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数学概念是客观世界的空间形式和数量关系及其本质属性在人们思维中的反映，是构成数学知识体系的细胞，是数学学科的精髓和灵魂，是建立数学性质、法则、公式、定理的基础，也是学生进行计算、判断、证明等的依据和培养学生良好能力的素材。
但是，在实际教学中，我们往往发现，只要学过，学生极少算错3×3=9，但将32算成6的却绝不是个例，甚至还有32=5的，因为他不明白32表达什么意思；又如学生都会算40 50=90，但如果换成“已知α、β互为余角，α=40°，求β”，有些学生就做不下去了，因为他不明白什么是“互余”。诸如此类的问题，都是学生概念不清的具体表现。概念不清的学生，不但逻辑思维能力差，而且在计算、推理、证明过程中也会遇到难以克服的困难。可是，教学中有的老师往往把重点放在解题能力的培养上而忽视了数学概念的学习，从而导致学生对概念的理解不深不透，甚至停留在机械背诵层面；有的学生也不重视概念的学习，认为学数学就是学解题，把学解题的重要前提——“熟悉、理解数学概念”忽视了，结果学解题也学不了，学习效率低下，影响进一步学习数学的兴趣和信心，最终形成怕数学、厌学习的心理。
要帮助学生准确理解概念，解决学生概念不清的毛病，首先要重视概念的引入，注意密切联系生产、生活实际和学生的年龄特点、接受能力，让学生从学习数学的源头——“数学概念”开始，对数学就产生兴趣，乐学数学，爱学数学。在教学中，笔者是这样导入数学概念的：
一、定义型概念的引入
定义型的概念，在教材中它有确切的含义限制着它的外延与内涵。比如锐角三角函数中“角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦”“一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式”等这些概念，是人们约定成俗的规定，是公认的，就不要去解释为什么这样规定，这种概念在初中数学中比较多，应单刀直入式地导入。
二、叙述型概念的导入
叙述型的概念，也称描述型概念，在教材中没有严格的定义，只用语言描述了其基本特征，比如“直线”是这样定义的：“在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而实际上的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。”又如“射线”，是这样定义的：“直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。”这类概念，宜在唤起学生的充分想象的同时用简洁准确的语言导入，必要时还应用辅助物加以演示，如用手电筒发出的光表示“射线”。
三、形成型概念的导入
形成型概念，是指概念在产生的过程中或存在某种逻辑推理过程，或存在实例加以印证。因为许多数学概念源于生活实际，有些数学概念就是由生产、生活中的实际问题中抽象出来的，有些则是由数学自身的发展与需要而产生的，这类概念可以通过创设数学概念形成的问题情境，采用演示、计算、猜想、归纳等方法导入。
（1）创设情境导入。是指教师在课堂教学中，注意运用实例、实物或模型进行介绍，激发学生的求知欲，为学生积极创设乐学情境。这些实际事物，往往可以就地取材，如“圆”的定义，就可以让学生思考如何用一根绳子画圆，在体验画圆的过程中形成圆的定义：“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个顶点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭图形叫做圆。”或者“平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。”又如学习“平面直角坐标系”，就以在剧院找座位或在教室用第几行、第几列来确定同学位置的方法进行导入。再如可利用铁轨、窗枝、电线等有平行特征的实物导入“平行线”的概念。创设情境导入数学概念，学生参与度高，学习兴趣浓厚，效果好。
（2）演算推理导入。当通过计算、推理能够很好地揭示数与形的某些内在矛盾或本质属性时，计算推导是一个很好的导入方法。如“一元二次方程根与系数的关系”“平方差公式”“勾股定理”等的导入。
（3）由旧引新导入。有些概念与学生原有的概念联系得很紧密，可以从学生已有的知识基础上加以引申，导出新概念。如从“分数的性质”引申出“分式的性质”，由四边形引出平行四边形再到特殊的平行四边形等，就是原有概念与新概念联系十分紧密，只需抓住它们的本质特征作出简要说明，就可以让学生建立起新的概念。
