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本文将陈省身和Yau的定理推广到完备子流形的情形和Mn是全脐子流形的情形,得到如下定理。定理1 设Mn(n≥2,是Sn+p (1) (P>((n-1)(n-2))/2)中完备的极小子流形,如果supS≤n/(2-(2/((n-1)(n-2))))则Mn是全测地的或supS=n/(2-(2/((n-1)(n-2)))) 定理2 设Mn(n≥2)是Sn+p (1) (P>(((n-1)(n-2))/2)中具有平行平均曲率向量的紧致子流形,如果Mn的截面曲率为正且S<((((1+H2)n)/2