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【摘要】不等式的证明是数学解题中的一种重要思想.本文笔者将就数学解题的角度来谈谈不等式的几种证明方法.
【关键词】数学解题；不等式；证明方法；放缩
一、“添减”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路.
例1 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3=a2－b2，求证：1 证明 由题设，得a2+ab+b2=a+b.
于是（a+b）2>a2+ab+b2=a+b.
又 a+b>0，得a+b>1.
又 ab<14（a+b）2，
而（a+b）2=a+b+ab 即34（a+b）2 故有1 二、分式放缩
一个分式，若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大.利用这些性质，可达到证题目的.
例2 已知a，b，c为三角形的三边，求证：1 证明 由于a，b，c为正数，
∴ab+c>aa+b+c，ba+c>ba+b+c，ca+b>ca+b+c，
∴ab+c+ba+c+ca+b>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=1.
又 a，b，c为三角形的边，故b+c>a.则ab+c为真分数，则
ab+c<2aa+b+c，同理ba+c<2ba+b+c，ca+b<2ca+b+c，
故ab+c+ba+c+ca+b<2aa+b+c+2ba+b+c+2ca+b+c=2.
综合得1 三、裂项放缩
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题.
例3 已知n∈N*，证明：1+12+13+…+1n<2n.
证明 ∵1n=2n+n<2n+n-1
=2(n-n-1)，
则1+12+13+…+1n<1+2(2-1)+2(3-2)+…+2(n-n-1)=2n-1<2n.证毕.
四、公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解.
例4 已知函数f(x)=2x-12x+1，证明：对于n∈N*且n≥3都有f(n)>nn+1.
证明 由题意知f(n)-nn+1=2n-12n+1-nn+1=1-22n+1-1-1n+1=1n+1-22n+1=2n-(2n+1)(n+1)(2n+1).
又 ∵n∈N*且n≥3，∴只需证2n>2n+1.
又 ∵2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn
=1+n+n(n-1)2+…+n+1>2n+1，
∴f(n)>nn+1.
五、换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的.
例5 已知a>b>c，求证：1a-b+1b-c+1c-a>0.
证明 ∵a>b>c，∴可设a=c+t，b=c+u(t>u>0)，
∴t-u>0.
则1a-b+1b-c+1c-a=1t-u+1u-1t>1u-1t=t-utu>0，
即1a-b+1b-c+1c-a>0.
六、单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解.
例6 已知a，b∈R，求证：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
证明 构造函数f(x)=x1+x(x≥0)，首先判断其单调性，设0≤x1 ∵f(x1)-f(x2)=x11+x1-x21+x2=x1-x2(1+x1)(1+x2)<0，
∴f(x1)
∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.证毕.
七、构造局部不等式
例7 若a,b∈R*，a+b=2，求证：2a+1+2b+1≤23.
分析 由a，b在题目中的对称性可知，只有当a=b=1，即2a+1=3时，等号才能成立，所以可构造局部不等式.
证明 2a+1=33•(2a+1)•3≤33•2a+1+32
=33(a+2).
同理，2b+1≤33(b+2)，
∴2a+1+2b+1≤33(a+2)+33(b+2)=23.
【关键词】数学解题；不等式；证明方法；放缩
一、“添减”放缩
通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路.
例1 设a，b为不相等的两正数，且a3－b3=a2－b2，求证：1
于是（a+b）2>a2+ab+b2=a+b.
又 a+b>0，得a+b>1.
又 ab<14（a+b）2，
而（a+b）2=a+b+ab
一个分式，若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小；一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大.利用这些性质，可达到证题目的.
例2 已知a，b，c为三角形的三边，求证：1
∴ab+c>aa+b+c，ba+c>ba+b+c，ca+b>ca+b+c，
∴ab+c+ba+c+ca+b>aa+b+c+ba+b+c+ca+b+c=1.
又 a，b，c为三角形的边，故b+c>a.则ab+c为真分数，则
ab+c<2aa+b+c，同理ba+c<2ba+b+c，ca+b<2ca+b+c，
故ab+c+ba+c+ca+b<2aa+b+c+2ba+b+c+2ca+b+c=2.
综合得1
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题.
例3 已知n∈N*，证明：1+12+13+…+1n<2n.
证明 ∵1n=2n+n<2n+n-1
=2(n-n-1)，
则1+12+13+…+1n<1+2(2-1)+2(3-2)+…+2(n-n-1)=2n-1<2n.证毕.
四、公式放缩
利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解.
例4 已知函数f(x)=2x-12x+1，证明：对于n∈N*且n≥3都有f(n)>nn+1.
证明 由题意知f(n)-nn+1=2n-12n+1-nn+1=1-22n+1-1-1n+1=1n+1-22n+1=2n-(2n+1)(n+1)(2n+1).
又 ∵n∈N*且n≥3，∴只需证2n>2n+1.
又 ∵2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cn-1n+Cnn
=1+n+n(n-1)2+…+n+1>2n+1，
∴f(n)>nn+1.
五、换元放缩
对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的.
例5 已知a>b>c，求证：1a-b+1b-c+1c-a>0.
证明 ∵a>b>c，∴可设a=c+t，b=c+u(t>u>0)，
∴t-u>0.
则1a-b+1b-c+1c-a=1t-u+1u-1t>1u-1t=t-utu>0，
即1a-b+1b-c+1c-a>0.
六、单调函数放缩
根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解.
例6 已知a，b∈R，求证：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.
证明 构造函数f(x)=x1+x(x≥0)，首先判断其单调性，设0≤x1
∴f(x1)
∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，
即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.证毕.
七、构造局部不等式
例7 若a,b∈R*，a+b=2，求证：2a+1+2b+1≤23.
分析 由a，b在题目中的对称性可知，只有当a=b=1，即2a+1=3时，等号才能成立，所以可构造局部不等式.
证明 2a+1=33•(2a+1)•3≤33•2a+1+32
=33(a+2).
同理，2b+1≤33(b+2)，
∴2a+1+2b+1≤33(a+2)+33(b+2)=23.