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[摘 要] 数学解题教学设计及其课堂实施是数学教师的教学技艺的体现. 数学教师需要分析数学问题及其解答环节的特点，据此揣摩学生出现这些环节认识时的心理活动特点，选择合适的教学方法.这里以一道数学高考压轴题说明之.
[关键词] 数学解题;教学设计;数学观念
在安徽省淮北中学（省级示范中学）听一位有经验、也较有名气的高三数学教师的为迎接高考复习而准备的数学解题教学活动课，这位教师选择了1998年高考全国卷理科的第25题（压轴题）作为课堂探究活动材料的一个部分（在这节课上，这位教师基本上是以相同的教学方式共讲授了三道历年的高考压轴题.这道题是其中的第三个例子，据笔者的比较判断，这道题的解答难度相对于其他两道题来说要稍微大一些），展开了（主要是教师提供解答的）课堂解题教学活动. 笔者认为，这种课堂教学活动“损伤”这道题的教学价值，没有有效地实现这道题的教学目标. 同时，笔者发现，许多数学教师在带领高三学生进行复习解题教学时，几乎都不约而同地出现了这种倾向，这就需要拨乱反正，值得我们去对这种现象进一步深入研究. 这里，为了行文方便，首先将这道题高考压轴题抄录如下：
例题（1998年数学高考全国卷·理25·压轴题，这位教师在这道题进入课堂教学活动时稍做改编）？摇已知数列{bn}的通项为bn=3n-2，设数列{an}的通项an=loga1+ （其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论.
在关于这道题的课堂教学活动中，这位教师基本上没有变更高考题的命题者所提供的关于解答这道题的参考答案，只不过在课堂教学活动时，这位教师对某些关键性步骤进行现象性解释，基本上没有涉及在学生产生操作相关题设条件的指令时所需要从心理上萌生的数学观念（在数学观念与具体操作行为两者的关系中，数学观念是操作行为的指令，数学观念与操作行为的关系是，数学观念犹如“运筹帷幄之中”的统帅部的指挥行为，而操作行为是前方将士作战时的具体动作行为，除了条件反射之外，其他行为都是在具体的数学观念指导下发出的，也就是说，先要萌生数学观念，然后，在这种数学观念指令下采取操作行为 ），导致了教学活动时，只见数学知识在解题中的应用，而没有启发学生如何运用具体数学知识解决问题的心理活动过程.
关于这道题命题者的参考答案：因为bn=3n-2，所以an=loga1+ =loga ，
Sn=a1+a2+…+an=loga · ·…· ，而 logabn+1=loga .
要比较Sn与 logabn+1的大小，只要比较 · ·…· 与 的大小就行了.
记An= · ·…· ，Bn= .
因为 >1，
所以对任意的n∈N+，都有 > > >0，
所以 3> · · = ①，
从而可知，A = 3· 3·…· 3· 3> · ·…· · =3n+1=B ，
所以An>Bn（n∈N+）.
由对数函数的单调性得，当a>1时，Sn> logabn+1（n∈N+）;当0<a<1时，S < logabn+1（n∈N+）.
这节课讲下来，笔者能够感受到这位教师具有极好的教学基本功：就课堂传授来说，具有很高的效率;而且板书结构合理，书写优美，都可以给学生以非常好的示范作用;语言干净利索，抑扬顿挫，较好地突出了重点，笔者从中获得了很多有益的启示. 但是，学生未必能够合理地感受到，给我们听课的感觉是教师有平均用力的嫌疑;更为关键的是，这位教师只是考虑了解决这道题的逻辑途径，而没有从这种逻辑途径中揣测学生生发解法思路的心理途径，从而将数学逻辑表达形态的知识发生转化为数学教学探究形态的知识发生. 总之，这种教学设计是这位教师基于自己熟练的数学知识，向学生传授解题的方法，学生则是通过记忆与强化训练的方式学习解题活动，这就是机械性学习，而不是创造性学习，从而损伤了数学教学价值，特别是培养学生创新能力的教学价值，难于实现数学解题活动的教学目标. 笔者通过深入思考发现，其主要原因就是没有从启发学生自己萌生数学观念出发，然后在这种观念的指令下进行相应解题操作行为活动，从而损伤了这道题的教学价值，难以实现这道题的深层次的教学目标.
笔者通过仔细思考这道题的参考答案，对照这位教师在课堂教学活动中的解释，发现了这位教师在课堂教学活动中的缺点. 于是，对于参考答案的关键性一个环节做出了新的构想，就是在教学设计中，对于不等式①的出现，学生是如何从心底里想到的？将其作为整个教学活动重点，它的实质就是要启发学生从自己的数学现实与观念现实中建构出不等式①. 笔者通过长时间的思考，对这种解法的这个基本点找到了较好的课堂教学途径（下面行文中的省略号表示学生思维的暂时中断）.
