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本文将陈省身和Yau的定理推广到完备子流形的情形和Mn是全脐子流形的情形,得到如下定理。定理1 设Mn(n≥2,是Sn+p （1） （P>（（n-1）（n-2））/2）中完备的极小子流形,如果supS≤n/（2-（2/（（n-1）（n-2））））则Mn是全测地的或supS=n/（2-（2/（（n-1）（n-2）））） 定理2 设Mn（n≥2）是Sn+p （1） (P>（（（n-1）（n-2））/2）中具有平行平均曲率向量的紧致子流形,如果Mn的截面曲率为正且S<（（（（1+H2）n）/2