论文部分内容阅读
【摘要】不等式的证明是数学解题中的一种重要思想.本文笔者将就数学解题的角度来谈谈不等式的几种证明方法.
【关键词】数学解题;不等式;证明方法;放缩
一、“添减”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路.
例1 设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1 证明 由题设,得a2+ab+b2=a+b.
于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b.
又 a+b>0,得a+b>1.
又 ab<14(a+b)2,
而(a+b)2=a+b+ab 即34(a+b)2 故有1 二、分式放缩
一个分式,若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小;一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大.利用这些性质,可达到证题目的.
例2 已知a,b,c为三角形的三边,求证:1 证明 由于a,b,c为正数,
∴ab+c>aa+b+c,ba+c>ba+b+c,ca+b>ca+b+c,
∴ab+c+ba+c+ca+b>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=1.
又 a,b,c为三角形的边,故b+c>a.则ab+c为真分数,则
ab+c<2aa+b+c,同理ba+c<2ba+b+c,ca+b<2ca+b+c,
故ab+c+ba+c+ca+b<2aa+b+c+2ba+b+c+2ca+b+c=2.
综合得1 三、裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题.
例3 已知n∈N*,证明:1+12+13+…+1n<2n.
证明 ∵1n=2n+n<2n+n-1
=2(n-n-1),
则1+12+13+…+1n<1+2(2-1)+2(3-2)+…+2(n-n-1)=2n-1<2n.证毕.
四、公式放缩
利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解.
例4 已知函数f(x)=2x-12x+1,证明:对于n∈N*且n≥3都有f(n)>nn+1.
证明 由题意知f(n)-nn+1=2n-12n+1-nn+1=1-22n+1-1-1n+1=1n+1-22n+1=2n-(2n+1)(n+1)(2n+1).
又 ∵n∈N*且n≥3,∴只需证2n>2n+1.
又 ∵2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn
=1+n+n(n-1)2+…+n+1>2n+1,
∴f(n)>nn+1.
五、换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的.
例5 已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c+1c-a>0.
证明 ∵a>b>c,∴可设a=c+t,b=c+u(t>u>0),
∴t-u>0.
则1a-b+1b-c+1c-a=1t-u+1u-1t>1u-1t=t-utu>0,
即1a-b+1b-c+1c-a>0.
六、单调函数放缩
根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解.
例6 已知a,b∈R,求证:|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
证明 构造函数f(x)=x1+x(x≥0),首先判断其单调性,设0≤x1 ∵f(x1)-f(x2)=x11+x1-x21+x2=x1-x2(1+x1)(1+x2)<0,
∴f(x1)
∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.证毕.
七、构造局部不等式
例7 若a,b∈R*,a+b=2,求证:2a+1+2b+1≤23.
分析 由a,b在题目中的对称性可知,只有当a=b=1,即2a+1=3时,等号才能成立,所以可构造局部不等式.
证明 2a+1=33•(2a+1)•3≤33•2a+1+32
=33(a+2).
同理,2b+1≤33(b+2),
∴2a+1+2b+1≤33(a+2)+33(b+2)=23.
【关键词】数学解题;不等式;证明方法;放缩
一、“添减”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的,这是常规思路.
例1 设a,b为不相等的两正数,且a3-b3=a2-b2,求证:1 证明 由题设,得a2+ab+b2=a+b.
于是(a+b)2>a2+ab+b2=a+b.
又 a+b>0,得a+b>1.
又 ab<14(a+b)2,
而(a+b)2=a+b+ab 即34(a+b)2 故有1 二、分式放缩
一个分式,若分子变大则分式值变大,若分母变大则分式值变小;一个真分式,分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大.利用这些性质,可达到证题目的.
例2 已知a,b,c为三角形的三边,求证:1
∴ab+c>aa+b+c,ba+c>ba+b+c,ca+b>ca+b+c,
∴ab+c+ba+c+ca+b>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=1.
又 a,b,c为三角形的边,故b+c>a.则ab+c为真分数,则
ab+c<2aa+b+c,同理ba+c<2ba+b+c,ca+b<2ca+b+c,
故ab+c+ba+c+ca+b<2aa+b+c+2ba+b+c+2ca+b+c=2.
综合得1
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题.
例3 已知n∈N*,证明:1+12+13+…+1n<2n.
证明 ∵1n=2n+n<2n+n-1
=2(n-n-1),
则1+12+13+…+1n<1+2(2-1)+2(3-2)+…+2(n-n-1)=2n-1<2n.证毕.
四、公式放缩
利用已知的公式或恒不等式,把欲证不等式变形后再放缩,可获简解.
例4 已知函数f(x)=2x-12x+1,证明:对于n∈N*且n≥3都有f(n)>nn+1.
证明 由题意知f(n)-nn+1=2n-12n+1-nn+1=1-22n+1-1-1n+1=1n+1-22n+1=2n-(2n+1)(n+1)(2n+1).
又 ∵n∈N*且n≥3,∴只需证2n>2n+1.
又 ∵2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn
=1+n+n(n-1)2+…+n+1>2n+1,
∴f(n)>nn+1.
五、换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元,可显露问题的本质,然后随机进行放缩,可达解题目的.
例5 已知a>b>c,求证:1a-b+1b-c+1c-a>0.
证明 ∵a>b>c,∴可设a=c+t,b=c+u(t>u>0),
∴t-u>0.
则1a-b+1b-c+1c-a=1t-u+1u-1t>1u-1t=t-utu>0,
即1a-b+1b-c+1c-a>0.
六、单调函数放缩
根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解.
例6 已知a,b∈R,求证:|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
证明 构造函数f(x)=x1+x(x≥0),首先判断其单调性,设0≤x1
∴f(x1)
∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.证毕.
七、构造局部不等式
例7 若a,b∈R*,a+b=2,求证:2a+1+2b+1≤23.
分析 由a,b在题目中的对称性可知,只有当a=b=1,即2a+1=3时,等号才能成立,所以可构造局部不等式.
证明 2a+1=33•(2a+1)•3≤33•2a+1+32
=33(a+2).
同理,2b+1≤33(b+2),
∴2a+1+2b+1≤33(a+2)+33(b+2)=23.