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【摘要】本文以优化模型、改善模型的模拟、预测效果研究，重点引入线性变换，得到新的序列估算式，从而将GM（1，1）模型扩展为线性变换GM（1，1）模型，并进一步优化背景值最佳生成系数，再扩展为加权灰色预测模型——RGM（1，1）.实例表明，尽管模拟序列特征改变，但是变换后的GM（1，1）模型能更好地預测原始数据的变化，能显著地提升模型的预测精度.
【关键词】离散GM（1，1）模型；模拟序列；线性函数变换；预测精度
1982年华中理工大学邓聚龙教授创立了灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法.三十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展.目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术、高等教育等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一.特别是它对时间序列短、小样本、贫信息不确定性系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将重点对灰色系统建模、离散灰色预测模型进行研究.
在系统研究过程中，由于系统内外扰动的存在和人类认识能力的局限，人们所获得的信息往往带有某种不确定性.随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入.概率统计、模糊数学、灰色系统理论和粗糙集理论是四种最常用的不确定性系统研究方法，其研究对象都具有某种不确定性，这是它们的共同特点.灰色系统理论因能解决诸如模糊数学、概率统计等所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题而广泛应用于横断学科，GM（1，1）模型也作为灰色系统理论重要内容而广泛应用于动态预测领域.
一、灰系统的基本原理
在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度.我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确.相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统.
灰色系统理论经过30多年的发展，现已基本建立起一门新兴学科的结构体系.本文重点探讨基于GM（1，1）模型所做出的定量预测及优化.主要任务之一，就根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系与变化规律.
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通過少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.
二、灰生成技术
灰色系统基于序列算子的作用，通过对原始数据处理，挖掘其变化规律.这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列生成.在预测科学领域，模型的优劣取决于数据受到某种干扰而失真程度，而因此难以用模型来对系统的未来变化进行预测.实际问题中，总是存在大量的冲击扰动系统，导致了定量预测结果与人们直观的定性分析结论大相径庭的现象经常发生.因此，寻求定量预测与定性分析的结合点，设法淡化或消除系统行为数据所受到的冲击扰动，还数据以本来面目，从而提高预测的命中率就变得尤为重要.
灰生成特点：在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质.一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性.
灰生成的作用：（1）统一序列的目标性质，为灰决策提供基础；（2）将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模；（3）揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列.
两种常见的灰生成类型：（1）一次累加生成序列（1-AGO）；（2）均值生成序列（MEAN）.
三、GM（1，1）预测模型的建模机理
设离散数据序列为
其中，a，b为待识别参数，即灰参数.a为发展系数，表示模型增长趋势，若a<0，则其趋势是增长的，其绝对值越大增长越快；若a>0则其趋势是衰减的，其绝对值越大衰减越快.b为灰色作用量，是因子集的数字形式，表明外部因子作用的强弱，b的变化代表变形模式的变化.等式（3.4）相应的白化一阶微分方程，也叫影子方程为
四、检验GM（1，1）模型的精度
当采用GM（1，1）模型的各种形式进行模拟精度均达不到要求时，可以考虑对残差序列建立GM（1，1）模型，对原来的模型进行修正，以提高模拟精度.如果检验合格，则可以用模型进行预测.
GM（1，1）模型是灰色模型中最常见也是最基础的预测模型，其应用非常广泛.但是，在某些特定情况下其预测精度相对较差，预测数据误差有时非常大.本文重点分析基于线性变换得到的GM（1，1）模型，指出提高预测精度的直接原因并不是提升数据的光滑度，而是对模拟序列经过了变换，不再是纯指数序列，转换成一个非齐次指数序列，当原始数据与这个非齐次指数序列两者越是相近，所得模型的预测精度自然也就越高.为此我们获得了这个序列的直接离散GM（1，1）模型及以加权紧邻值拓展建模，并用实例分析预测精度的改变.
五、线性函数变换GM（1，1）建模方法
（一）线性变换的模型建立
设原始数据的序列表达为
当k=2，3，…，n时，代入可得到初始数据的拟合值；当k>n时，便是灰色模型对未来的预测值.
而对于线性变换式中的α，β有非常多的求解思路，可以通过遗传算法，也可以以变换后模型的平均相对误差函数最小作为目标，通过MATLAB编程序用[9]修正的最速下降法可求出平均相对误差的最小值，同时可得到α，β的近似值.
