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摘要： 为预测和控制钢筋混凝土框架结构在罕遇地震作用下的非弹性性能，基于功能平衡原理，提出了一种钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法.该方法预先选定目标侧移和屈服机制，根据功能平衡方程即可得到结构的设计基底剪力；采用塑性设计法设计框架构件和节点，以达到预期的屈服机制和性能.采用此方法对一幢8层钢筋混凝土框架结构进行了设计，并采用动力时程分析法验证了该方法的可行性.研究结果表明，采用基于性能的塑性设计方法设计的钢筋混凝土框架结构最终呈现预期的屈服机构，非弹性性能沿结构高度分布均匀合理.
关键词： 基于性能的塑性设计；目标侧移；屈服机制；功能方程
中图分类号： TU391文献标志码： APerformanceBased Plastic Design Method of
Reinforced Concrete FramesXIONG Ergang1，ZHANG Qian2
（1. School of Civil Engineering， Changan University， Xian 710061， China； 2. School of Civil Engineering， Xian Euraisa University， Xian 710065， China）
Abstract：In order to desirably predict and control the inelastic activity of reinforced concrete （RC） frames subjected to severe ground motions， on the basis of energywork balance a performancebased plastic design （PBPD） method for the design of RC frames was presented. In the PBPD method， the design base shear is obtained based on the energywork balance and preselected target drift and yield mechanism. Plastic design was performed to detail the frame members and connections in order to achieve the targeted yield mechanism and behavior. The method was applied to an eightstorey RC frame and validated by inelastic dynamic analyses. The results indicate that the frames develop desired strong column sway mechanisms， and the story drifts are well within the target values to meet the desired performance objectives.
Key words：PBPD （performancebased plastic design）； target drift； yielding mechanism； workenergy equation
众所周知，根据现行规范设计的钢筋混凝土框架结构在大震作用下会经历较大的非弹性变形.现行抗震设计规范通常基于结构弹性性能，间接考虑结构的非弹性性能.即根据规范的弹性反应谱，计算结构在小震作用下的基底剪力和弹性侧移，用计算所得的组合内力设计构件并验算侧移；罕遇地震下的非弹性侧移按弹性侧移乘以侧移增大系数估算，且该侧移不应超过规范规定的侧移限值，而对于结构的延性和耗能能力，大多是通过构造措施获得的.可是，采用上述方法设计的结构（尽管满足所有规范条文）在罕遇地震下会经历较大的非弹性变形，其非弹性性能在一定程度上难以预测和控制[18].非弹性性能包括结构构件和节点的严重屈服和屈曲，而非弹性性能在结构中的不均匀分布会导致不利的结构响应，有时甚至整体倒塌或需要进行大修[910].
近年来，数次强烈地震给人类造成了巨大的生命财产损失.基于强度的抗震设计方法已经不能满足要求，基于性能的抗震设计思想已得到重视.基于性能的结构抗震设计理论（PBSD）以提高结构的抗震性能为目标，要求所设计的结构在未来地震作用下具有可预见的抗震能力，与传统的抗震设计思想相比，它具有多级性、全面性、灵活性的特点，更能被多数业主和结构设计者接受.尽管如此，目前基于性能的抗震设计方法在很大程度上依赖于这样一个反复的迭代过程，即“评估性能”—“修正设计”—“评估性能”，直至所设计的结构达到预期的性能[1112].而且，基于性能的抗震设计方法也没能给结构工程师提供如何修正初始设计以达到预期性能目标的指南.
