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摘要：“大学物理”是所有高校理工科的重要基础课，本文笔者针对很多学生觉得物理难、定理和公式多、记不住等问题，利用比较方法学习经典力学和电磁学中部分内容，通过类比分析、类比记忆，使看似复杂、繁多的物体定律、公式变得有序可循，需要记忆的量成倍减少。
关键词：大学物理 比较学习 类比记忆
一、引言
“物理学”是美的，具有物理规律的简洁美和形式统一美。我们可以将性质相似的内容进行比较学习， 找出公式表达形式的形似性和内容内涵的可对比理解性，使物理的学习更加简单，使物理学的“美”真正地在教师教学和学生学习中体现出来。本文笔者比较学习了力学中的物体平动和刚体定轴转动、万有引力势能和电势能、电场的能量和磁场的能量。
二、力学中物体平动和刚体定轴转动
物体的平动和刚体的定轴转动是经典力学的重要组成部分，对于平动和转动两部分的重要概念和定理，形式和内容上是很相似的。下面，我们分别从平动中的牛顿第二定律、动能、动量、动量定理、动量守恒定律与转动中的转动定律、转动动能、角动量、角动量定理、角动量守恒定律几个方面进行比较分析。
（一）动力学特征
牛顿第二定律是分析物体平动运动状态和力的关系的基础：
■=m■ （1）
定轴转动定律是分析刚体定轴转动状态和力矩关系的基础：
■=I■ （2）
平动物体的受力与转动刚体的力矩相对应，平动物体质量与刚体的转动惯量相对应，平动物体的加速度与刚体的转动角加速度相对应。质量m是平动物体惯性大小的量度，质量越大，物体的运动状态越不容易改变。同样，转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度，转动惯量越大的物体，刚体的转动状体越不容易改变。
同理，平动物体的速度对应转动刚体的角速度，所以可以得到平动物体动能表达式和定轴转动物体动能表达式具有相同的形式。
平动物体动能为：Ek=■mv2， （3）
定轴转动物体动能为：Ez=■Iω2 （4）
（二）动量与角动量
物体运动具有的动量定义为质量乘以速度： ■=m■ （5）
物体动量的时间变化率等于物体所受合力，这是动量定理的内容，公式表示为：
■=■ （6）
由上式可知，当合外力为0时，动量守恒。
刚体定轴转动定义了质点角动量的概念，是位置矢量乘以动量：
■=■×■=■×m■ （7）
刚体的角动量定理公式是：
■=■ （8）
即刚体角动量的时间变化率等于物体所受合外力矩。根据此式，可以得到合外力矩为0时，角动量守恒。
可见，平动中动量与转动中的角动量对应，力与力矩相对应，这样就很容易理解和记忆动量定理、角动量定理、动量守恒定律和角动量守恒定律。
三、万有引力势能和电势能
万有引力和电场力都是保守力，而且力的表达式具有相似的形式，我们通过力做功来分析万有引力场势能和电场势能。
■
图1 万有引力做功 图2 电场力做功
分析万有引力势能，先从万有引力做功入手，考察两个星体M和m之间的万有引力做功，如图1所示。根据万有引力定律，两者之间的万有引力为：
F=G■ （9）
根据变力做功原理，先求出m在c点处微段位移范围内万有引力做功dW：
dW=■·d■
=F·dr·cosθ
=-F·dr·cos（π-θ） （10）
因为微段位移的大小，所以
dW=-G■dr （11）
可求得星体m从a点到b点万有引力做功为：
W=■-G■dr
=（-GMm■）-（-GMm■） （12）
选择无穷远为万有引力势能零点，a点处的万有引力势能为（-GMm■）。
两个点电荷之间的相互作用力由库仑定律给出，形式上与万有引力一致，F=K■（13）
如图2所示，q是施力电荷，q0是试验正电荷。我们看到，图2和图1的区别就在于图2中电场力的方向是与■的方向相同，而图1中万有引力的方向与■的方向相反，所以我们可以不用计算，根据公式（12），就可以类比得到q0从a点移动到b点电场力做功为
W=kqq0■-kqq0■ （14）
选择无穷远为电势能零点，a点处电势能为kqq0■。
四、电场能量和磁场能量分析
下面通过电场和磁场的建立过程，分别讨论电场能量和磁场能量。
（一）电场能量
通过电容器充电逐步建立电场的过程来分析电场的能量，如图3所示。
■
图3 平行板电容器充电建立电场过程
假设电容器在充电某时刻极板带电量为q，两个极板间的电势差为Uq，此时如果要充入dq的电量，电源需要做功dA=dqUq=dq■（15）
电容器充电完成后极板带电为Q，两极板之间的电势差为U，在整个充电过程中，电源做功为A=∫dA=■■dq=■ （16）
根据功能原理，电源做的功等于电容器充电后存储的能量We=■=■=■ （17）
根据 C=εrεo■，U=Ed （18）
得到We=■（εrεoE2）Sd （19）