師：记bn=3n-2②，an=loga1+ ③.由②③的具体结构，知要比较Sn与 logabn+1的大小，就是比较3Sn与logabn+1的大小，具体而言，就是希望比较两个数3 loga1+ ④与loga（3n+1）⑤的大小. 那么，如何比较这两个数的大小呢？
师：由问题的结论认识或猜想到，④式与⑤式肯定是存在一种不等的关系.那么，与其对立的命题是，④式与⑤式可以变得相等吗？
生1：不可能.不等的数量，怎么可能变成相等呢？
生2：可以.我们将④式的数量值放大或缩小就有可能会得到⑤式，从理论上说是可以达到这种目的的.
师：我同意生2的想法，“不等”与“相等”这两者之间是相对的，为了获得不等关系的结论，我们可以通过相等的途径来达到.
师：那么，如何放缩才能将④式转化为⑤式呢？ 生3：我们许多同学都想方设法对④式中的 log 1+ 进行放缩，但都不能转化成⑤式，……因为，④式太复杂而⑤式太简单，……
师：如果将④式写成 loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑥的形式（通过板书书写），将⑥式放缩，产生⑤式的结果是否会更容易些？
生4：从⑥式中可以获得启示：如果对④式中的 loga1+ 进行一次性地直接放缩，那么，这三个同样的 loga1+ 的放缩结果相互之间就不可能产生互补作用，发挥不了将问题条件搭配从而形成结构性的整体功能，这就是一次性放缩的弊端. 要突破这种放缩形式的弊端，我考虑将三个 loga1+ 进行各自不同的放缩，以期能利用问题结构的整体性，形成一种相互协调与相互补充的结果，这样可能有利于问题的解决，但是，……
师：生4提出了一种非常好的解决问题的数学观念性设想.那么，如何实现生4所估计的如此放缩的目的呢？
生5：我想这样来进行试探，将⑥式中第一个 loga1+ 不放缩，第二个 loga1+ 缩小到 loga1+ 的形式，第三个 loga1+ 再次缩小到 loga1+ 形式. 下面，对a分两种情形加以分类讨论：
当a>1时，由函数y=logax在所在定义域内单调递增，知3 loga1+ > loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑦，⑦式右端利用对数的相关性质，进行化简后的结果就是⑤式.此时，3Sn>logabn+1;当0<a<1时，同理，可以得到3Sn 关于这道题笔者首先认识到了这位老师所提供的答案中所出现的不等式①是脱掉了对数符号后所形成的运算性质的结论，不等式的关键部分变成了三个相关要素的乘积，若不脱掉这个对数符号，则依然可以使用这三个要素，而三者之积变成三者之和，因此，可以直接利用数式④中的三个 loga·1+ 进行放缩来达到目的. 基于这样的设计，笔者又通过思考与探究活动认识到，独立地放缩 loga1+ ，即毕其功于一役的手段，是很难达到目的的. 经由很长的时间领悟到可以对 loga1+ 进行笔者在另一篇文章中称之为“分项放縮”的试探，结果得到了一种成功的放缩方法并解决了问题. 接着就思考这课堂上如何启发学生也像笔者在探究活动一样产生如此“分项放缩”的心理活动呢？如此促成了教学设计中的⑥式的出现.
笔者的教学设计不同于这位教师的教学设计的关键性环节在于将这位教师抄写参考答案的关键环节不等式①转化成了笔者教学设计中的不等式⑦，关于这个不等式⑦笔者不是直接地将其奉献于学生，而是通过将数式④变形为数式⑥的表征形式，从而启迪学生从自己心理上领悟到了将这三个 loga1+ 进行不同形式的放缩，进而促使学生在课堂现场中萌生出了“分项放缩”的数学观念，然后，在这个数学观念的指令下，产生了具体使用“分项放缩”的操作行为，如此为学生认识到解决问题的具体方法的关键性环节找到了心理活动的过程，这样变问题解决的逻辑发生为心理发生，到这里，发挥了知识的教学价值，实现了课堂教学目标.