正是基于此，本文提出了钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法（PBPD）.该方法根据预定的屈服机制和目标侧移，由能量方程求得设计基西南交通大学学报第48卷第4期熊二刚等：钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法底剪力，然后对指定屈服构件（梁）采用塑性方法设计，对指定非屈服构件（柱）采用能力方法设计.基于性能的塑性设计方法可以直接考虑结构的非弹性性能而不需要进行评估和迭代，概念清晰，过程简单，有利于在实际设计过程中推广应用.1基于性能的塑性设计方法（PBPD）基于性能的塑性设计方法采用预选的目标侧移和屈服机制作为性能极限状态，这2个极限状态与结构的损伤程度和损伤分布状况直接相关.根据能量相等原则，即根据结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效弹塑性单自由度体系（EPSDOF）达到相同状态所需要的能量（图1）来计算给定的地震水准下的设计基底剪力.然后，采用塑性设计方法设计框架构件和节点，以达到预期的屈服机制和性能. 1.1设计基底剪力对于给定的地震水准，确定设计基底剪力是PBPD法的重要环节.如前所述，根据使结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效弹塑性单自由度体系（EPSDOF）达到相同状态所需要的能量计
（a） 屈服机构（b） 单自由度体系能量作功平衡概念
图1基于性能的塑性设计概念
Fig.1 PBPD （performancebased plastic design） concept
算设计基底剪力.假定系统为理想的弹塑性体系，则有功能方程：
（Ee+Ep）=γ12mS2v=12γmT2πSag2，（1）
式中：Ee、Ep分别为使结构达到目标侧移所需能量的弹性分量和塑性分量；
Sv为设计拟速度谱；
Sa为拟加速度谱；
T为基本自振周期；
m为体系的总质量；
g为重力加速度；
γ为能量修正系数，其值取决于结构的延性系数μ和延性折减系数Rμ：
γ=2μ-1R2μ .（2）
弹性能量
Ee=12mT2π QyGg2，（3）
式中：G为结构的总重力荷载代表值；
Qy为屈服基底剪力.
塑性能量Ep等于结构中塑性铰耗散的能量，如图1所示.对于选定的屈服机制，
Ep=Qy∑ni=1λihiθp，（4）
式中：λi为楼第i层侧向力分布系数；
hi为第i层计算高度；
θp为塑性侧移角.
根据式（1）、（3）和（4），功能方程可改写为
QyG2+QyGh*8π2θpT2g=γS2a，（5）
其中，h*=∑ni=1λihi.
由式（5）可得设计基底剪力系数
QyG=-α+α2+4γS2a2，（6）
式中：α为无量纲参数，
α=h*8π2θpT2g.（7）
1.2侧向力分布S S Lee等通过对大量框架结构的非线性分析，得出了楼层剪力分布系数βi[1314]，将该系数作为钢筋混凝土框架结构在弹塑性状态下侧向力分布模式.该侧向力分布模式可使RC框架结构在大震作用的楼层剪力更接近实际剪力分布，且能产生更均匀的层间侧移角，见式（8）～（9）：
βi=QsiQsn=∑nj=iGjhjGnhn0.75T-0.2，（8）
Fi=（βi-βi+1）Gnhn∑nj=iGjhj0.75T-0.2Qy，（9）
式中：Qsi和Qsn分别为第i层、顶层剪力；
Gj和Gn分别为第j层、顶层的重力荷载代表值；
hj为第j层的计算高度；
Fi为第i层的侧向力；
βi为第i层的剪力分布系数，βi+1为第i+1层的剪力分布系数，βn+1=0.1.3钢筋混凝土框架构件设计1.3.1梁设计（指定屈服构件）
在罕遇地震作用下，为了避免结构倒塌破坏，最大程度地耗散地震输入能量，使结构有足够的强度和延性，需要在设计初为结构选择一个合理的屈服机构[6].当RC框架采用图2所示的目标屈服机制时，梁就成了指定的屈服构件.每层梁所需要的抗弯承载力可由塑性设计方法确定（外功等于内功）：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+∑ni=12Mpbiφi，（10）
式中：Mpb和Mpbi分别为梁顶层和第i层所需的塑性弯矩；
φi为第i层塑性铰转角，φi=（L/Li′ ）θp，其中L为梁跨度，Li′为塑性铰之间的距离；
Mpc为底层柱底塑性弯矩.
图2RC框架目标屈服机制
Fig.2Target yield mechanism for moment frames
值得注意的是，由于梁发生反对称变形，故由均匀分布的重力荷载所作的外功等于0.
相关研究成果[10]表明，结构强度沿建筑高度的分布服从设计层间剪力分布较为合理.这样会使结构的屈服分布更趋均匀，从而防止屈服集中在某几层.即令
Mpbi=βiMpb.（11）
对于RC框架，由于板和非矩形截面梁的强度贡献，以及梁顶部和底部配置的钢筋数量不同，故梁端正塑性弯矩M+pb和负塑性弯矩M-pb不同.因此，式（10）可修正如下：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+∑ni=1βi（M+pb+M-pb）φi.（12）
令x=M-pb/M+pb，则式（12）可以简化为：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+
∑ni=1（1+x）βiM+pbφi.（13）
选定适当的x后，式（3）仅包含2个未知参数，即M+pb和Mpb.