Sd是两极板间存在电场的空间体积，所以，电场能量的密度为
ωe=■（εrεoE2）=■DE（20）
其中D=εrεoE，为电位移矢量。
（二）磁场能量
磁场能量可以通过线圈通电逐步建立磁场过程来分析。如图4所示，将一个自感系数为L的线圈与电源相连，由于自感现象，线圈中的电流是逐渐增加，最后到达一个稳定值的，这个过程也是线圈中磁场逐步建立的过程。
■
图4 线圈内通电建立磁场过程
设在充磁过程中，dt时间内通过线圈的电荷为dq，则dt时间内电源ε克服自感电动势εL做功dA为：dA=-εLdq=Idt=LIdI （21）
电流由零变到稳定值I0，整个过程电源做功为A=■LIdI=■LI02 （22）
根据功能原理，电源做的功等于线圈中建立的磁场的能量Wm=A=■LI02 （23）
根据线圈的自感系数及磁场与电流之间的关系L=？滋n2V，B=？滋nlO（24）
得到Wm=■？滋n2V（■）2=■V （25）
所以，磁场的能量密度为
ωm=■=■BH （26）
其中H是磁场强度，H=■ （27）
电场和磁场能量的分析都是通过各场逐渐建立过程做功来分析的，而且最后的公式具有很好的对比记忆性。如公式（23）式和（27）式所示，电场能量密度是二分之一倍的电场强度和电位移矢量的乘积，磁场能量密度是二分之一倍的磁感应强度和磁场强度的乘积。而电位移矢量是在分析电场与电介质作用时引入的一个概念，磁场强度是在分析磁场与磁介质相互作用时引入的概念。对于一个电磁场的初学者，能够这样对比分析，很容易记住这些原理和公式。
五、结束语
本人通过多年湖北省省级精品课程“大学物理”的比较教学实践，发现学生的物理学习成绩大有改观。学生通过比较学习之后，觉得记忆的内容和所花的时间成倍减少。本文仅仅举了一些经典力学和电磁学中的例子，希望以后能够把整个大学物理阶段的比较学习系统地整理出来。
参考文献：
廖耀发.大学物理教程[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
基金资助：湖北省教育厅科研计划项目 （项目编号：B20121403）；湖北省自然科学基金（项目编号：2012FFB00704）；湖北工业大学博士科研启动项目（项目编号：BSQD12079）。
作者简介：
张金业（1981- ）女，安徽淮南人，讲师，博士，主要从事基础物理教学和大气环境物理科学研究。
（责编 赵建荣）
关键词：大学物理 比较学习 类比记忆
一、引言
“物理学”是美的，具有物理规律的简洁美和形式统一美。我们可以将性质相似的内容进行比较学习， 找出公式表达形式的形似性和内容内涵的可对比理解性，使物理的学习更加简单，使物理学的“美”真正地在教师教学和学生学习中体现出来。本文笔者比较学习了力学中的物体平动和刚体定轴转动、万有引力势能和电势能、电场的能量和磁场的能量。
二、力学中物体平动和刚体定轴转动
物体的平动和刚体的定轴转动是经典力学的重要组成部分，对于平动和转动两部分的重要概念和定理，形式和内容上是很相似的。下面，我们分别从平动中的牛顿第二定律、动能、动量、动量定理、动量守恒定律与转动中的转动定律、转动动能、角动量、角动量定理、角动量守恒定律几个方面进行比较分析。
（一）动力学特征
牛顿第二定律是分析物体平动运动状态和力的关系的基础：
■=m■ （1）
定轴转动定律是分析刚体定轴转动状态和力矩关系的基础：
■=I■ （2）
平动物体的受力与转动刚体的力矩相对应，平动物体质量与刚体的转动惯量相对应，平动物体的加速度与刚体的转动角加速度相对应。质量m是平动物体惯性大小的量度，质量越大，物体的运动状态越不容易改变。同样，转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度，转动惯量越大的物体，刚体的转动状体越不容易改变。
同理，平动物体的速度对应转动刚体的角速度，所以可以得到平动物体动能表达式和定轴转动物体动能表达式具有相同的形式。
平动物体动能为：Ek=■mv2， （3）
定轴转动物体动能为：Ez=■Iω2 （4）
（二）动量与角动量
物体运动具有的动量定义为质量乘以速度： ■=m■ （5）
物体动量的时间变化率等于物体所受合力，这是动量定理的内容，公式表示为：
■=■ （6）
由上式可知，当合外力为0时，动量守恒。
刚体定轴转动定义了质点角动量的概念，是位置矢量乘以动量：
■=■×■=■×m■ （7）
刚体的角动量定理公式是：
■=■ （8）
即刚体角动量的时间变化率等于物体所受合外力矩。根据此式，可以得到合外力矩为0时，角动量守恒。
可见，平动中动量与转动中的角动量对应，力与力矩相对应，这样就很容易理解和记忆动量定理、角动量定理、动量守恒定律和角动量守恒定律。
三、万有引力势能和电势能