（二）模型提高预测精度的本质分析 1.光滑度分析
许多研究实例表明，原始数据序列的光滑度影响所建灰色预测模型的拟合和预测精度.但是在实际问题中许多原始数据序列的光滑度比较低，这就限制了灰色GM（1，1）模型的使用范围.为了提高灰色预测模型的预测精度，有的研究文献提出了对原始数据进行对数函数变换、幂函数变换以及指數函数变换来提高离散数据序列光滑度的方法，并在实际应用中取得了满意的效果.提高光滑度的函数变换方法有很多，常见的有幂函数-指数函数变换、指数函数变换、对数函数-幂函数函数变换三种.也有文献对这几类函数变换后所得的GM（1，1）模型预测精度进行了对比，光滑度提高从大到小为幂函数-指数函数变换、指数函数变换、对数函数-幂函数变换，但是函数变换后GM（1，1）模型的预测精度从大到小则为对数函数-幂函数变换、指数函数变换、幂函数-指数函数变换，刚好与光滑度的提高相反.说明提高光滑度和模型预测精度并无直接关系.
2.模型模拟序列分析
从式（5.1）对原始数据的计算结果可知：
从这个式子可以看出，模拟序列经过了变换，不再是纯指数序列，转换成一个非齐次指数序列，而原始数据的发展越接近这个非齐次指数发展，因此经过线性函数变换后所得到的GM（1，1）模型的拟合精度自然也就越高.
六、构建直接离散GM（1，1）模型
（一）均值GM（1，1）模型的递推
均值GM（1，1）模型的白化微分方程的时间响应式为
不难看出两者还是存在一定差距的，差值为Δ，差别的存在也说明上述求得的白化型响应式与对应的灰微分方程的真正解还有一定的差距，通过最小二乘法进行估计所得到的真实“最小”结果也不是其真实解，模型经过白化处理后，其求解过程出现了一定的误差Δ，所以为了在计算中规避这个误差，在进行构建GM（1，1）模型时直接将递推所得结果式（6.2）作为其最终预测式.
（二）直接离散GM（1，1）模型的建立
GM（1，1）模型和离散GM（1，1）模型两者的模拟序列都是指数序列，因此其在评估模型时就需要原始序列数据呈现一个指数型的增长模式，但是在现实世界获取的数据中，所获取的原始序列并不是近似指数增长，其增长和变化的规律更加接近于非齐次指数，从GM（1，1）白化型响应式的计算中也知道原始数据的累加值就满足了这一点，所以本文结合原始数据累加值进行了分析，并以此为基础构建了转换的直接离散GM（1，1）模型，思路和方法为：
（三）对直接离散GM（1，1）模型进一步优化的方法
直接离散GM（1，1）模型是能够实现和非齐次指数序列完全拟合的，但是如果原始数据更加接近于一个非齐次指数序列，在这种情况下最优化的结果并不是这个直接离散GM（1，1）模型.GM（1，1）模型以固定的背景值（1-AGO的紧邻均值）为基础建模，并假设紧邻均值前值和后值对背景值的贡献是等权的，研究发现这种背景值构造方法并不能准确反映背景值对整个预测模型的影响.可考虑改取平均值为取紧邻加权值：
其中，p，q为背景值生成系数加权.然后从预测和模拟精度出发，确定各个参数的最佳估值，进行模型的精度分析与预测.可分别取p=0.01，q=0.01双双按照0.01递增，直到取值为0.99结束，依次求出对应p，q状态下的平均模拟相对误差，取其中最小的平均模拟相对误差对应的权值建立模型进行模拟和预测分析.