根据结构底层不能形成薄弱层机构（图3）的条件，确定柱底塑性弯矩Mpc.假定塑性铰出现在底层的柱底和柱顶，对于屈服机构的微小变形，其相应的作功方程[15]为
ΨQ′h1θ=4Mpcθ，（14）
则
Mpc=ΨQ′h1/4，（15）
式中：θ为屈服机构的微小转角；
Q′为基底剪力（对应于等效单跨模型），Q′等于总剪力Q除以跨数；
h1为底层层高；
Ψ为考虑了设计力的超强系数（在后面的设计算例中，取Ψ=1.1）.
将式（15）代入式（12），可以得到第i层梁的需求塑性弯矩M+pb和M-pb，然后根据建筑抗震设计规范进行构件设计.
图3单跨框架（底部形成薄弱层） Fig.3Onebay moment frame with
“softstorey” mechanism
1.3.2柱设计（指定非屈服构件）
指定非屈服构件（如柱）必须能抵抗设计重力荷载和最大指定屈服构件预期强度的组合，同时考虑合理的应变硬化和材料超强.在RC框架结构设计中，可将柱分离成悬臂的隔离体，图4为目标侧移时框架边柱隔离体图.
图4边柱隔离体图
Fig.4Freebody diagram of an exterior column
为保证结构形成预期的强柱弱梁塑性机制，柱的设计必须能够抵抗最大预期荷载（包括梁柱上的重力荷载），同时考虑梁端塑性铰一定范围内的应变硬化和材料超强.应变硬化梁塑性铰的弯矩Mpri，可将需求塑性弯矩Mpbi乘以适当的超强系数ξ得到，超强系数ξ需考虑材料应变硬化效应和材料超强.
假定作用在隔离体上所需的侧向力Fli服从式（9）的分布形式，则其值可通过整个隔离体的平衡条件获得.结合作用在每层梁端的弯矩和侧向力Fli，可计算出每层的柱端弯矩和剪力.
（1） 边柱隔离体
当框架达到目标侧移时，假定各层梁端塑性铰截面处的剪力Qi、Qi′和弯矩Mpri均达到预期强度（图5，lc=（L-L′）/2），Qi和Qi′可由式（16）和（17）给出：
Qi=M+pri+M-priL′+qiL′2，（16）
Qi′=M+pri+M-priL′-qiL′2，（17）
式中，qi为作用在梁上的均布荷载.
图5柱隔离体图
Fig.5Freebody diagram of a column
在RC框架中，作用在边柱隔离体（图5）上的需求平衡侧向力之和Flext可以由式（18）确定；
Flext=∑ni=1M-pri+∑ni=1Qilci+Mpc∑ni=1αihi，（18）
其中，
αi=βi-βi+1∑ni=1（βi-βi+1） .（19）
式（19）中，当i=n时， βn+1=0.
（2） 中柱隔离体
对于中柱隔离体（图5），侧向力之和
Flint=∑ni=1（M+pri+M-pri）∑ni=1αihi+
∑ni=1[Qi+Q′i]lci+2Mpc∑ni=1αihi .（20）2PBPD法的设计步骤PBPD法设计钢筋混凝土框架结构的步骤：
（1） 根据设计地震水准选择与预定性能目标一致的预期屈服机制和目标侧移角θu.假定结构的力位移关系为理想弹塑性，并估算结构的屈服侧移角θy.
（2） 用预选的目标侧移角θu减去屈服侧移角θy，计算出塑性侧移角θp.
（3） 根据质量和刚度特性估算结构的基本自振周期T（也可采用基于规范的经验公式估计结构体系的基本周期），选择适当的侧向力分布形式.
（4） 采用第（1）、（2）步确定的参数，根据设计谱加速度值Sa即可计算出设计基底剪力Q.此时，可采用相应的非弹性地震反应理论，如NewmarkHall提出的理想非弹性反应谱或其他方法.
（5） 如果结构的力变形性能与假定的弹塑性能不同，则需修正Q.
（6） 采用塑性方法对指定屈服构件梁进行截面设计，使结构侧向强度的分布服从设计楼层剪力分布；采用弹性设计方法对指定非屈服构件柱进行截面设计，并考虑指定屈服构件的应变硬化、材料超强.3算例及其分析3.1工程概况某工程主体为8层现浇钢筋混凝土框架结构，平面布置见图6，各层层高均为3.3 m.楼面恒（活）荷载为3.3（2.0）kPa，屋面恒（活）荷载为5.0（2.0）kPa，雪荷载为0.2 kPa.抗震设防烈度为8度（0.20g），Ⅰ类场地，设计地震分组为第2组.混凝土强度等级为C30，受力主筋为HRB400.
