，V称为维尔德系数，与介质的材料本质、波长、温度有关。
这种效应在光学、天体物理等方面有著十分重要的应用。例如，利用法拉第效应制作光隔离器，能够减少光学器件的反射对激光的干扰，是激光器的不可或缺的组件。再者，在天体物理中，当光波从光源传播到地球的过程中，会经过星际间的介质。在星际介质中传播时，光波的偏振面由于法拉第效应会发生偏转。因此，给予星际间的电子密度，即可计算出偏转角与磁场大小的系数，从而估算出磁场大小。地球的电离层同样会导致法拉第效应的产生，但是越是高频（波长越短）的电磁波，其维尔德系数越小。因此，对于电视频率（<500MHz）来说，穿过地球电离层会出现至少一个全旋转（360度），所以对于电视信号来说，被电离层反射之后，其偏振是难以估计的;但对于高频的卫星信号所在的频段（GHz），由于法拉第效应带来的偏振面偏转能够维持在容许误差之内。
等离子体是物质的第四种状态，其物质特性与固体、液体和气体有很大的不同。宇宙中可见物质的99%都以等离子体的状态存在。研究宇宙中等离子体的物质特性是天体物理的一个重要分支，但自上世纪50年代以来，随着氢弹的研制成功，人们一直希望能够实现可控的热核聚变，来解决日益严峻的能源危机。我们知道，要想使原子核克服库仑斥力聚合在一起，就必须施以极大的外力。也就是说，需要极高的温度或极大的压强。在热核聚变中，有一个十分著名的劳森判据，对于氘氚反应，在14keV的温度下，电子密度n、温度T和约束时间 τ应满足如下关系：
nTτ3×1021keV·s/m3
在如此高的温度和密度下，氘和氚被电离，形成等离子体。因此等离子体物理在核聚变研究中有着无比重要的地位。无论是磁约束核聚变（例如国际合作的ITER装置以及我国的EAST装置）或是激光惯性约束聚变（例如我国的神光三装置），都离不开对等离子体的性质的研究。因此我们需要对等离子体的内部性质进行诊断来获得实验数据，但问题在于，聚变等离子体的高温高密高压的性质使得等离子体诊断十分困难。直接测量是不可能的，我们需要借助各种手段，通过间接的方式测量等离子体的性质。
本文介绍一种利用法拉第效应来测量等离子体性质的方式，从麦克斯韦方程组出发，推导出等离子体中法拉第效应公式，并对具体问题进行一些讨论。
2 理论模型
从麦克斯韦方程组出发，在等离子体中，我们有
考虑等离子体中外加一个恒定磁场B=B0e︿z ，e︿z为z方向的单位向量。电子的流体方程可简化为：
现在讨论电磁波的情况。如下图所示，若电磁波的传播方向平行于外磁场，即k//B0。根据假设，k、B0都是沿着z轴方向，由于电磁波是横波，即k-E1=0，则E1在x-y平面内。又由于B0使电子运动速度ue1有x、y方向的2个分量，即：
E1=（E1X，E1y，0）
ue1=（uX，uy，0）
左侧为线偏振电磁波，沿外加磁场方向入射等离子体。
假设所有扰动量E1、B1、ue1、j1均有相同的传播因子ei（kz-ωt）REF_Ref507236548＼r＼h[3]，那么可以将（4）、（6）线性化为下式：
-iωmeux=-eE1x-euyB0（8）
-iωmeuy=-eE1y+euxB0（9）
（ω2-k2c2）E1x=ieωn0ux/ε0（10）
（ω2-k2c2）E1y=ieωn0uy/ε0（11）
其中（8）、（9）是运动方程，（10）、（11）是场方程。由（10）、（11）解出ux、uy，代入（9）、（10），有
（ω2-k2c2-ωpe2）E1x+iωceω（ω2-k2c2）E1y=0（12）
iωceω（ω2-k2c2）E1x-（ω2-k2c2-ωpe2）E1y=0（13）
式中ωce=eB0me为电子在外磁场B0中的回旋频率，ωpe=n0e2meε0为电子等离子体频率。根据线性代数的知识，（12）、（13）若有非零解，其充要条件是其系数行列式等于0，即：
（ω2-k2c2-ωpe2）2=ωce2ω2ω2-k2c2）2（14）
有
ω2-k2c2-ωpe2=±ωceω（ω2-k2c2）（15）