万有引力和电场力都是保守力，而且力的表达式具有相似的形式，我们通过力做功来分析万有引力场势能和电场势能。
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图1 万有引力做功 图2 电场力做功
分析万有引力势能，先从万有引力做功入手，考察两个星体M和m之间的万有引力做功，如图1所示。根据万有引力定律，两者之间的万有引力为：
F=G■ （9）
根据变力做功原理，先求出m在c点处微段位移范围内万有引力做功dW：
dW=■·d■
=F·dr·cosθ
=-F·dr·cos（π-θ） （10）
因为微段位移的大小，所以
dW=-G■dr （11）
可求得星体m从a点到b点万有引力做功为：
W=■-G■dr
=（-GMm■）-（-GMm■） （12）
选择无穷远为万有引力势能零点，a点处的万有引力势能为（-GMm■）。
两个点电荷之间的相互作用力由库仑定律给出，形式上与万有引力一致，F=K■（13）
如图2所示，q是施力电荷，q0是试验正电荷。我们看到，图2和图1的区别就在于图2中电场力的方向是与■的方向相同，而图1中万有引力的方向与■的方向相反，所以我们可以不用计算，根据公式（12），就可以类比得到q0从a点移动到b点电场力做功为
W=kqq0■-kqq0■ （14）
选择无穷远为电势能零点，a点处电势能为kqq0■。
四、电场能量和磁场能量分析
下面通过电场和磁场的建立过程，分别讨论电场能量和磁场能量。
（一）电场能量
通过电容器充电逐步建立电场的过程来分析电场的能量，如图3所示。
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图3 平行板电容器充电建立电场过程
假设电容器在充电某时刻极板带电量为q，两个极板间的电势差为Uq，此时如果要充入dq的电量，电源需要做功dA=dqUq=dq■（15）
电容器充电完成后极板带电为Q，两极板之间的电势差为U，在整个充电过程中，电源做功为A=∫dA=■■dq=■ （16）
根据功能原理，电源做的功等于电容器充电后存储的能量We=■=■=■ （17）
根据 C=εrεo■，U=Ed （18）
得到We=■（εrεoE2）Sd （19）
Sd是两极板间存在电场的空间体积，所以，电场能量的密度为
ωe=■（εrεoE2）=■DE（20）
其中D=εrεoE，为电位移矢量。
（二）磁场能量
磁场能量可以通过线圈通电逐步建立磁场过程来分析。如图4所示，将一个自感系数为L的线圈与电源相连，由于自感现象，线圈中的电流是逐渐增加，最后到达一个稳定值的，这个过程也是线圈中磁场逐步建立的过程。
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图4 线圈内通电建立磁场过程
设在充磁过程中，dt时间内通过线圈的电荷为dq，则dt时间内电源ε克服自感电动势εL做功dA为：dA=-εLdq=Idt=LIdI （21）
电流由零变到稳定值I0，整个过程电源做功为A=■LIdI=■LI02 （22）
根据功能原理，电源做的功等于线圈中建立的磁场的能量Wm=A=■LI02 （23）
根据线圈的自感系数及磁场与电流之间的关系L=？滋n2V，B=？滋nlO（24）
得到Wm=■？滋n2V（■）2=■V （25）
所以，磁场的能量密度为
ωm=■=■BH （26）
其中H是磁场强度，H=■ （27）
电场和磁场能量的分析都是通过各场逐渐建立过程做功来分析的，而且最后的公式具有很好的对比记忆性。如公式（23）式和（27）式所示，电场能量密度是二分之一倍的电场强度和电位移矢量的乘积，磁场能量密度是二分之一倍的磁感应强度和磁场强度的乘积。而电位移矢量是在分析电场与电介质作用时引入的一个概念，磁场强度是在分析磁场与磁介质相互作用时引入的概念。对于一个电磁场的初学者，能够这样对比分析，很容易记住这些原理和公式。
五、结束语
本人通过多年湖北省省级精品课程“大学物理”的比较教学实践，发现学生的物理学习成绩大有改观。学生通过比较学习之后，觉得记忆的内容和所花的时间成倍减少。本文仅仅举了一些经典力学和电磁学中的例子，希望以后能够把整个大学物理阶段的比较学习系统地整理出来。
参考文献：
廖耀发.大学物理教程[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
基金资助：湖北省教育厅科研计划项目 （项目编号：B20121403）；湖北省自然科学基金（项目编号：2012FFB00704）；湖北工业大学博士科研启动项目（项目编号：BSQD12079）。
作者简介：
张金业（1981- ）女，安徽淮南人，讲师，博士，主要从事基础物理教学和大气环境物理科学研究。
（责编 赵建荣）