图6结构平面图
Fig.6Floor plan of a structure
初步选定的梁、柱（矩形）截面尺寸见表1.
表1梁柱截面尺寸
Tab.1Member sectionsmm
楼层横梁纵梁次梁柱第5～8层300×500300×600300×450550×550第1～4层350×500350×600300×450600×600
3.2钢筋混凝土框架结构设计根据PBPD方法的上述设计步骤，得到RC框架设计参数（表2）.
根据式（8）和（9）计算侧向力分布，然后计算梁、柱需求强度，最后确定梁、柱截面配筋，见表3
表2RC框架设计参数
Tab.2Design parameters for RC frame
地震程度SaT/sθy/%θu/%θp/%μ=θu/θyRμγαQ/GQ/kN中震0.210g0.800.501.000.50220.7501.1280.104650罕遇地震0.420g0.800.502.001.50330.5563.3830.109679
表3RC框架梁、柱需求强度和截面配筋
Tab.3Required strength and reinforcement details of beams and columns of the RC frame
层
序梁需求弯矩M+pb/
（kN·m）M-pb/
（kN·m）梁配筋
面积/mm2AsAs′边柱Mtop/
（kN·m）Mbot/
（kN·m）轴力/ kN剪力/
kN中柱Mtop/
（kN·m）Mbot/
（kN·m）轴力/
kN剪力/
kN柱配筋
面积/mm2边柱中柱862.73-131.73388853195.804.74169.5657.89259.82-21.67210.4985.303 0544 5617100.46-210.966371 450299.73-6.23379.0992.72394.41-56.38418.05136.603 7705 8916129.83-272.658391 984368.99-26.45611.15119.83481.38-101.22625.60176.544 5615 8915152.96-321.221 0052 469411.93-53.94860.96141.17532.33-154.06833.16207.995 8917 3844170.79-358.661 1172 711433.11-87.051 129.83157.63553.32-213.051 046.12232.233 7705 8913183.83-386.031 2123 004435.61-124.261 413.40169.66548.33-276.541 263.77249.963 7705 8912192.38-403.991 2753 211421.75-164.161 703.54177.55520.26-342.981 481.43261.583 0543 7701196.61-412.891 3073 318393.42-205.401 996.92181.46471.36-410.891 699.08—3 0543 054（表中As和As′分别为受拉和受压钢筋的截面面积；Mtop和Mbot分别为柱顶和柱底弯矩）.4验证分析采用非线性分析软件PERFORM3D建立钢筋混凝土框架结构的有限元模型，对该结构进行弹塑性动力时程分析，以验证上述计算结果.时程分析所用地震加速度时程的峰值根据现行规范[4]确定.选用RGB1波、RGB2波、RGB3波、Morgan波、Mexico波、Kobe波、Landers波、Loma波和Northridge波，这9种地震波分别具有不同的频谱特性.
按这9种地震波且地震波峰值调整为8度设防地震和罕遇地震对应的加速度0.2g和0.4g，得到楼层位移角包络图分别见图7和图8.
图7中震作用下RC框架最大层间位移角
Fig.7Maximum interstory drift ratios of
the RC frame under moderate earthquake
图8大震作用下RC框架最大层间位移角
Fig.8Maximum interstory drift ratios of
the RC frame under major earthquake
从图7和图8可见，除Mexico波之外，在其余地震波作用下，最大层间位移角沿楼层均匀分布，在设防地震和罕遇地震作用下，其均值分别介于0.24%～0.31%和0.38%～0.55%之间.表明结构的非弹性性能沿楼层分布较均匀，各楼层可以同时耗散相当的地震能量.而不像传统设计方法那样，仅通过结构的某一层或某几层薄弱层来耗散地震能量.按基于性能的塑性设计方法给出的各层最大层间位移角均小于目标位移角限值，表明结构满足目标性能要求.
大震作用下RC框架塑性铰分布如图9所示.从图9可见，各层梁端均出现塑性铰，满足预先设定的屈服机制.
图9大震作用下RC框架塑性铰分布
Fig.9Plastic hinge distribution of the RC frame
5结论基于功能平衡原理，本文提出了一种钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法，获得以下结论：
（1） 基于性能的塑性设计方法（PBPD）用预定目标侧移和屈服机制作为性能目标，而这2个性能决定着结构的损伤程度和分布.对于给定的地震水准，根据能量平衡原理计算设计基底剪力，即使结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效EPSDOF达到相同状态所需要的能量.