这位教师基于参考答案所提供的这种解法（建立的不等式①）的这个环节，只是直白地奉献于学生，他认为学生照单全收就行了，这就掩盖了产生不等式④的数学观念的萌生过程，掩盖了解题问题的具体数学方法的形成过程，极大地损伤了这个环节的教学价值.笔者通过检视这种解法，仔细地推测这个不等式①产生的心理原因，发现了这个不等式①可以用不等式⑦来替换. 然而，如果笔者采用的替换途径也同这位教师一样，那也就变成灌输式的教学. 于是，笔者在教学设计上用足了功夫，想到将④式转化为⑥式，这看上去好像只是不经意的灵机一动. 事实上，笔者设计这一步其实是“十月怀胎”后的“一朝分娩”，是以几十年的教学经验与长时间的思考为前提的. 如此设计将这位教师通过向学生奉献不等式①变成了启发学生自己萌生这种“分项放缩”的指令操作行为的数学观念，从而发挥了这道题的教学价值，实现了课堂教学目标，这样的教学设计达到了如期的效果.
[关键词] 数学解题;教学设计;数学观念
在安徽省淮北中学（省级示范中学）听一位有经验、也较有名气的高三数学教师的为迎接高考复习而准备的数学解题教学活动课，这位教师选择了1998年高考全国卷理科的第25题（压轴题）作为课堂探究活动材料的一个部分（在这节课上，这位教师基本上是以相同的教学方式共讲授了三道历年的高考压轴题.这道题是其中的第三个例子，据笔者的比较判断，这道题的解答难度相对于其他两道题来说要稍微大一些），展开了（主要是教师提供解答的）课堂解题教学活动. 笔者认为，这种课堂教学活动“损伤”这道题的教学价值，没有有效地实现这道题的教学目标. 同时，笔者发现，许多数学教师在带领高三学生进行复习解题教学时，几乎都不约而同地出现了这种倾向，这就需要拨乱反正，值得我们去对这种现象进一步深入研究. 这里，为了行文方便，首先将这道题高考压轴题抄录如下：
例题（1998年数学高考全国卷·理25·压轴题，这位教师在这道题进入课堂教学活动时稍做改编）？摇已知数列{bn}的通项为bn=3n-2，设数列{an}的通项an=loga1+ （其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论.
在关于这道题的课堂教学活动中，这位教师基本上没有变更高考题的命题者所提供的关于解答这道题的参考答案，只不过在课堂教学活动时，这位教师对某些关键性步骤进行现象性解释，基本上没有涉及在学生产生操作相关题设条件的指令时所需要从心理上萌生的数学观念（在数学观念与具体操作行为两者的关系中，数学观念是操作行为的指令，数学观念与操作行为的关系是，数学观念犹如“运筹帷幄之中”的统帅部的指挥行为，而操作行为是前方将士作战时的具体动作行为，除了条件反射之外，其他行为都是在具体的数学观念指导下发出的，也就是说，先要萌生数学观念，然后，在这种数学观念指令下采取操作行为 ），导致了教学活动时，只见数学知识在解题中的应用，而没有启发学生如何运用具体数学知识解决问题的心理活动过程.
关于这道题命题者的参考答案：因为bn=3n-2，所以an=loga1+ =loga ，
Sn=a1+a2+…+an=loga · ·…· ，而 logabn+1=loga .
要比较Sn与 logabn+1的大小，只要比较 · ·…· 与 的大小就行了.
记An= · ·…· ，Bn= .
因为 >1，
所以对任意的n∈N+，都有 > > >0，
所以 3> · · = ①，
从而可知，A = 3· 3·…· 3· 3> · ·…· · =3n+1=B ，
所以An>Bn（n∈N+）.
由对数函数的单调性得，当a>1时，Sn> logabn+1（n∈N+）;当0<a<1时，S < logabn+1（n∈N+）.
这节课讲下来，笔者能够感受到这位教师具有极好的教学基本功：就课堂传授来说，具有很高的效率;而且板书结构合理，书写优美，都可以给学生以非常好的示范作用;语言干净利索，抑扬顿挫，较好地突出了重点，笔者从中获得了很多有益的启示. 但是，学生未必能够合理地感受到，给我们听课的感觉是教师有平均用力的嫌疑;更为关键的是，这位教师只是考虑了解决这道题的逻辑途径，而没有从这种逻辑途径中揣测学生生发解法思路的心理途径，从而将数学逻辑表达形态的知识发生转化为数学教学探究形态的知识发生. 总之，这种教学设计是这位教师基于自己熟练的数学知识，向学生传授解题的方法，学生则是通过记忆与强化训练的方式学习解题活动，这就是机械性学习，而不是创造性学习，从而损伤了数学教学价值，特别是培养学生创新能力的教学价值，难于实现数学解题活动的教学目标. 笔者通过深入思考发现，其主要原因就是没有从启发学生自己萌生数学观念出发，然后在这种观念的指令下进行相应解题操作行为活动，从而损伤了这道题的教学价值，难以实现这道题的深层次的教学目标.
