中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在诸多灿烂的文化瑰宝之中，数学可谓是其中拥有许多耀眼光环的学科。中国古代算术的许多研究成果就早已孕育了西方数学后来才涉及的思想方法，近代中国也有不少世界领先的数学研究成果。2011年4月30日-5月4日，第四届数学史与数学教育国际研讨会在华东师范大学举行，“纪念李善兰诞辰200周年”是这次大会的重点报告主题。笔者谨以此文赏析李善兰先生的数学功力及对祖国的杰出贡献，并对其奋斗、进取的一生深表敬仰。
　　李善兰（1811-1882年），原名李心兰，浙江海宁人。他是清代著名的数学家、天文学家、植物学家、翻译家和教育家，近代科学传播的先驱者。他在数学方面的主要学术成果体现在尖锥术、垛积术和素数论上。毫无置疑，李善兰造就的知识能级都是19世纪中国数学界向国际数学界呈现的极高礼物。
　　李善兰1811年1月22日生于浙江省海宁县硖石镇。他自幼就读于私塾，受到了良好的家庭教育。海宁是个风光秀丽的地方，著名的海宁钱江潮，吞天沃日，势极雄豪。当时中国还是一个独立的封建国家。9岁时，李善兰发现父亲的书架上有一本中国古代数学名著《九章算术》（该书分为九章，由246个算术命题和解法汇编而成，标志着我国古代数学完整体系的形成）。李善兰读了这本书，感到十分新奇有趣，从此迷上了数学。13岁时，李善兰开始学习古代诗歌并学会了作诗。14岁时，李善兰又靠自学读懂了由欧几里得系统化整理的《几何原本》中初等几何学部分。李善兰在研习《九章算术》的基础上，同时吸取《几何原本》的新思想，使他的数学造诣日趋精湛。
　　清政府在对外关系中实行闭关锁国政策，这种政策保护了国内落后的生产关系，阻碍了资本主义萌芽的发展。正当中国在黑夜中沉睡的时候，世界上欧美各主要资本主义国家却早已发展起来。1840年，英国发动鸦片战争后，中国出现了魏源、姚莹、包世臣等地主阶级知识分子的反侵略爱国思想和向西方学习的主张。
　　19世纪后半期，西方科学知识开始大量传入。1862年，清政府设立同文馆，开始只设立了外语课程，后来增加了数学、化学、天文学、生理学等课程。同时，清政府在上海、广州、福州、天津等地也设立了专门学堂，教授外语和西方科学知识。上海江南制造总局也翻译了一批科技书籍。1857年出版的《六合丛刊》是我国最早出现的综合性科学杂志，在中国科技发展史上起了重要作用。 随着西方自然科学知识的大量传入，以及近代工业的产生和发展，在19世纪后半期，中国涌现出一批科学家，他们为发展中国的近代科学作出了重要贡献。而李善兰则是其中的翘楚。
　　理论革新，名扬中外的“尖锥术”
　　1840年的鸦片战争激发了李善兰科学救国的决心。他感慨道：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也，推原制器之精，算学明也。”从此，李善兰在家乡刻苦学习，着力于数学研究工作。在近代数学尚未自西方传入中国的情况下，李善兰异军突起，独辟蹊径，通过自己的刻苦钻研，从中国传统数学中垛积术和极限方法的基础上，大胆创新。1845年前后，李善兰在浙江省嘉兴桐乡设馆授徒，与江浙一带数学家在一起讨论数学问题。此间，李善兰关于“尖锥术”的著作《方圆阐幽》、《弧矢启秘》、《对数探源》等相继问世，并发表了具有解析几何思想和微积分方法的数学研究成果——“尖锥术”。这一发明已经具有解析几何的启蒙思想，得出了一些重要的积分公式，创立了二次平方根的幂级数展开式，各种三角函数、反三角函数和对数函数的幂级数展开式，这是李善兰，也是 19 世纪中国数学界最重大的成就。
　　尖锥术的意义重大在于：首先，李善兰所创立的尖锥概念，是一种处理代数问题的几何模型。它由互相垂直的底线、高线和凹向的尖锥曲线所组成，并且在考虑尖锥合积的问题时，也是使诸尖锥有共同方向上的底和高，这样的底和高具有平面直角坐标系中纵、横两个坐标的作用。
　　其次，这种尖锥是由乘方数渐增渐迭而得，尖锥曲线是由随同乘方数一起渐增渐迭的底线和高线所确定的点变动而成的轨迹。由于李善兰把每一条尖锥曲线看作是无穷幂级数中相应的项，实际上他给出了直线（长方、平尖锥）、抛物线（立尖锥）、立方抛物线（二乘尖锥）……的方程。他的对数合尖锥还相当于给出了等轴双曲线的方程。