（2） 采用塑性设计方法设计RC框架构件和梁柱节点，以便达到预期的屈服机制和性能.由于该方法在设计过程中引入了结构的非线性性能以及重要的性能准则，故采用PBPD设计的RC框架结构，无需进行繁琐且反复迭代的性能评估.
（3） PBPD不仅能实现多性能水准下RC框架的结构设计，而且能控制RC框架结构在设防地震和罕遇地震作用下的性能.
致谢：西安欧亚学院科研项目（12ZKB05）资助.
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Abstract：In order to desirably predict and control the inelastic activity of reinforced concrete （RC） frames subjected to severe ground motions， on the basis of energywork balance a performancebased plastic design （PBPD） method for the design of RC frames was presented. In the PBPD method， the design base shear is obtained based on the energywork balance and preselected target drift and yield mechanism. Plastic design was performed to detail the frame members and connections in order to achieve the targeted yield mechanism and behavior. The method was applied to an eightstorey RC frame and validated by inelastic dynamic analyses. The results indicate that the frames develop desired strong column sway mechanisms， and the story drifts are well within the target values to meet the desired performance objectives.
Key words：PBPD （performancebased plastic design）； target drift； yielding mechanism； workenergy equation
众所周知，根据现行规范设计的钢筋混凝土框架结构在大震作用下会经历较大的非弹性变形.现行抗震设计规范通常基于结构弹性性能，间接考虑结构的非弹性性能.即根据规范的弹性反应谱，计算结构在小震作用下的基底剪力和弹性侧移，用计算所得的组合内力设计构件并验算侧移；罕遇地震下的非弹性侧移按弹性侧移乘以侧移增大系数估算，且该侧移不应超过规范规定的侧移限值，而对于结构的延性和耗能能力，大多是通过构造措施获得的.可是，采用上述方法设计的结构（尽管满足所有规范条文）在罕遇地震下会经历较大的非弹性变形，其非弹性性能在一定程度上难以预测和控制[18].非弹性性能包括结构构件和节点的严重屈服和屈曲，而非弹性性能在结构中的不均匀分布会导致不利的结构响应，有时甚至整体倒塌或需要进行大修[910].
近年来，数次强烈地震给人类造成了巨大的生命财产损失.基于强度的抗震设计方法已经不能满足要求，基于性能的抗震设计思想已得到重视.基于性能的结构抗震设计理论（PBSD）以提高结构的抗震性能为目标，要求所设计的结构在未来地震作用下具有可预见的抗震能力，与传统的抗震设计思想相比，它具有多级性、全面性、灵活性的特点，更能被多数业主和结构设计者接受.尽管如此，目前基于性能的抗震设计方法在很大程度上依赖于这样一个反复的迭代过程，即“评估性能”—“修正设计”—“评估性能”，直至所设计的结构达到预期的性能[1112].而且，基于性能的抗震设计方法也没能给结构工程师提供如何修正初始设计以达到预期性能目标的指南.
正是基于此，本文提出了钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法（PBPD）.该方法根据预定的屈服机制和目标侧移，由能量方程求得设计基西南交通大学学报第48卷第4期熊二刚等：钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法底剪力，然后对指定屈服构件（梁）采用塑性方法设计，对指定非屈服构件（柱）采用能力方法设计.基于性能的塑性设计方法可以直接考虑结构的非弹性性能而不需要进行评估和迭代，概念清晰，过程简单，有利于在实际设计过程中推广应用.1基于性能的塑性设计方法（PBPD）基于性能的塑性设计方法采用预选的目标侧移和屈服机制作为性能极限状态，这2个极限状态与结构的损伤程度和损伤分布状况直接相关.根据能量相等原则，即根据结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效弹塑性单自由度体系（EPSDOF）达到相同状态所需要的能量（图1）来计算给定的地震水准下的设计基底剪力.然后，采用塑性设计方法设计框架构件和节点，以达到预期的屈服机制和性能. 1.1设计基底剪力对于给定的地震水准，确定设计基底剪力是PBPD法的重要环节.如前所述，根据使结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效弹塑性单自由度体系（EPSDOF）达到相同状态所需要的能量计
（a） 屈服机构（b） 单自由度体系能量作功平衡概念
图1基于性能的塑性设计概念
Fig.1 PBPD （performancebased plastic design） concept
算设计基底剪力.假定系统为理想的弹塑性体系，则有功能方程：
（Ee+Ep）=γ12mS2v=12γmT2πSag2，（1）
式中：Ee、Ep分别为使结构达到目标侧移所需能量的弹性分量和塑性分量；
Sv为设计拟速度谱；
Sa为拟加速度谱；
T为基本自振周期；
m为体系的总质量；
g为重力加速度；
γ为能量修正系数，其值取决于结构的延性系数μ和延性折减系数Rμ：
γ=2μ-1R2μ .（2）
弹性能量
Ee=12mT2π QyGg2，（3）
式中：G为结构的总重力荷载代表值；
Qy为屈服基底剪力.