笔者通过仔细思考这道题的参考答案，对照这位教师在课堂教学活动中的解释，发现了这位教师在课堂教学活动中的缺点. 于是，对于参考答案的关键性一个环节做出了新的构想，就是在教学设计中，对于不等式①的出现，学生是如何从心底里想到的？将其作为整个教学活动重点，它的实质就是要启发学生从自己的数学现实与观念现实中建构出不等式①. 笔者通过长时间的思考，对这种解法的这个基本点找到了较好的课堂教学途径（下面行文中的省略号表示学生思维的暂时中断）.
師：记bn=3n-2②，an=loga1+ ③.由②③的具体结构，知要比较Sn与 logabn+1的大小，就是比较3Sn与logabn+1的大小，具体而言，就是希望比较两个数3 loga1+ ④与loga（3n+1）⑤的大小. 那么，如何比较这两个数的大小呢？
师：由问题的结论认识或猜想到，④式与⑤式肯定是存在一种不等的关系.那么，与其对立的命题是，④式与⑤式可以变得相等吗？
生1：不可能.不等的数量，怎么可能变成相等呢？
生2：可以.我们将④式的数量值放大或缩小就有可能会得到⑤式，从理论上说是可以达到这种目的的.
师：我同意生2的想法，“不等”与“相等”这两者之间是相对的，为了获得不等关系的结论，我们可以通过相等的途径来达到.
师：那么，如何放缩才能将④式转化为⑤式呢？ 生3：我们许多同学都想方设法对④式中的 log 1+ 进行放缩，但都不能转化成⑤式，……因为，④式太复杂而⑤式太简单，……
师：如果将④式写成 loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑥的形式（通过板书书写），将⑥式放缩，产生⑤式的结果是否会更容易些？
生4：从⑥式中可以获得启示：如果对④式中的 loga1+ 进行一次性地直接放缩，那么，这三个同样的 loga1+ 的放缩结果相互之间就不可能产生互补作用，发挥不了将问题条件搭配从而形成结构性的整体功能，这就是一次性放缩的弊端. 要突破这种放缩形式的弊端，我考虑将三个 loga1+ 进行各自不同的放缩，以期能利用问题结构的整体性，形成一种相互协调与相互补充的结果，这样可能有利于问题的解决，但是，……
师：生4提出了一种非常好的解决问题的数学观念性设想.那么，如何实现生4所估计的如此放缩的目的呢？
生5：我想这样来进行试探，将⑥式中第一个 loga1+ 不放缩，第二个 loga1+ 缩小到 loga1+ 的形式，第三个 loga1+ 再次缩小到 loga1+ 形式. 下面，对a分两种情形加以分类讨论：
当a>1时，由函数y=logax在所在定义域内单调递增，知3 loga1+ > loga1+ + loga1+ + loga1+ ⑦，⑦式右端利用对数的相关性质，进行化简后的结果就是⑤式.此时，3Sn>logabn+1;当0<a<1时，同理，可以得到3Sn
笔者的教学设计不同于这位教师的教学设计的关键性环节在于将这位教师抄写参考答案的关键环节不等式①转化成了笔者教学设计中的不等式⑦，关于这个不等式⑦笔者不是直接地将其奉献于学生，而是通过将数式④变形为数式⑥的表征形式，从而启迪学生从自己心理上领悟到了将这三个 loga1+ 进行不同形式的放缩，进而促使学生在课堂现场中萌生出了“分项放缩”的数学观念，然后，在这个数学观念的指令下，产生了具体使用“分项放缩”的操作行为，如此为学生认识到解决问题的具体方法的关键性环节找到了心理活动的过程，这样变问题解决的逻辑发生为心理发生，到这里，发挥了知识的教学价值，实现了课堂教学目标.
这位教师基于参考答案所提供的这种解法（建立的不等式①）的这个环节，只是直白地奉献于学生，他认为学生照单全收就行了，这就掩盖了产生不等式④的数学观念的萌生过程，掩盖了解题问题的具体数学方法的形成过程，极大地损伤了这个环节的教学价值.笔者通过检视这种解法，仔细地推测这个不等式①产生的心理原因，发现了这个不等式①可以用不等式⑦来替换. 然而，如果笔者采用的替换途径也同这位教师一样，那也就变成灌输式的教学. 于是，笔者在教学设计上用足了功夫，想到将④式转化为⑥式，这看上去好像只是不经意的灵机一动. 事实上，笔者设计这一步其实是“十月怀胎”后的“一朝分娩”，是以几十年的教学经验与长时间的思考为前提的. 如此设计将这位教师通过向学生奉献不等式①变成了启发学生自己萌生这种“分项放缩”的指令操作行为的数学观念，从而发挥了这道题的教学价值，实现了课堂教学目标，这样的教学设计达到了如期的效果.