从上述分析可知，不同的概念有不同的导入方法，方法适当，效率才高，效果才有保证。如果我们不注意区别概念的类型，或照本宣科地导入，或片面强调理论联系实际，处处从实际导入，教学上就要犯教条主义、形式主义的错误，不但延误教学时间，而且课堂枯燥，学生学得乏味，削弱教学效果。
那么，概念的导入除了要注意区别不同的概念类型采用不同的导入方法外，还要注意什么呢？
（1）注意让学生体验概念的形成过程，改变传统教学中只注重结论及结论的运用的教学方法。
（2）注意概念中的“关键词语”，在学概念时要讲清、讲透，使学生理解透彻，真正弄懂。如二元一次方程定义中“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程。”对这个定义，除了要讲清“元”与“次”的含义外，还要重点强调“项”与“整式方程”，否则学生往往把“xy=10” “x 1”或“y=2”也认为是二元一次方程。又如“一元二次方程”的定义：“只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2 bx c=0（a≠0）。”除了要讲清“元”与“次”“整式方程”的含义外，还要特别强调“a≠0”这个条件，否则学生在解答“m取何值时，关于x的一元二次方程（m-1）x2 7x m2-1=0有一根为0”这个问题时，学生就会求出m=1或m=-1，而实际上m=1时方程不再是一元二次方程。
（3）注意概念的文字语言表达与数学符号语言表达的互相转化，进一步理解概念所表达的含义。如“a平行于b”，可写成“a//b”，又如“相似三角形的对应边成比例”可写成“若△ABC∽△DEF，则AB/DE=AC/DF=BC/EF。”
（4）注意概念的准确识记，通过识记来加深理解。教学中在理解的基础上教师可通过这些方法指导学生识记：①反复阅读、背诵，达到熟记程度，随时可脱口而出；②编顺口溜识记；③数形结合识记。
（5）注意引导学生形成概念体系，将所获得的每一新概念及时纳入相应的概念系统。数学是一门结构性很强的学科，任何一个数学概念都存在于一定的系统之中，将新概念置于系统中，新旧概念才会融会贯通，才理解此概念与彼概念的联系与区别。
（6）注意发挥学生的主体作用，调动学生积极参与，动手、动口、动脑，大胆猜想，交流合作，勇于创新。
（7）注意体现教师的主导作用，如选择实例要具有代表性，引进概念要突出必要性，概括特点要重视准确性，区别概念要注意系统性，运用概念要具有针对性，巩固概念要做好及时性等。
俗话说“万丈高楼平地起”，只要我们从概念的导入就开始有意识地做好学生的入门工作，充分调动他们的学习积极性，激发他们的求知欲望，夯实基础，定能助学生筑起学习上的“万丈高楼”。
（作者单位：广西壮族自治区贺州市平桂管理区沙田镇芳林学校）
但是，在实际教学中，我们往往发现，只要学过，学生极少算错3×3=9，但将32算成6的却绝不是个例，甚至还有32=5的，因为他不明白32表达什么意思；又如学生都会算40 50=90，但如果换成“已知α、β互为余角，α=40°，求β”，有些学生就做不下去了，因为他不明白什么是“互余”。诸如此类的问题，都是学生概念不清的具体表现。概念不清的学生，不但逻辑思维能力差，而且在计算、推理、证明过程中也会遇到难以克服的困难。可是，教学中有的老师往往把重点放在解题能力的培养上而忽视了数学概念的学习，从而导致学生对概念的理解不深不透，甚至停留在机械背诵层面；有的学生也不重视概念的学习，认为学数学就是学解题，把学解题的重要前提——“熟悉、理解数学概念”忽视了，结果学解题也学不了，学习效率低下，影响进一步学习数学的兴趣和信心，最终形成怕数学、厌学习的心理。
要帮助学生准确理解概念，解决学生概念不清的毛病，首先要重视概念的引入，注意密切联系生产、生活实际和学生的年龄特点、接受能力，让学生从学习数学的源头——“数学概念”开始，对数学就产生兴趣，乐学数学，爱学数学。在教学中，笔者是这样导入数学概念的：
一、定义型概念的引入
定义型的概念，在教材中它有确切的含义限制着它的外延与内涵。比如锐角三角函数中“角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦”“一般地，形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式”等这些概念，是人们约定成俗的规定，是公认的，就不要去解释为什么这样规定，这种概念在初中数学中比较多，应单刀直入式地导入。
二、叙述型概念的导入
叙述型的概念，也称描述型概念，在教材中没有严格的定义，只用语言描述了其基本特征，比如“直线”是这样定义的：“在日常生活当中，一根拉紧的绳子、一根竹竿、人行横道线、都给人以直线的形象，而实际上的直线是两端都没有端点、可以向两端无限延伸、不可测量长度的。”又如“射线”，是这样定义的：“直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线。”这类概念，宜在唤起学生的充分想象的同时用简洁准确的语言导入，必要时还应用辅助物加以演示，如用手电筒发出的光表示“射线”。