塑性能量Ep等于结构中塑性铰耗散的能量，如图1所示.对于选定的屈服机制，
Ep=Qy∑ni=1λihiθp，（4）
式中：λi为楼第i层侧向力分布系数；
hi为第i层计算高度；
θp为塑性侧移角.
根据式（1）、（3）和（4），功能方程可改写为
QyG2+QyGh*8π2θpT2g=γS2a，（5）
其中，h*=∑ni=1λihi.
由式（5）可得设计基底剪力系数
QyG=-α+α2+4γS2a2，（6）
式中：α为无量纲参数，
α=h*8π2θpT2g.（7）
1.2侧向力分布S S Lee等通过对大量框架结构的非线性分析，得出了楼层剪力分布系数βi[1314]，将该系数作为钢筋混凝土框架结构在弹塑性状态下侧向力分布模式.该侧向力分布模式可使RC框架结构在大震作用的楼层剪力更接近实际剪力分布，且能产生更均匀的层间侧移角，见式（8）～（9）：
βi=QsiQsn=∑nj=iGjhjGnhn0.75T-0.2，（8）
Fi=（βi-βi+1）Gnhn∑nj=iGjhj0.75T-0.2Qy，（9）
式中：Qsi和Qsn分别为第i层、顶层剪力；
Gj和Gn分别为第j层、顶层的重力荷载代表值；
hj为第j层的计算高度；
Fi为第i层的侧向力；
βi为第i层的剪力分布系数，βi+1为第i+1层的剪力分布系数，βn+1=0.1.3钢筋混凝土框架构件设计1.3.1梁设计（指定屈服构件）
在罕遇地震作用下，为了避免结构倒塌破坏，最大程度地耗散地震输入能量，使结构有足够的强度和延性，需要在设计初为结构选择一个合理的屈服机构[6].当RC框架采用图2所示的目标屈服机制时，梁就成了指定的屈服构件.每层梁所需要的抗弯承载力可由塑性设计方法确定（外功等于内功）：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+∑ni=12Mpbiφi，（10）
式中：Mpb和Mpbi分别为梁顶层和第i层所需的塑性弯矩；
φi为第i层塑性铰转角，φi=（L/Li′ ）θp，其中L为梁跨度，Li′为塑性铰之间的距离；
Mpc为底层柱底塑性弯矩.
图2RC框架目标屈服机制
Fig.2Target yield mechanism for moment frames
值得注意的是，由于梁发生反对称变形，故由均匀分布的重力荷载所作的外功等于0.
相关研究成果[10]表明，结构强度沿建筑高度的分布服从设计层间剪力分布较为合理.这样会使结构的屈服分布更趋均匀，从而防止屈服集中在某几层.即令
Mpbi=βiMpb.（11）
对于RC框架，由于板和非矩形截面梁的强度贡献，以及梁顶部和底部配置的钢筋数量不同，故梁端正塑性弯矩M+pb和负塑性弯矩M-pb不同.因此，式（10）可修正如下：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+∑ni=1βi（M+pb+M-pb）φi.（12）
令x=M-pb/M+pb，则式（12）可以简化为：
∑ni=1Fihiθp=2Mpcθp+
∑ni=1（1+x）βiM+pbφi.（13）
选定适当的x后，式（3）仅包含2个未知参数，即M+pb和Mpb.
根据结构底层不能形成薄弱层机构（图3）的条件，确定柱底塑性弯矩Mpc.假定塑性铰出现在底层的柱底和柱顶，对于屈服机构的微小变形，其相应的作功方程[15]为
ΨQ′h1θ=4Mpcθ，（14）
则
Mpc=ΨQ′h1/4，（15）
式中：θ为屈服机构的微小转角；
Q′为基底剪力（对应于等效单跨模型），Q′等于总剪力Q除以跨数；
h1为底层层高；
Ψ为考虑了设计力的超强系数（在后面的设计算例中，取Ψ=1.1）.
将式（15）代入式（12），可以得到第i层梁的需求塑性弯矩M+pb和M-pb，然后根据建筑抗震设计规范进行构件设计.