　　最后，李善兰的尖锥求积术，实质上就是幂函数的定积分公式和逐项积分的运算法则。同时，李善兰用这种积分的方法，配合还原（级数回求）、商除等代数运算方法，卓有成效地展开了许多超越函数的研究，这也是属于微积分学早期阶段的工作。
　　同时，与尖锥术相提并论的素数论，其影响力同样显赫。1866年，李鸿章资助李善兰重刻《重学》20 卷，并附《圆锥曲线说》3卷出版。这一年，在北京的京师同文馆内添设了天文算学馆，广东巡抚郭嵩焘（1817-1891年）上疏举荐李善兰为天文算学总教习，但李善兰忙于在南京出书，到1868 年才北上就任。1869年，李善兰被钦赐“中书科中书（从七品卿衔）”，1817年加内阁侍读衔。1872年，李善兰发表了题为“《则古昔斋算学》十四”的《考数根法》，这是他的第三项重要数学成就，是中国素数论上最早的一篇论文。所谓数根，就是素数。考数根法，就是判断一个自然数是否为素数的方法。李善兰说：“任取一数，欲辨是数根否，古无法焉。”李善兰证明了著名的费马素数定理，并且指出它的逆定理不真。
　　勤奋钻研，报效祖国科学
　　身处新旧交替，中西融合的历史时期，李善兰眼光敏锐，思想活跃，既不盲从，又不保守，是很有胆略、很有气量的。1852年，李善兰到上海墨海书馆，开始同西方传教士合作翻译西方近代科技著作。从1852年到1859年，李善兰同英国传教士伟烈亚力合作翻译了《几何原本》后9卷，使之成为全璧。他还翻译了《代数学》13卷、《代微积拾级》18卷、《谈天》18卷、《重学》20卷、《植物学》8卷等西方科学著作，把近代科学传入到了中国。在译书的同时，李善兰还帮助伟烈亚力研究中国天文算学，并把中国天文数学的成就介绍到了西方。 　　是李善兰在《垛积比类》一书中得到的三角自成垛求和公式。这一公式被尊称为“李善兰恒等式”。该恒等式广泛地流传于海内外，自20世纪30年代以来，受到国际数学界的普遍关注和赞赏。可以说，《垛积比类》是早期组合论的杰作。
　　鸦片战争以后，中国数学出现了新的发展态势：一方面，西方传教士借五口通商的便利，在传教的同时，扩大西方数学的传入；另一方面，清朝统治集团内部的一些洋务派人士注重支持中国的科学事业，包括中国传统数学的发展，以及西方数学典籍的翻译。李善兰是这一时期最重要的中国数学家。他既精于中国古代的传统数学，又能吸收西方的一些数学观念并加以糅和，代表了那一时代中国数学界的最高水平。李善兰的数学研究范围广，在组合恒等式上的研究至今仍被国际数学界称道。在晚清数学家中，李善兰无疑是最杰出的一人。在西方的微积分未传入的情况下，李善兰独自用尖锥术发现幂函数的定积分公式、二次平方根的幂级数展开式，以及各种三角函数、反三角函数的幂级数展开式。他所使用的求对数的方法，比传教士带进来的方法要高明、简洁。在李善兰的尖锥术的基础上，中国传统数学完全可以走上解析几何、微积分的近代数学的道路。
　　李善兰在翻译过程中，大量的近代科学名词，其中文译名都没有先例可供参考。本着对后人负责的精神，李善兰仔细琢磨，反复斟酌，十分贴切地创译了一大批科学名词，如代数学中的代数、函数、常数、变数、系数、已知数、未知数、方程式、单项式、多项式等，解析几何学中的原点、轴、圆锥曲线、抛物线、双曲线、渐近线、切线、法线、摆线、蚌线，螺线等，微积分中的无穷、极限、曲率、歧点、微分、积分等；天文学中的历元、方位、视差、自行、摄动、光行差、月行差、月角差、二均差、蒙气差、星等、变星、双星、三合星、本轮、均轮等；力学中的分力、合力、质点、刚体等；植物学中的植物、细胞、菊科、豆科、蔷薇科、杨柳科、芭蕉科等。一百多年过去了，这些科学名词不仅在我国流传下来，还飘洋过海，东渡日本等国，沿用至今未改。
　　李善兰和友人在学术上相互切磋，取长补短，这是那个时代数学家极少具有的优良品格。1852 年，李善兰便接触到了大量从西方传进来的近代数学，并参与了把解析几何和微积分学传入中国的翻译工作。从此，中国传统数学逐渐汇入世界数学发展的洪流中。李善兰是顺应这种历史潮流，并起着推波助澜作用的重要人物。今天，重温李善兰的科学革命历程，对我国数学赶上国际水准依然有着重要的启迪意义。