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一、填空题
1等差数列 an}中,a5=15,则a2+a4+a6+a8的值为
2等比数列 an}的前4项和为240,第2项与第4项的和为180,则数列 an}的首项为
3等比数列 an}中,a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则a0+a1+a2=
4等差数列 an}中,n是其前n项和,a1=982, 20072007- 20052005=2,则 2010的值为
5等差数列 an}中,a0<0,a1>0,且|a0|<|a1|,n为其前n项之和,若n<0,则n的最大值为
64已知数列 an}中对于任意的自然数n,都有a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a21+a22+a23+…+a2n等于
7数列 an}的前n项和为n,若an=1n n+1,则5等于
8已知n为等比数列 an}的前n项和,a1=2,若数列 1+an}也是等比数列,则n等于
9已知数列 an}的前n项和n=n2-9n+15,第k项满足5 10已知4个实数-9,a1,a2,-1成等差数列,5个实数-9,b1,b2,b3,-1成等比数列,则b2• a2-a1=
11设 an}是公比为q的等比数列,n是它的前n项和若 n}是等差数列,则q=
12在数列 an}中,a1=2,a n+1=an+ln 1+1n,则an=
13数列 an}满足a1=1,a n+11a2n+4=1,记n=a21+a22+…+a2n,若 2n+1-n≤m30对任意n∈N恒成立,则正整数m的最小值
14对正整数n,设曲线y=xn 1-x在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列 ann+1}的前n项和n=
二、解答题
15已知等比数列 an}各项为正数的递增数列,n是其前n项和,且a1+a3+a5=42,a2•a3•a2=512,求通项an及a1a2+a2a3+…+a n-1an的值
16已知n是等差数列 an}前n项和,a5=3,0=45,
求(1)数列{n｝的最小项的值;
(2)|a1|+|a2|+|a3|+…+|a0|值
17已知数列 an}满足:a1=,a2=a a>0数列 bn}满足bn=ana n+1 n∈N
(1)若 an}是等差数列,且b3=12,求a的值及 an}的通项公式;
(2)若 an}是等比数列,求 bn}的前项和n;
(3)当 bn}是公比为a-1的等比数列时, an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由
18某企业2009年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500 1+12n万元(n为正整数)
(1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为 n万元(须扣除技术改造资金),求An、 n的表达式;
(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
19 本小题满分16分已知数列 an}的前n项和为n,满足n=2an-2n n∈N+
(1)求证:数列 an+2}为等比数列;
(2)若数列 bn}满足bn=log2 an+2,Tn为数列 bnan+2}的前n项和,求证:Tn≥12
20数列 an}首项a1=1,前n项和n与an之间满足an=22n2n-1 n≥2
1求证:数列 1n}是等差数列;
2求数列 an}的通项公式;
3设存在正数k,使 1+1 1+2… 1+n≥k2n+1对n∈N+都成立,求k的最大值
参考答案
一、填空题
1.60
2.6
3.16
4.10050000
5.19
6.13 4n-1
7.99
8.2n
9.1或8
10.-8
11.1
12.lnn+2
13.10
14.2n+1-22n+1-2
二、解答题
15解析:∵数列 an}是各项为正数的递增等比数列,
∴a2•a3•a4=a33=512,∴a3=8
∴a1a5=a2a4=64,又a1+a5=42-a3=34,∴a1=2,a5=32,∴q4=a5a1=16,q=2
∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n
∵数列 a n-1an}仍为等比数列,首项为a1a2=8,公比为q2=4,
∴a1a2+a2a3+…+a n-1an=8×1-4n1-4=83 4n-1
16解析:(1)设等差数列 an}的公差为d,则 a1+4d=310a1+10×92d=45 ,
解得,a1=-9,d=3,∴an=-12+3n,
方法一 当n<4时,an<0, 当n=4时,an=0,当n>4时,an>0
∴数列{n｝中的最小项为3和4,其值为-18
方法二n=-9n+3n n-12=32 n-722-1478
∵n∈N+,∴当n=3或4时,n最小,值为-18
(2)由(1)知,当n<4时,an<0, 当n=4时,an=0,当n>4时,an>0
∴|a1|+|a2|+a3|+…+|a0|=-a1-a2-a3-a4+a5+…+a0=0-24 =81
17解析:(1)∵{an｝是等差数列,a1=1,a2=a,∴an=1+ n-1 a-1,又b3=12,∴a3a4=12,即 2a-1 3a-2=12解得a=2或a=-56∵a>0,∴a=2,从而an=n
2 ∵{an｝是等比数列,a1=1,a2=a,(a>0,∴an=an-1,bn=ana n+1=a2n-1∵b n+1bn,∴数列 bn}
是首项为a公比为a2的等比数列当a=1时,n=n;当a≠1时,n=a 1-a2n1-a2
