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摘要：立体几何中与球有关的问题是模拟题、高考题中的重要题型，近几年的考查侧重实际应用，常以生活实践为背景，融入球与简单几何体的切接问题，考查与球相关的最值问题. 本课题通过几个典例分析此类问题的求解策略，与读者分享.
关键词：球;实际应用;最值
中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0048-02
例1（2020·湖北襄阳模拟）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.从外观图1上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称;六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来.如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）.
解析当鲁班锁内接于球形容器时，球形容器的半径最小.根据鲁班锁的对称性可知，球形容器的球心为三组长方体的中心，且每个长方体均由两个正四棱柱组成，所以各长方体的长为2，宽为1，高为8.
评析本题以数学文化为背景，考查多面体与外接球球的计算，需要根据几何体的对称性确定一组长方体的外接球也就是整体的外接球.
例2（2020 ·河南省模拟）在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为____________，大球半径R的最小值为____________.
解析当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径r最大，大球半径R最小，由2r·2=8可得r的最大值为2，下面分析r=2时R的取值. 如图所示，由对称性知，大球球心O与四个小球球心O1，O2，O3， O4均为一个正四棱锥的顶点，且OO1=R+r=R+2，1O2=2r=4.
评析本题通过数学问题与实际问题相结合，考查球与球，球与多面体的切接问题，一题两空是新高考特色题型，分析球与球之间切接可得r的最大值，剖析球與多面体切接问题，结合对称性计算出R的最小值.
例3（2020·福建莆田市质检）有一根高为30厘米，底面半径为5厘米的圆柱体原木（图3）.某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四棱柱（图4）.问该工艺品体积的最大值是立方___________厘米.
评析本小题以劳动技术、生活实践为背景，考查立体几何中与球有关的最值问题，是一类既富思考性，又融众多知识和技巧于一体，综合性强、灵活性高的问题.解答时，需仔细分析题设中的所有条件，在充分审清题目意思的基础上，从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决;找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决.图5
例4（2015 ·湖南高考）某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
评析本题融合多个知识点，考查立体几何中球的切接问题，考查运用导数求函数的最值问题，考查概率的计算，综合性较强.
参考文献：
[1]张克勤.一道立体几何高考题的多种解法[J].中学数学研究，2020（12）：56-57.
[2]黄德新，朱贤良.模型视角下的四面体外接球问题[J].数学通讯，2020（15）：56-59+63.
[3]桑园，侯成绪.剖析几何体与其外接球问题[J].河北理科教学研究，2020（02）：7-8.
[4]王小莉.分类例说立体几何中的最值问题[J].高中数学教与学，2020（03）：4-7.
[5]唐明超，潘敬贞.探求命题规律，提高备考效率——谈2019年多面体与球切接问题的备考策略[J].教学考试，2019（11）：8-10.
[责任编辑：李璟]
作者简介：谢新华，男，福建省莆田人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
基金项目：福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究（项目编号：Fjjgzx20-077）.
关键词：球;实际应用;最值
中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）28-0048-02
例1（2020·湖北襄阳模拟）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.从外观图1上看，是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称;六根等长的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来.如图所示，正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为1，将这个鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器半径的最小值为（容器壁的厚度忽略不计）（ ）.
解析当鲁班锁内接于球形容器时，球形容器的半径最小.根据鲁班锁的对称性可知，球形容器的球心为三组长方体的中心，且每个长方体均由两个正四棱柱组成，所以各长方体的长为2，宽为1，高为8.
评析本题以数学文化为背景，考查多面体与外接球球的计算，需要根据几何体的对称性确定一组长方体的外接球也就是整体的外接球.
例2（2020 ·河南省模拟）在棱长为8的正方体空盒内，有4个半径为r的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径r的最大值为____________，大球半径R的最小值为____________.
解析当正方体盒内四个小球中相邻小球均相切时，小球半径r最大，大球半径R最小，由2r·2=8可得r的最大值为2，下面分析r=2时R的取值. 如图所示，由对称性知，大球球心O与四个小球球心O1，O2，O3， O4均为一个正四棱锥的顶点，且OO1=R+r=R+2，1O2=2r=4.
评析本题通过数学问题与实际问题相结合，考查球与球，球与多面体的切接问题，一题两空是新高考特色题型，分析球与球之间切接可得r的最大值，剖析球與多面体切接问题，结合对称性计算出R的最小值.
例3（2020·福建莆田市质检）有一根高为30厘米，底面半径为5厘米的圆柱体原木（图3）.某工艺厂欲将该原木加工成一工艺品，该工艺品由两部分组成，其上部分为一个球体，下部分为一个正四棱柱（图4）.问该工艺品体积的最大值是立方___________厘米.
评析本小题以劳动技术、生活实践为背景，考查立体几何中与球有关的最值问题，是一类既富思考性，又融众多知识和技巧于一体，综合性强、灵活性高的问题.解答时，需仔细分析题设中的所有条件，在充分审清题目意思的基础上，从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决;找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决.图5
例4（2015 ·湖南高考）某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为
评析本题融合多个知识点，考查立体几何中球的切接问题，考查运用导数求函数的最值问题，考查概率的计算，综合性较强.
参考文献：
[1]张克勤.一道立体几何高考题的多种解法[J].中学数学研究，2020（12）：56-57.
[2]黄德新，朱贤良.模型视角下的四面体外接球问题[J].数学通讯，2020（15）：56-59+63.
[3]桑园，侯成绪.剖析几何体与其外接球问题[J].河北理科教学研究，2020（02）：7-8.
[4]王小莉.分类例说立体几何中的最值问题[J].高中数学教与学，2020（03）：4-7.
[5]唐明超，潘敬贞.探求命题规律，提高备考效率——谈2019年多面体与球切接问题的备考策略[J].教学考试，2019（11）：8-10.
[责任编辑：李璟]
作者简介：谢新华，男，福建省莆田人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
基金项目：福建省教育科学“十三五”规划课题2020年度教育教学改革专项课题：学科素养视域下“读思达”教学法的数学课堂应用研究（项目编号：Fjjgzx20-077）.