三、形成型概念的导入
形成型概念，是指概念在产生的过程中或存在某种逻辑推理过程，或存在实例加以印证。因为许多数学概念源于生活实际，有些数学概念就是由生产、生活中的实际问题中抽象出来的，有些则是由数学自身的发展与需要而产生的，这类概念可以通过创设数学概念形成的问题情境，采用演示、计算、猜想、归纳等方法导入。
（1）创设情境导入。是指教师在课堂教学中，注意运用实例、实物或模型进行介绍，激发学生的求知欲，为学生积极创设乐学情境。这些实际事物，往往可以就地取材，如“圆”的定义，就可以让学生思考如何用一根绳子画圆，在体验画圆的过程中形成圆的定义：“在一个平面内，线段OA绕它固定的一个顶点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的封闭图形叫做圆。”或者“平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。”又如学习“平面直角坐标系”，就以在剧院找座位或在教室用第几行、第几列来确定同学位置的方法进行导入。再如可利用铁轨、窗枝、电线等有平行特征的实物导入“平行线”的概念。创设情境导入数学概念，学生参与度高，学习兴趣浓厚，效果好。
（2）演算推理导入。当通过计算、推理能够很好地揭示数与形的某些内在矛盾或本质属性时，计算推导是一个很好的导入方法。如“一元二次方程根与系数的关系”“平方差公式”“勾股定理”等的导入。
（3）由旧引新导入。有些概念与学生原有的概念联系得很紧密，可以从学生已有的知识基础上加以引申，导出新概念。如从“分数的性质”引申出“分式的性质”，由四边形引出平行四边形再到特殊的平行四边形等，就是原有概念与新概念联系十分紧密，只需抓住它们的本质特征作出简要说明，就可以让学生建立起新的概念。
从上述分析可知，不同的概念有不同的导入方法，方法适当，效率才高，效果才有保证。如果我们不注意区别概念的类型，或照本宣科地导入，或片面强调理论联系实际，处处从实际导入，教学上就要犯教条主义、形式主义的错误，不但延误教学时间，而且课堂枯燥，学生学得乏味，削弱教学效果。
那么，概念的导入除了要注意区别不同的概念类型采用不同的导入方法外，还要注意什么呢？
（1）注意让学生体验概念的形成过程，改变传统教学中只注重结论及结论的运用的教学方法。
（2）注意概念中的“关键词语”，在学概念时要讲清、讲透，使学生理解透彻，真正弄懂。如二元一次方程定义中“如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数是1，那么这个整式方程就叫做二元一次方程。”对这个定义，除了要讲清“元”与“次”的含义外，还要重点强调“项”与“整式方程”，否则学生往往把“xy=10” “x 1”或“y=2”也认为是二元一次方程。又如“一元二次方程”的定义：“只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2 bx c=0（a≠0）。”除了要讲清“元”与“次”“整式方程”的含义外，还要特别强调“a≠0”这个条件，否则学生在解答“m取何值时，关于x的一元二次方程（m-1）x2 7x m2-1=0有一根为0”这个问题时，学生就会求出m=1或m=-1，而实际上m=1时方程不再是一元二次方程。
（3）注意概念的文字语言表达与数学符号语言表达的互相转化，进一步理解概念所表达的含义。如“a平行于b”，可写成“a//b”，又如“相似三角形的对应边成比例”可写成“若△ABC∽△DEF，则AB/DE=AC/DF=BC/EF。”
（4）注意概念的准确识记，通过识记来加深理解。教学中在理解的基础上教师可通过这些方法指导学生识记：①反复阅读、背诵，达到熟记程度，随时可脱口而出；②编顺口溜识记；③数形结合识记。
（5）注意引导学生形成概念体系，将所获得的每一新概念及时纳入相应的概念系统。数学是一门结构性很强的学科，任何一个数学概念都存在于一定的系统之中，将新概念置于系统中，新旧概念才会融会贯通，才理解此概念与彼概念的联系与区别。
（6）注意发挥学生的主体作用，调动学生积极参与，动手、动口、动脑，大胆猜想，交流合作，勇于创新。
（7）注意体现教师的主导作用，如选择实例要具有代表性，引进概念要突出必要性，概括特点要重视准确性，区别概念要注意系统性，运用概念要具有针对性，巩固概念要做好及时性等。
俗话说“万丈高楼平地起”，只要我们从概念的导入就开始有意识地做好学生的入门工作，充分调动他们的学习积极性，激发他们的求知欲望，夯实基础，定能助学生筑起学习上的“万丈高楼”。
（作者单位：广西壮族自治区贺州市平桂管理区沙田镇芳林学校）