3数列{an｝不能为等比数列假设数列{an｝为等比数列,则由a1=1,a2=a,得a3=a2,∴a2=a-1, 而此方程无解∴数列{an｝一定不为等比数列
18解析:Ⅰ依题意知,数列An是一个以500为首项,-20为公差的等差数列,所以,An=480n+n n-12× -20=490n-10n2,
3 n=500 1+12+500 1+122+…+500 1+12n-600=500n+500 12+122+…+12n-600
3=500n+500×121- 12n1-12-600=500n-5002n-100
Ⅱ依题意得, n>An,即500n-5002n-100>490n-10n2,可化简得502n ∴可设f n=502n,g n=n2+n-10
又∵n∈N+,∴可设f n是减函数,g n是增函数,又f 3=508>g 3=2,f 4=5016 19解析:(1)当n∈N+时,n=2an-2n,Y,2①
则当n≥2,n∈N+时, n-1=2a n-1-2 n-1Y,2②
①—②,得an=2an-2a n-1-2,即an=2a n-1+2,
∴an+2=2 a n-1+2,∴an+2a n-1+2=2,
当n=1时,1=2a1-2,则a1=2
∴ an+2}是以a1+2=4为首项,2为公比的等比数列
(2)证明:an+2=4•2n-1=2n+1,∴an=2n+1-2
3bn=log2 an+2=log22n+1=n+1,所以bnan+2=n+12n+1
Tn=222+323+…+n+12n+1,Y,2③
12Tn=222+324+…+n2n+1+n+12n+2Y,2④
③—④,得12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2=14+
14 1-12n1-12-n+12n+2
3=14+12-12n+1-n+12n+2=34-
n+32n+2,∴Tn=32-n+32n+1当n≥2时,Tn-T n-1=-n+32n+1+n+22n=n+12n+1>0
∴ Tn}为递增数列,∴Tn≥T1=12
203解析: 1因为n≥2时,an=n- n-1,∴n- n-1=22n2n-1
3得 n-1-n=2n• n-1,由题意n≠0 n≥2∴1n-1 n-1=2 n≥2
又1=a1=1∴ 1n}是以11=1为首项,2为公差的等差数列
2由 1有1n=1+ n-1×2=2n-1∴n=12n-1 n∈N
∴n≥2时,an=n- n-1=12n-1-12 n-1-1=-2 2n-1 2n-3
又a1=1=1∴an= 1n=1-2 2n-1 2n-3n≥2
3设 n= 1+1 1+2… 1+n2N+1,
则 n+1 n= 1+ n+12n+12n+3=2n+22n+12n+3=4n2+8n+44n2+8n+3>1,
∴ n在n∈N上递增 故使 n≥k恒成立,只需k≤ n min
又 n min= 1=233又k>0,∴0 (命题单位:江苏省苏州新区第一中学)
1等差数列 an}中,a5=15,则a2+a4+a6+a8的值为
2等比数列 an}的前4项和为240,第2项与第4项的和为180,则数列 an}的首项为
3等比数列 an}中,a1+a2+a3=2,a4+a5+a6=4,则a0+a1+a2=
4等差数列 an}中,n是其前n项和,a1=982, 20072007- 20052005=2,则 2010的值为
5等差数列 an}中,a0<0,a1>0,且|a0|<|a1|,n为其前n项之和,若n<0,则n的最大值为
64已知数列 an}中对于任意的自然数n,都有a1+a2+a3+…+an=2n-1,则a21+a22+a23+…+a2n等于
7数列 an}的前n项和为n,若an=1n n+1,则5等于
8已知n为等比数列 an}的前n项和,a1=2,若数列 1+an}也是等比数列,则n等于
9已知数列 an}的前n项和n=n2-9n+15,第k项满足5
11设 an}是公比为q的等比数列,n是它的前n项和若 n}是等差数列,则q=
12在数列 an}中,a1=2,a n+1=an+ln 1+1n,则an=
13数列 an}满足a1=1,a n+11a2n+4=1,记n=a21+a22+…+a2n,若 2n+1-n≤m30对任意n∈N恒成立,则正整数m的最小值
14对正整数n,设曲线y=xn 1-x在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an,则数列 ann+1}的前n项和n=
二、解答题
15已知等比数列 an}各项为正数的递增数列,n是其前n项和,且a1+a3+a5=42,a2•a3•a2=512,求通项an及a1a2+a2a3+…+a n-1an的值
16已知n是等差数列 an}前n项和,a5=3,0=45,
求(1)数列{n｝的最小项的值;
(2)|a1|+|a2|+|a3|+…+|a0|值
17已知数列 an}满足:a1=,a2=a a>0数列 bn}满足bn=ana n+1 n∈N
(1)若 an}是等差数列,且b3=12,求a的值及 an}的通项公式;
(2)若 an}是等比数列,求 bn}的前项和n;
(3)当 bn}是公比为a-1的等比数列时, an}能否为等比数列?若能,求出a的值;若不能,请说明理由
18某企业2009年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(今年为第一年)的利润为500 1+12n万元(n为正整数)
(1)设从今年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为 n万元(须扣除技术改造资金),求An、 n的表达式;
(2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?