按照GM（1，1）模型的建模思路和方法即可得到其加权形式基础上的GM（1，1）模型，称为RGM（1，1），而这个模型的直接响应式即为
另外，加权的权重变化也会影响其最小二乘法的计算结果，同时也会影响参数的值，所以加权值不同，其预测精度自然也是不同的.初始值的优化是必需的处理过程，但是要知道初始值优化和权值优化并不是相对独立的，而是相互影响和相互制约的，因此必须实现同步优化从而得到最小的残差平方和结果.为此参考了模式搜索法对其进行了优化，优化的方式是在原式中添加修正项：
七、实例验证分析
这里以某市2003—2012年市均医院床位数（万张）进行建模，并预测其在2013年和2014年的市均医院床位数.基于GM（1，1）建立模型，对其变换所得到的GM（1，1）模型的预测精度进行分析，通过模式搜索法以及优化后的直接离散GM（1，1）模型可以求解得出p，q和β的值：
从这个表中我们可以知道，平均相对误差的值最高的是GM（1，1）模型，为2.16%，其次分别是线性函数变换模型0.62%和RGM（1，1）模型1.22%.從不同模型的预测值结果来看，线性函数的预测精度并不比其他两种模型低，而一个模拟序列和经过线性函数变换后获得的GM（1，1）模型有着一个共同点，即两者同为非齐次指数序列，且直接离散GM（1，1）模型并没有修改任何数据，也就是说没有对原始数据做任何改动反而得到了和一次函数变换后GM（1，1）模型同样的预测精确度，验证了要想提高模型的预测精度必要条件并不一定是提高数据的光滑度，相反改变模拟序列的特征，并让模拟序列与原始数据的变化规律更相近，对于提高模型预测精度的意义更大.
八、结 语
通过对优化模型、改善模型的模拟、预测效果，我们从模拟序列的角度对线性函数变换后的GM（1，1）模型预测精度进行了分析，并对其预测精度的提升本质原因进行了计算和验证，结果显示提高精度的本质过程是模拟序列转变成了一个纯指数序列，正是由于这个转变提升了模型的预测精度.同时，对直接离散GM（1，1）模型的建立进行了分析和讨论，直接离散GM（1，1）同样也是一个非齐次指数序列，但是并没有对原始数据做任何的修改，却获得了相同的预测精度，即要想提高模型的预测精度必要条件并不一定是提高数据的光滑度，相反改变模拟序列的特征，并让模拟序列与原始数据的变化规律更相近，对于提高模型预测精度的意义更大，为实际建模过程提供了多种可能的选择. 【参考文献】
[1]陈鹏宇，段新胜.一次函数变换GM（1，1）模型分析及直接离散GM（1，1）模型的建立[J].淮陰师范学院学报（自然科学版），2009（03）：191-197.
[2]沈继红，尚寿亭，赵希人.舰船纵摇运动函数变换型GM（1，1）模型研究[J].哈尔滨工业大学学报，2001（03）：291-294.
[3]陈涛捷.灰色预测模型的一种拓广[J].系统工程，1990（04）：50-52.
[4]Tangsen Zhan，Hongyan Xu.Nonlinear Optimization of GM（1，1）Model Based on Multi-parameter Background Value[A].中国农业大学、中国农业工程学会、北京农业信息化学会.Computer and Computing Technologies in Agriculture Ⅴ——Proceedings of 5th IFIP TC 5/SIG 5.1 Conference（CCTA 2011） Part Ⅲ[C].中国农业大学、中国农业工程学会、北京农业信息化学会，2011：5.
[5]张军，姚贵平，吴国栋，王海龙.基于复合函数变换的GM（1，1）模型及其应用[J].内蒙古农业大学学报（自然科学版），2011（03）：304-308.
[6]杨跃东，冯倩妮.基于函数变换的GM（1，1）模型及其应用[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2014（03）：79-81，84.
[7]刘丹华，党耀国.GM（1，1）模型的改进[A].江苏省系统工程学会（Systems Engineering Society of Jiangsu）.江苏省系统工程學会第十一届学术年会论文集[C].江苏省系统工程学会（Systems Engineering Society of Jiangsu），2009：7.
[8]张军，王秋萍，马生昀，吕雄，姚贵平.三参数函数变换GM（1，1）模型实例探讨[A].中国高等科学技术中心.第25届全国灰色系统会议论文集[C].中国高等科学技术中心，2014：6.
[9]王沫然.MATLAB与科学计算[M].第3版.北京：电子工业出版社，2012.