图3单跨框架（底部形成薄弱层） Fig.3Onebay moment frame with
“softstorey” mechanism
1.3.2柱设计（指定非屈服构件）
指定非屈服构件（如柱）必须能抵抗设计重力荷载和最大指定屈服构件预期强度的组合，同时考虑合理的应变硬化和材料超强.在RC框架结构设计中，可将柱分离成悬臂的隔离体，图4为目标侧移时框架边柱隔离体图.
图4边柱隔离体图
Fig.4Freebody diagram of an exterior column
为保证结构形成预期的强柱弱梁塑性机制，柱的设计必须能够抵抗最大预期荷载（包括梁柱上的重力荷载），同时考虑梁端塑性铰一定范围内的应变硬化和材料超强.应变硬化梁塑性铰的弯矩Mpri，可将需求塑性弯矩Mpbi乘以适当的超强系数ξ得到，超强系数ξ需考虑材料应变硬化效应和材料超强.
假定作用在隔离体上所需的侧向力Fli服从式（9）的分布形式，则其值可通过整个隔离体的平衡条件获得.结合作用在每层梁端的弯矩和侧向力Fli，可计算出每层的柱端弯矩和剪力.
（1） 边柱隔离体
当框架达到目标侧移时，假定各层梁端塑性铰截面处的剪力Qi、Qi′和弯矩Mpri均达到预期强度（图5，lc=（L-L′）/2），Qi和Qi′可由式（16）和（17）给出：
Qi=M+pri+M-priL′+qiL′2，（16）
Qi′=M+pri+M-priL′-qiL′2，（17）
式中，qi为作用在梁上的均布荷载.
图5柱隔离体图
Fig.5Freebody diagram of a column
在RC框架中，作用在边柱隔离体（图5）上的需求平衡侧向力之和Flext可以由式（18）确定；
Flext=∑ni=1M-pri+∑ni=1Qilci+Mpc∑ni=1αihi，（18）
其中，
αi=βi-βi+1∑ni=1（βi-βi+1） .（19）
式（19）中，当i=n时， βn+1=0.
（2） 中柱隔离体
对于中柱隔离体（图5），侧向力之和
Flint=∑ni=1（M+pri+M-pri）∑ni=1αihi+
∑ni=1[Qi+Q′i]lci+2Mpc∑ni=1αihi .（20）2PBPD法的设计步骤PBPD法设计钢筋混凝土框架结构的步骤：
（1） 根据设计地震水准选择与预定性能目标一致的预期屈服机制和目标侧移角θu.假定结构的力位移关系为理想弹塑性，并估算结构的屈服侧移角θy.
（2） 用预选的目标侧移角θu减去屈服侧移角θy，计算出塑性侧移角θp.
（3） 根据质量和刚度特性估算结构的基本自振周期T（也可采用基于规范的经验公式估计结构体系的基本周期），选择适当的侧向力分布形式.
（4） 采用第（1）、（2）步确定的参数，根据设计谱加速度值Sa即可计算出设计基底剪力Q.此时，可采用相应的非弹性地震反应理论，如NewmarkHall提出的理想非弹性反应谱或其他方法.
（5） 如果结构的力变形性能与假定的弹塑性能不同，则需修正Q.
（6） 采用塑性方法对指定屈服构件梁进行截面设计，使结构侧向强度的分布服从设计楼层剪力分布；采用弹性设计方法对指定非屈服构件柱进行截面设计，并考虑指定屈服构件的应变硬化、材料超强.3算例及其分析3.1工程概况某工程主体为8层现浇钢筋混凝土框架结构，平面布置见图6，各层层高均为3.3 m.楼面恒（活）荷载为3.3（2.0）kPa，屋面恒（活）荷载为5.0（2.0）kPa，雪荷载为0.2 kPa.抗震设防烈度为8度（0.20g），Ⅰ类场地，设计地震分组为第2组.混凝土强度等级为C30，受力主筋为HRB400.
图6结构平面图
Fig.6Floor plan of a structure
初步选定的梁、柱（矩形）截面尺寸见表1.
表1梁柱截面尺寸
Tab.1Member sectionsmm
楼层横梁纵梁次梁柱第5～8层300×500300×600300×450550×550第1～4层350×500350×600300×450600×600
3.2钢筋混凝土框架结构设计根据PBPD方法的上述设计步骤，得到RC框架设计参数（表2）.