所以
E1y=±iE1x（16）
E1=E1xex+E1yey=E0（ex±iey）ei（kz-ωt）（17）
又已知其为圆偏振波，“+”对应右旋圆偏振波（R），“-”对应左旋圆偏振波（L），则（14）为R波与L波的色散关系，整理得
kR（L）=ωc1-ωpe2ω2（1ωceω）（18） 下面考虑线偏振波以平行于外加磁场B0的方向入射等离子体，那么线偏振波可以分解为左旋和右旋圆偏振波的叠加，即：
E=EL+ER=E0ex（eikLz+eikRz）-iey（eikLz-eikRz）e-iωt（19）
则：
cotφ=ExEy=-i1+ei（kL-kR）z1-ei（kL-kR）z（20）
所以
φ=arccotExEy=（kL-kR）z2（21）
考虑ωωpeωce，由（18）有
kL-kR=ωc 1-ωpe2ω2（1+ωceω）-ωc 1-ωpe2ω2（1-ωceω）（22）
对（22）进行泰勒展开，有
kL-kR=12ωc1-ωpe2ω2（1+ωceω）-1+ωpe2ω2（1-ωceω）=ωpe2ωcecω2（23）
則：
φ=（kL-kR）z2=12（ωpe2ωcecω2）z=（e3B0n02ε0cme2ω2）z（24）
其中，n0 为等离子体中电子密度，ω为入射电磁波的频率。至此，等离子体中法拉第旋光效应的理论推导完毕，（24）式为线偏振波以平行于外加磁场方向射入等离子体后其偏振面的偏转角的方程。
3 可行性研究
以超强激光与气体靶产生的等离子体为例， 激光与物质相互作用会产生环状的自生磁场。如下图所示，超强短脉冲激光（红色）与靶相互作用产生了环向的自生磁场，我们利用一束高频的探针光（橙色）入射超强激光与靶相互作用的区域。由于自生磁场的作用，探针光的偏振面会发生偏转。通过检测这一偏转角度，即可估算出自生磁场的大小。
激光与气体相互作用中产生的等离子体的电子密度一般在0.01nc 左右，其中 nc为临界电子密度（对于波长为 1μm 的激光，nc=1.1×1027m-3）。超强激光与气体产生的等离子体尺度约为100μm。根据前文得到的公式，如果测量到的偏转角度为1°，那么磁场的大小约为60T （0.6MG），这和以往的实验结果（50～100T）在同一个数量级。因此，这种方案是切实可行的。
4 总结
法拉第效应是磁致旋光效应，由于磁场的存在，使得光的偏振面会发生偏转，这一效应在许多方面有着十分重要的应用。由于聚变等离子体高温高密的性质，通常难以直接对等离子体进行诊断，但是利用法拉第效应，可以间接地通过测量偏振面转过的角度来反推出等离子体中的磁场。本文从麦克斯韦方程组出发，详细推导了等离子体中的法拉第效应的相关公式，此结论可以应用在等离子体磁场的测量中。通过和实验参数比对，作者估计出超强激光与气体靶相互作用产生的等离子体中的自生磁场的大小约为60T，这和前人得到的结果基本一致。除去测量磁场大小，此方法还可应用在测量等离子体的电子密度，通过施加一个与探针光相同方向的外磁场，我们可以反推出等离子体的电子密度。
参考文献
[1]Mancuso S，Spangler S R.Faraday rotation and models for the plasma structure of the solar corona[J].The Astrophysical Journal，2000，539（1）：480.
[2]Lawson J D.Some criteria for a power producing thermonuclear reactor[J].Proceedings of the Physical Society，Section B，1957，70（1）：6.
[3]马腾才，胡希伟，陈银华.等离子体物理原理[M].北京：中国科学技术大学出版社，1988.
[4]李玉同，张杰，江文勉.激光等离子体中自生磁场的诊断[J].物理，2000，29（04）.