【关键词】离散GM（1，1）模型；模拟序列；线性函数变换；预测精度
1982年华中理工大学邓聚龙教授创立了灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法.三十几年来，引起了不少国内外学者的关注，得到了长足的发展.目前，在我国已经成为社会、经济、科学技术、高等教育等诸多领域进行预测、决策、评估、规划控制、系统分析与建模的重要方法之一.特别是它对时间序列短、小样本、贫信息不确定性系统的分析与建模，具有独特的功效，因此得到了广泛的应用.在这里我们将重点对灰色系统建模、离散灰色预测模型进行研究.
在系统研究过程中，由于系统内外扰动的存在和人类认识能力的局限，人们所获得的信息往往带有某种不确定性.随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入.概率统计、模糊数学、灰色系统理论和粗糙集理论是四种最常用的不确定性系统研究方法，其研究对象都具有某种不确定性，这是它们的共同特点.灰色系统理论因能解决诸如模糊数学、概率统计等所不能解决的“小样本、贫信息不确定”问题而广泛应用于横断学科，GM（1，1）模型也作为灰色系统理论重要内容而广泛应用于动态预测领域.
一、灰系统的基本原理
在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度.我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确.相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统.
灰色系统理论经过30多年的发展，现已基本建立起一门新兴学科的结构体系.本文重点探讨基于GM（1，1）模型所做出的定量预测及优化.主要任务之一，就根据社会、经济、生态等系统的行为特征数据，寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系与变化规律.
灰色预测模型（Gray Forecast Model）是通過少量的、不完全的信息，建立数学模型并做出预测的一种预测方法.当我们应用运筹学的思想方法解决实际问题，制定发展战略和政策、进行重大问题的决策时，都必须对未来进行科学的预测.预测是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助于科学的方法对其未来的发展趋势和状况进行描述和分析，并形成科学的假设和判断.
二、灰生成技术
灰色系统基于序列算子的作用，通过对原始数据处理，挖掘其变化规律.这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径，称为灰色序列生成.在预测科学领域，模型的优劣取决于数据受到某种干扰而失真程度，而因此难以用模型来对系统的未来变化进行预测.实际问题中，总是存在大量的冲击扰动系统，导致了定量预测结果与人们直观的定性分析结论大相径庭的现象经常发生.因此，寻求定量预测与定性分析的结合点，设法淡化或消除系统行为数据所受到的冲击扰动，还数据以本来面目，从而提高预测的命中率就变得尤为重要.
灰生成特点：在保持原序列形式的前提下，改变序列中数据的值与性质.一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性，显现其规律性.
灰生成的作用：（1）统一序列的目标性质，为灰决策提供基础；（2）将摆动序列转换为单调增长序列，以利于灰建模；（3）揭示潜藏在序列中的递增势态，变不可比为可比序列.
两种常见的灰生成类型：（1）一次累加生成序列（1-AGO）；（2）均值生成序列（MEAN）.
三、GM（1，1）预测模型的建模机理
设离散数据序列为
其中，a，b为待识别参数，即灰参数.a为发展系数，表示模型增长趋势，若a<0，则其趋势是增长的，其绝对值越大增长越快；若a>0则其趋势是衰减的，其绝对值越大衰减越快.b为灰色作用量，是因子集的数字形式，表明外部因子作用的强弱，b的变化代表变形模式的变化.等式（3.4）相应的白化一阶微分方程，也叫影子方程为
四、检验GM（1，1）模型的精度
当采用GM（1，1）模型的各种形式进行模拟精度均达不到要求时，可以考虑对残差序列建立GM（1，1）模型，对原来的模型进行修正，以提高模拟精度.如果检验合格，则可以用模型进行预测.
GM（1，1）模型是灰色模型中最常见也是最基础的预测模型，其应用非常广泛.但是，在某些特定情况下其预测精度相对较差，预测数据误差有时非常大.本文重点分析基于线性变换得到的GM（1，1）模型，指出提高预测精度的直接原因并不是提升数据的光滑度，而是对模拟序列经过了变换，不再是纯指数序列，转换成一个非齐次指数序列，当原始数据与这个非齐次指数序列两者越是相近，所得模型的预测精度自然也就越高.为此我们获得了这个序列的直接离散GM（1，1）模型及以加权紧邻值拓展建模，并用实例分析预测精度的改变.
五、线性函数变换GM（1，1）建模方法
（一）线性变换的模型建立
设原始数据的序列表达为
当k=2，3，…，n时，代入可得到初始数据的拟合值；当k>n时，便是灰色模型对未来的预测值.
