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摘 要：等轴双曲线的标准方程经过旋转可以转化成函数xy=k的模型，本文主要介绍等轴双曲线与函數的一些联系，着重数学模型的构建及简化模型，引发借助反比例函数模型解决等轴双曲线问题的一些探究与思考。
关键词：函数解法;等轴双曲线;图像旋转
函数是将问题转化为数学模型的工具，其本质是一种对应思想;双曲线方程经过适当的变换，可以构成函数的一种对应。笔者认为：双曲线中的一些问题可以借助函数工具进行解答。如：双曲线的标准方程为：，则：，令：，则双曲线标准方程为uv=1，此时：，于是形式上转化为反比例函数。通过这种换元思想，将xoy坐标轴上的双曲线转化为uov坐标轴上的反比例函数，借助uov坐标轴上的反比例函数，解决xoy坐标轴上双曲线的一些问题。实际上，这种变换是一种映射的转移，从方程的角度看，这是一种代数的换元思想，用新元u，v代替原有的x，y，在求解问题时，只需求解出相应的u，v，最后转化为x，y即可。
从图形的角度看，这种变化是将xoy坐标轴上的双曲线图形进行相似变换和旋转变换，得到相应uov坐标轴上的反比例函数。如图所示：
按照模型模仿，模型转换，模型构建的思路将双曲线方程模型转化为反比例函数模型，从熟知的函数模型入手，解决等轴双曲线问题。
例1（2017全国卷Ⅲ理.22）在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C
（1）写出C的普通方程;
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：，M为l3与C的交点，求M的极径。
解：（1）略.C的普通方程为（）。
2由（1）可知曲线C为双曲线，，令，则曲线C可转化为：uv=1，l3的方程为：，即原先在xoy坐标轴上的点M在新的坐标系uov坐标轴上为，即。根据径。
注：参数方程与极坐标问题可以转化为直角坐标系问题，将直角坐标系问题进行图形变换，转化为反比例函数问题，建立一个新的数学模型，进而求解。有助于培养学生的想象力与创造力、知识模块的内在联系与建构、学生的知识迁移以及思维转变能力。
在解决上述旋转问题时，应理清这种旋转是xoy坐标轴上所有图像围绕原点进行旋转45°，而不是简单的换元。
例2（2015江苏高考.12）在平面直角坐标系xoy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
分析：如果仅利用换元思路：令，则双曲线转化为：uv=1，直线x-y+1=0换元后得到u=-1，于是在反比例函数uv=1中点到直线u=-1的距离恒大于1。
上述分析只是简单的换元思路，双曲线进行了旋转，而直线只是换元，并不是围绕原点旋转，因而得到的解是不正确的。直线围绕原点在xoy坐标轴上旋转45°得到的方程是，双曲线右支上的点经过旋转后在反比例函数uv=1，u>0的部分上，通过图形对比可以知：它到直线的距离大于，即答案为.如下图所示：
参考文献
[1]张必平;雷松柏;利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题[J].数学通讯，2007（18）.
[2]颜美玲.从反比例函数到一般双曲线图像的性质[J].数学通报，2018，57（04）：30-32.
关键词：函数解法;等轴双曲线;图像旋转
函数是将问题转化为数学模型的工具，其本质是一种对应思想;双曲线方程经过适当的变换，可以构成函数的一种对应。笔者认为：双曲线中的一些问题可以借助函数工具进行解答。如：双曲线的标准方程为：，则：，令：，则双曲线标准方程为uv=1，此时：，于是形式上转化为反比例函数。通过这种换元思想，将xoy坐标轴上的双曲线转化为uov坐标轴上的反比例函数，借助uov坐标轴上的反比例函数，解决xoy坐标轴上双曲线的一些问题。实际上，这种变换是一种映射的转移，从方程的角度看，这是一种代数的换元思想，用新元u，v代替原有的x，y，在求解问题时，只需求解出相应的u，v，最后转化为x，y即可。
从图形的角度看，这种变化是将xoy坐标轴上的双曲线图形进行相似变换和旋转变换，得到相应uov坐标轴上的反比例函数。如图所示：
按照模型模仿，模型转换，模型构建的思路将双曲线方程模型转化为反比例函数模型，从熟知的函数模型入手，解决等轴双曲线问题。
例1（2017全国卷Ⅲ理.22）在直角坐标系xoy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C
（1）写出C的普通方程;
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：，M为l3与C的交点，求M的极径。
解：（1）略.C的普通方程为（）。
2由（1）可知曲线C为双曲线，，令，则曲线C可转化为：uv=1，l3的方程为：，即原先在xoy坐标轴上的点M在新的坐标系uov坐标轴上为，即。根据径。
注：参数方程与极坐标问题可以转化为直角坐标系问题，将直角坐标系问题进行图形变换，转化为反比例函数问题，建立一个新的数学模型，进而求解。有助于培养学生的想象力与创造力、知识模块的内在联系与建构、学生的知识迁移以及思维转变能力。
在解决上述旋转问题时，应理清这种旋转是xoy坐标轴上所有图像围绕原点进行旋转45°，而不是简单的换元。
例2（2015江苏高考.12）在平面直角坐标系xoy中，P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点。若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为
分析：如果仅利用换元思路：令，则双曲线转化为：uv=1，直线x-y+1=0换元后得到u=-1，于是在反比例函数uv=1中点到直线u=-1的距离恒大于1。
上述分析只是简单的换元思路，双曲线进行了旋转，而直线只是换元，并不是围绕原点旋转，因而得到的解是不正确的。直线围绕原点在xoy坐标轴上旋转45°得到的方程是，双曲线右支上的点经过旋转后在反比例函数uv=1，u>0的部分上，通过图形对比可以知：它到直线的距离大于，即答案为.如下图所示：
参考文献
[1]张必平;雷松柏;利用等轴双曲线的一个变换简解一道高考题[J].数学通讯，2007（18）.
[2]颜美玲.从反比例函数到一般双曲线图像的性质[J].数学通报，2018，57（04）：30-32.