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摘 要:等轴双曲线的标准方程经过旋转可以转化成函数xy=k的模型,本文主要介绍等轴双曲线与函數的一些联系,着重数学模型的构建及简化模型,引发借助反比例函数模型解决等轴双曲线问题的一些探究与思考。
关键词:函数解法;等轴双曲线;图像旋转
函数是将问题转化为数学模型的工具,其本质是一种对应思想;双曲线方程经过适当的变换,可以构成函数的一种对应。笔者认为:双曲线中的一些问题可以借助函数工具进行解答。如:双曲线的标准方程为:,则:,令:,则双曲线标准方程为uv=1,此时:,于是形式上转化为反比例函数。通过这种换元思想,将xoy坐标轴上的双曲线转化为uov坐标轴上的反比例函数,借助uov坐标轴上的反比例函数,解决xoy坐标轴上双曲线的一些问题。实际上,这种变换是一种映射的转移,从方程的角度看,这是一种代数的换元思想,用新元u,v代替原有的x,y,在求解问题时,只需求解出相应的u,v,最后转化为x,y即可。
从图形的角度看,这种变化是将xoy坐标轴上的双曲线图形进行相似变换和旋转变换,得到相应uov坐标轴上的反比例函数。如图所示:
按照模型模仿,模型转换,模型构建的思路将双曲线方程模型转化为反比例函数模型,从熟知的函数模型入手,解决等轴双曲线问题。
例1(2017全国卷Ⅲ理.22)在直角坐标系xoy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数),设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:,M为l3与C的交点,求M的极径。
解:(1)略.C的普通方程为()。
2由(1)可知曲线C为双曲线,,令,则曲线C可转化为:uv=1,l3的方程为:,即原先在xoy坐标轴上的点M在新的坐标系uov坐标轴上为,即。根据径。
注:参数方程与极坐标问题可以转化为直角坐标系问题,将直角坐标系问题进行图形变换,转化为反比例函数问题,建立一个新的数学模型,进而求解。有助于培养学生的想象力与创造力、知识模块的内在联系与建构、学生的知识迁移以及思维转变能力。
在解决上述旋转问题时,应理清这种旋转是xoy坐标轴上所有图像围绕原点进行旋转45°,而不是简单的换元。
例2(2015江苏高考.12)在平面直角坐标系xoy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为
分析:如果仅利用换元思路:令,则双曲线转化为:uv=1,直线x-y+1=0换元后得到u=-1,于是在反比例函数uv=1中点到直线u=-1的距离恒大于1。
上述分析只是简单的换元思路,双曲线进行了旋转,而直线只是换元,并不是围绕原点旋转,因而得到的解是不正确的。直线围绕原点在xoy坐标轴上旋转45°得到的方程是,双曲线右支上的点经过旋转后在反比例函数uv=1,u>0的部分上,通过图形对比可以知:它到直线的距离大于,即答案为.如下图所示:
参考文献
[1]张必平;雷松柏;利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题[J].数学通讯,2007(18).
[2]颜美玲.从反比例函数到一般双曲线图像的性质[J].数学通报,2018,57(04):30-32.
关键词:函数解法;等轴双曲线;图像旋转
函数是将问题转化为数学模型的工具,其本质是一种对应思想;双曲线方程经过适当的变换,可以构成函数的一种对应。笔者认为:双曲线中的一些问题可以借助函数工具进行解答。如:双曲线的标准方程为:,则:,令:,则双曲线标准方程为uv=1,此时:,于是形式上转化为反比例函数。通过这种换元思想,将xoy坐标轴上的双曲线转化为uov坐标轴上的反比例函数,借助uov坐标轴上的反比例函数,解决xoy坐标轴上双曲线的一些问题。实际上,这种变换是一种映射的转移,从方程的角度看,这是一种代数的换元思想,用新元u,v代替原有的x,y,在求解问题时,只需求解出相应的u,v,最后转化为x,y即可。
从图形的角度看,这种变化是将xoy坐标轴上的双曲线图形进行相似变换和旋转变换,得到相应uov坐标轴上的反比例函数。如图所示:
按照模型模仿,模型转换,模型构建的思路将双曲线方程模型转化为反比例函数模型,从熟知的函数模型入手,解决等轴双曲线问题。
例1(2017全国卷Ⅲ理.22)在直角坐标系xoy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数),设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:,M为l3与C的交点,求M的极径。
解:(1)略.C的普通方程为()。
2由(1)可知曲线C为双曲线,,令,则曲线C可转化为:uv=1,l3的方程为:,即原先在xoy坐标轴上的点M在新的坐标系uov坐标轴上为,即。根据径。
注:参数方程与极坐标问题可以转化为直角坐标系问题,将直角坐标系问题进行图形变换,转化为反比例函数问题,建立一个新的数学模型,进而求解。有助于培养学生的想象力与创造力、知识模块的内在联系与建构、学生的知识迁移以及思维转变能力。
在解决上述旋转问题时,应理清这种旋转是xoy坐标轴上所有图像围绕原点进行旋转45°,而不是简单的换元。
例2(2015江苏高考.12)在平面直角坐标系xoy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为
分析:如果仅利用换元思路:令,则双曲线转化为:uv=1,直线x-y+1=0换元后得到u=-1,于是在反比例函数uv=1中点到直线u=-1的距离恒大于1。
上述分析只是简单的换元思路,双曲线进行了旋转,而直线只是换元,并不是围绕原点旋转,因而得到的解是不正确的。直线围绕原点在xoy坐标轴上旋转45°得到的方程是,双曲线右支上的点经过旋转后在反比例函数uv=1,u>0的部分上,通过图形对比可以知:它到直线的距离大于,即答案为.如下图所示:
参考文献
[1]张必平;雷松柏;利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题[J].数学通讯,2007(18).
[2]颜美玲.从反比例函数到一般双曲线图像的性质[J].数学通报,2018,57(04):30-32.