而对于线性变换式中的α，β有非常多的求解思路，可以通过遗传算法，也可以以变换后模型的平均相对误差函数最小作为目标，通过MATLAB编程序用[9]修正的最速下降法可求出平均相对误差的最小值，同时可得到α，β的近似值.
（二）模型提高预测精度的本质分析 1.光滑度分析
许多研究实例表明，原始数据序列的光滑度影响所建灰色预测模型的拟合和预测精度.但是在实际问题中许多原始数据序列的光滑度比较低，这就限制了灰色GM（1，1）模型的使用范围.为了提高灰色预测模型的预测精度，有的研究文献提出了对原始数据进行对数函数变换、幂函数变换以及指數函数变换来提高离散数据序列光滑度的方法，并在实际应用中取得了满意的效果.提高光滑度的函数变换方法有很多，常见的有幂函数-指数函数变换、指数函数变换、对数函数-幂函数函数变换三种.也有文献对这几类函数变换后所得的GM（1，1）模型预测精度进行了对比，光滑度提高从大到小为幂函数-指数函数变换、指数函数变换、对数函数-幂函数变换，但是函数变换后GM（1，1）模型的预测精度从大到小则为对数函数-幂函数变换、指数函数变换、幂函数-指数函数变换，刚好与光滑度的提高相反.说明提高光滑度和模型预测精度并无直接关系.
2.模型模拟序列分析
从式（5.1）对原始数据的计算结果可知：
从这个式子可以看出，模拟序列经过了变换，不再是纯指数序列，转换成一个非齐次指数序列，而原始数据的发展越接近这个非齐次指数发展，因此经过线性函数变换后所得到的GM（1，1）模型的拟合精度自然也就越高.
六、构建直接离散GM（1，1）模型
（一）均值GM（1，1）模型的递推
均值GM（1，1）模型的白化微分方程的时间响应式为
不难看出两者还是存在一定差距的，差值为Δ，差别的存在也说明上述求得的白化型响应式与对应的灰微分方程的真正解还有一定的差距，通过最小二乘法进行估计所得到的真实“最小”结果也不是其真实解，模型经过白化处理后，其求解过程出现了一定的误差Δ，所以为了在计算中规避这个误差，在进行构建GM（1，1）模型时直接将递推所得结果式（6.2）作为其最终预测式.
（二）直接离散GM（1，1）模型的建立
GM（1，1）模型和离散GM（1，1）模型两者的模拟序列都是指数序列，因此其在评估模型时就需要原始序列数据呈现一个指数型的增长模式，但是在现实世界获取的数据中，所获取的原始序列并不是近似指数增长，其增长和变化的规律更加接近于非齐次指数，从GM（1，1）白化型响应式的计算中也知道原始数据的累加值就满足了这一点，所以本文结合原始数据累加值进行了分析，并以此为基础构建了转换的直接离散GM（1，1）模型，思路和方法为：
（三）对直接离散GM（1，1）模型进一步优化的方法
直接离散GM（1，1）模型是能够实现和非齐次指数序列完全拟合的，但是如果原始数据更加接近于一个非齐次指数序列，在这种情况下最优化的结果并不是这个直接离散GM（1，1）模型.GM（1，1）模型以固定的背景值（1-AGO的紧邻均值）为基础建模，并假设紧邻均值前值和后值对背景值的贡献是等权的，研究发现这种背景值构造方法并不能准确反映背景值对整个预测模型的影响.可考虑改取平均值为取紧邻加权值：
其中，p，q为背景值生成系数加权.然后从预测和模拟精度出发，确定各个参数的最佳估值，进行模型的精度分析与预测.可分别取p=0.01，q=0.01双双按照0.01递增，直到取值为0.99结束，依次求出对应p，q状态下的平均模拟相对误差，取其中最小的平均模拟相对误差对应的权值建立模型进行模拟和预测分析.