19 本小题满分16分已知数列 an}的前n项和为n,满足n=2an-2n n∈N+
(1)求证:数列 an+2}为等比数列;
(2)若数列 bn}满足bn=log2 an+2,Tn为数列 bnan+2}的前n项和,求证:Tn≥12
20数列 an}首项a1=1,前n项和n与an之间满足an=22n2n-1 n≥2
1求证:数列 1n}是等差数列;
2求数列 an}的通项公式;
3设存在正数k,使 1+1 1+2… 1+n≥k2n+1对n∈N+都成立,求k的最大值
参考答案
一、填空题
1.60
2.6
3.16
4.10050000
5.19
6.13 4n-1
7.99
8.2n
9.1或8
10.-8
11.1
12.lnn+2
13.10
14.2n+1-22n+1-2
二、解答题
15解析:∵数列 an}是各项为正数的递增等比数列,
∴a2•a3•a4=a33=512,∴a3=8
∴a1a5=a2a4=64,又a1+a5=42-a3=34,∴a1=2,a5=32,∴q4=a5a1=16,q=2
∴an=a1qn-1=2×2n-1=2n
∵数列 a n-1an}仍为等比数列,首项为a1a2=8,公比为q2=4,
∴a1a2+a2a3+…+a n-1an=8×1-4n1-4=83 4n-1
16解析:(1)设等差数列 an}的公差为d,则 a1+4d=310a1+10×92d=45 ,
解得,a1=-9,d=3,∴an=-12+3n,
方法一 当n<4时,an<0, 当n=4时,an=0,当n>4时,an>0
∴数列{n｝中的最小项为3和4,其值为-18
方法二n=-9n+3n n-12=32 n-722-1478
∵n∈N+,∴当n=3或4时,n最小,值为-18
(2)由(1)知,当n<4时,an<0, 当n=4时,an=0,当n>4时,an>0
∴|a1|+|a2|+a3|+…+|a0|=-a1-a2-a3-a4+a5+…+a0=0-24 =81
17解析:(1)∵{an｝是等差数列,a1=1,a2=a,∴an=1+ n-1 a-1,又b3=12,∴a3a4=12,即 2a-1 3a-2=12解得a=2或a=-56∵a>0,∴a=2,从而an=n
2 ∵{an｝是等比数列,a1=1,a2=a,(a>0,∴an=an-1,bn=ana n+1=a2n-1∵b n+1bn,∴数列 bn}
是首项为a公比为a2的等比数列当a=1时,n=n;当a≠1时,n=a 1-a2n1-a2
3数列{an｝不能为等比数列假设数列{an｝为等比数列,则由a1=1,a2=a,得a3=a2,∴a2=a-1, 而此方程无解∴数列{an｝一定不为等比数列
18解析:Ⅰ依题意知,数列An是一个以500为首项,-20为公差的等差数列,所以,An=480n+n n-12× -20=490n-10n2,
3 n=500 1+12+500 1+122+…+500 1+12n-600=500n+500 12+122+…+12n-600
3=500n+500×121- 12n1-12-600=500n-5002n-100
Ⅱ依题意得, n>An,即500n-5002n-100>490n-10n2,可化简得502n
又∵n∈N+,∴可设f n是减函数,g n是增函数,又f 3=508>g 3=2,f 4=5016
则当n≥2,n∈N+时, n-1=2a n-1-2 n-1Y,2②
①—②,得an=2an-2a n-1-2,即an=2a n-1+2,
∴an+2=2 a n-1+2,∴an+2a n-1+2=2,
当n=1时,1=2a1-2,则a1=2
∴ an+2}是以a1+2=4为首项,2为公比的等比数列
(2)证明:an+2=4•2n-1=2n+1,∴an=2n+1-2
3bn=log2 an+2=log22n+1=n+1,所以bnan+2=n+12n+1
Tn=222+323+…+n+12n+1,Y,2③
12Tn=222+324+…+n2n+1+n+12n+2Y,2④
③—④,得12Tn=222+123+124+…+12n+1-n+12n+2=14+
14 1-12n1-12-n+12n+2
3=14+12-12n+1-n+12n+2=34-
n+32n+2,∴Tn=32-n+32n+1当n≥2时,Tn-T n-1=-n+32n+1+n+22n=n+12n+1>0
∴ Tn}为递增数列,∴Tn≥T1=12
203解析: 1因为n≥2时,an=n- n-1,∴n- n-1=22n2n-1
3得 n-1-n=2n• n-1,由题意n≠0 n≥2∴1n-1 n-1=2 n≥2
又1=a1=1∴ 1n}是以11=1为首项,2为公差的等差数列
2由 1有1n=1+ n-1×2=2n-1∴n=12n-1 n∈N
∴n≥2时,an=n- n-1=12n-1-12 n-1-1=-2 2n-1 2n-3
又a1=1=1∴an= 1n=1-2 2n-1 2n-3n≥2
3设 n= 1+1 1+2… 1+n2N+1,
则 n+1 n= 1+ n+12n+12n+3=2n+22n+12n+3=4n2+8n+44n2+8n+3>1,
∴ n在n∈N上递增 故使 n≥k恒成立,只需k≤ n min
又 n min= 1=233又k>0,∴0