根据式（8）和（9）计算侧向力分布，然后计算梁、柱需求强度，最后确定梁、柱截面配筋，见表3
表2RC框架设计参数
Tab.2Design parameters for RC frame
地震程度SaT/sθy/%θu/%θp/%μ=θu/θyRμγαQ/GQ/kN中震0.210g0.800.501.000.50220.7501.1280.104650罕遇地震0.420g0.800.502.001.50330.5563.3830.109679
表3RC框架梁、柱需求强度和截面配筋
Tab.3Required strength and reinforcement details of beams and columns of the RC frame
层
序梁需求弯矩M+pb/
（kN·m）M-pb/
（kN·m）梁配筋
面积/mm2AsAs′边柱Mtop/
（kN·m）Mbot/
（kN·m）轴力/ kN剪力/
kN中柱Mtop/
（kN·m）Mbot/
（kN·m）轴力/
kN剪力/
kN柱配筋
面积/mm2边柱中柱862.73-131.73388853195.804.74169.5657.89259.82-21.67210.4985.303 0544 5617100.46-210.966371 450299.73-6.23379.0992.72394.41-56.38418.05136.603 7705 8916129.83-272.658391 984368.99-26.45611.15119.83481.38-101.22625.60176.544 5615 8915152.96-321.221 0052 469411.93-53.94860.96141.17532.33-154.06833.16207.995 8917 3844170.79-358.661 1172 711433.11-87.051 129.83157.63553.32-213.051 046.12232.233 7705 8913183.83-386.031 2123 004435.61-124.261 413.40169.66548.33-276.541 263.77249.963 7705 8912192.38-403.991 2753 211421.75-164.161 703.54177.55520.26-342.981 481.43261.583 0543 7701196.61-412.891 3073 318393.42-205.401 996.92181.46471.36-410.891 699.08—3 0543 054（表中As和As′分别为受拉和受压钢筋的截面面积；Mtop和Mbot分别为柱顶和柱底弯矩）.4验证分析采用非线性分析软件PERFORM3D建立钢筋混凝土框架结构的有限元模型，对该结构进行弹塑性动力时程分析，以验证上述计算结果.时程分析所用地震加速度时程的峰值根据现行规范[4]确定.选用RGB1波、RGB2波、RGB3波、Morgan波、Mexico波、Kobe波、Landers波、Loma波和Northridge波，这9种地震波分别具有不同的频谱特性.
按这9种地震波且地震波峰值调整为8度设防地震和罕遇地震对应的加速度0.2g和0.4g，得到楼层位移角包络图分别见图7和图8.
图7中震作用下RC框架最大层间位移角
Fig.7Maximum interstory drift ratios of
the RC frame under moderate earthquake
图8大震作用下RC框架最大层间位移角
Fig.8Maximum interstory drift ratios of
the RC frame under major earthquake
从图7和图8可见，除Mexico波之外，在其余地震波作用下，最大层间位移角沿楼层均匀分布，在设防地震和罕遇地震作用下，其均值分别介于0.24%～0.31%和0.38%～0.55%之间.表明结构的非弹性性能沿楼层分布较均匀，各楼层可以同时耗散相当的地震能量.而不像传统设计方法那样，仅通过结构的某一层或某几层薄弱层来耗散地震能量.按基于性能的塑性设计方法给出的各层最大层间位移角均小于目标位移角限值，表明结构满足目标性能要求.
大震作用下RC框架塑性铰分布如图9所示.从图9可见，各层梁端均出现塑性铰，满足预先设定的屈服机制.
图9大震作用下RC框架塑性铰分布
Fig.9Plastic hinge distribution of the RC frame
5结论基于功能平衡原理，本文提出了一种钢筋混凝土框架结构基于性能的塑性设计方法，获得以下结论：
（1） 基于性能的塑性设计方法（PBPD）用预定目标侧移和屈服机制作为性能目标，而这2个性能决定着结构的损伤程度和分布.对于给定的地震水准，根据能量平衡原理计算设计基底剪力，即使结构单调达到目标侧移所需作的功等于等效EPSDOF达到相同状态所需要的能量.
（2） 采用塑性设计方法设计RC框架构件和梁柱节点，以便达到预期的屈服机制和性能.由于该方法在设计过程中引入了结构的非线性性能以及重要的性能准则，故采用PBPD设计的RC框架结构，无需进行繁琐且反复迭代的性能评估.
（3） PBPD不仅能实现多性能水准下RC框架的结构设计，而且能控制RC框架结构在设防地震和罕遇地震作用下的性能.
致谢：西安欧亚学院科研项目（12ZKB05）资助.
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