按照GM（1，1）模型的建模思路和方法即可得到其加权形式基础上的GM（1，1）模型，称为RGM（1，1），而这个模型的直接响应式即为
另外，加权的权重变化也会影响其最小二乘法的计算结果，同时也会影响参数的值，所以加权值不同，其预测精度自然也是不同的.初始值的优化是必需的处理过程，但是要知道初始值优化和权值优化并不是相对独立的，而是相互影响和相互制约的，因此必须实现同步优化从而得到最小的残差平方和结果.为此参考了模式搜索法对其进行了优化，优化的方式是在原式中添加修正项：
七、实例验证分析
这里以某市2003—2012年市均医院床位数（万张）进行建模，并预测其在2013年和2014年的市均医院床位数.基于GM（1，1）建立模型，对其变换所得到的GM（1，1）模型的预测精度进行分析，通过模式搜索法以及优化后的直接离散GM（1，1）模型可以求解得出p，q和β的值：
从这个表中我们可以知道，平均相对误差的值最高的是GM（1，1）模型，为2.16%，其次分别是线性函数变换模型0.62%和RGM（1，1）模型1.22%.從不同模型的预测值结果来看，线性函数的预测精度并不比其他两种模型低，而一个模拟序列和经过线性函数变换后获得的GM（1，1）模型有着一个共同点，即两者同为非齐次指数序列，且直接离散GM（1，1）模型并没有修改任何数据，也就是说没有对原始数据做任何改动反而得到了和一次函数变换后GM（1，1）模型同样的预测精确度，验证了要想提高模型的预测精度必要条件并不一定是提高数据的光滑度，相反改变模拟序列的特征，并让模拟序列与原始数据的变化规律更相近，对于提高模型预测精度的意义更大.
八、结 语
通过对优化模型、改善模型的模拟、预测效果，我们从模拟序列的角度对线性函数变换后的GM（1，1）模型预测精度进行了分析，并对其预测精度的提升本质原因进行了计算和验证，结果显示提高精度的本质过程是模拟序列转变成了一个纯指数序列，正是由于这个转变提升了模型的预测精度.同时，对直接离散GM（1，1）模型的建立进行了分析和讨论，直接离散GM（1，1）同样也是一个非齐次指数序列，但是并没有对原始数据做任何的修改，却获得了相同的预测精度，即要想提高模型的预测精度必要条件并不一定是提高数据的光滑度，相反改变模拟序列的特征，并让模拟序列与原始数据的变化规律更相近，对于提高模型预测精度的意义更大，为实际建模过程提供了多种可能的选择. 【参考文献】
[1]陈鹏宇，段新胜.一次函数变换GM（1，1）模型分析及直接离散GM（1，1）模型的建立[J].淮陰师范学院学报（自然科学版），2009（03）：191-197.
[2]沈继红，尚寿亭，赵希人.舰船纵摇运动函数变换型GM（1，1）模型研究[J].哈尔滨工业大学学报，2001（03）：291-294.
[3]陈涛捷.灰色预测模型的一种拓广[J].系统工程，1990（04）：50-52.
[4]Tangsen Zhan，Hongyan Xu.Nonlinear Optimization of GM（1，1）Model Based on Multi-parameter Background Value[A].中国农业大学、中国农业工程学会、北京农业信息化学会.Computer and Computing Technologies in Agriculture Ⅴ——Proceedings of 5th IFIP TC 5/SIG 5.1 Conference（CCTA 2011） Part Ⅲ[C].中国农业大学、中国农业工程学会、北京农业信息化学会，2011：5.
[5]张军，姚贵平，吴国栋，王海龙.基于复合函数变换的GM（1，1）模型及其应用[J].内蒙古农业大学学报（自然科学版），2011（03）：304-308.
[6]杨跃东，冯倩妮.基于函数变换的GM（1，1）模型及其应用[J].吉林师范大学学报（自然科学版），2014（03）：79-81，84.
[7]刘丹华，党耀国.GM（1，1）模型的改进[A].江苏省系统工程学会（Systems Engineering Society of Jiangsu）.江苏省系统工程學会第十一届学术年会论文集[C].江苏省系统工程学会（Systems Engineering Society of Jiangsu），2009：7.
[8]张军，王秋萍，马生昀，吕雄，姚贵平.三参数函数变换GM（1，1）模型实例探讨[A].中国高等科学技术中心.第25届全国灰色系统会议论文集[C].中国高等科学技术中心，2014：6.
[9]王沫然.MATLAB与科学计算[M].第3版.北京：电子工业出版社，2012.