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【摘 要】 测量类“数学活动”是以真实的问题情境为载体，引导学生发现和提出问题，综合运用测量的知识与技能，灵活选择或制作测量工具，拟定测量方案来分析问题和解决实际问题的应用活动.文章以“测量树高和塔高”为例，叙述测量类“数学活动”的教学结构，让学生经历观察与估测测量对象、制作或选择测量工具、构建测量模型与拟定测量方案、实际测量并完成测量报告、交流测量报告等教学过程，促进学生的动手操作能力、估测能力、问题解决能力以及STEM素养的整体提升，彰显测量类“数学活动”的育人价值.
【关键词】 测量类;“数学活动”;教学实践;育人价值
“数学活动”是一个镶嵌在数学课程内的相对独立版块，主要是引导学生对蕴含数学模型的实际情境或数学内部的某个课题进行探究的学习活动.“数学活动”按照活动内容的特征可以将其分为设计、测量、调查和实验等四类.其中，测量类“数学活动”是以真实的问题情境为载体，引导学生发现和提出问题，综合运用测量的知识与技能，灵活选择或制作测量工具，拟定测量方案来分析问题和解决实际问题的应用活动.这种实践和思维活动促进学生的动手操作能力、估测能力、问题解决能力以及STEM素养的整体提升，彰显数学活动的育人价值.本文以人教版教材“数学活动——测量树高和塔高”[1]为例，简要叙述测量类“数学活动”育人的教学实践.
1 测量类“数学活动”的教学结构
课堂教学结构是教学过程中教师、学生、时间等各教学要素在时空内的有序组合[2]. 测量类“数学活动”的教学思路一般是课前先让学生观察实物，或通过图片或视频的形式让学生了解测量对象，建立一定的空间观念，课上引导学生归纳出测量对象的测量原理和具体的测量模型，分析测量模型中需要测量哪些数据，由此选择需要的测量工具，分成小组进行实际测量，收集数据，完成相关的计算，小组讨论完成本组的测量报告，最后回到教室汇报交流测量报告，进一步完善测量结果，据此归纳出测量类“数学活动”的教学结构图，如图1.
教学组织的一般形式，如图2.
2 测量类“数学活动”的教学实践
“测量树高和塔高”是在学生能够综合运用直角三角形边角关系等知识解决实际问题的基础上展开的，要求学生经历活动方案的设计、仪器的自制及其使用、解决测量问题的过程，提升“做”“用”数学的实践能力，以及发现和提出问题的能力，从而增强数学应用意識、合作意识和科学精神，主要活动过程如下.
2.1 观察测量对象，估测对象高度
情境引入 图3中的工作者使用的仪器你了解吗？他在观测什么？如图4、图5，请估测一下学校旁的大树、电视塔的高度？（如果想得到准确的高度，就需要测量，板书课题）
教学分析 建议课前安排学生实际考察测量的对象，对测量对象及周围环境先有直观认识，形成一定的空间观念.课堂上利用学生对水准仪的好奇心理，引入课题，再根据学生以往的测量活动经验，先估计所测物体的高度，与活动后的实测高度作对比，从而激发学生为提高估测精确度而开展测量活动的必要性，为实际测量奠定基础.
2.2 制作或选择测量工具，构建测量模型，拟定测量方案
活动一 制作测角仪，测量树的高度
问题1 如何制作一个简易的测角仪呢？
师生活动：阅读人教版教材九下第81页“活动一”，以学生常用的半圆形量角器为主要器材，制作一个简易的测角仪，即用一根铁钉穿过量角器的圆心处，然后固定在一个跳高支架上，铁钉上系上一根细线，细线的另一端系一个小重物即可，如图6.
问题2 如何使用测角仪呢？如何减少测量的误差？
师生活动 如图7，将测角仪拿到眼前，使视线FC沿着量角器的直径刚好到达树的最高点A，量得铅垂线与视线FC的夹角为∠FCD，则其余角∠ACE为测角仪所处的仰角.物理学中的“误差不可避免性”告诉我们，减少误差的方法有两种，一是以小组为单位多次测量取其平均值，二是测角仪要尽力精准，因此，如有条件应尽力选择使用工程上的水准仪（如图3），以确保测量的准确性.
问题3 如何测量树高呢？需要测量哪些数据？
师生活动：通过交流，在水平线BD上，将测角仪置于大树前面的CD位置，测量树顶与水平线的仰角∠ACE的度数，测得测角仪到树的底部距离BD，过点C作CE∥BD交AB于点E，具体模型如图7，则可以通过锐角三角函数计算出树高.
教学分析 通过简易测角仪的制作，让学生了解测量角度大小的原理，帮助学生理解水准仪的制作原理与使用方法，为获取精准数据做好多方面准备.
活动二 利用测角仪测量塔高
问题4 测量树高与测量塔高有何不同？如何测量塔高呢？需要测量哪些数据？
师生活动 测量树高时，树的底部可以到达，因此，可以直接测量测角仪到树的底部的距离，而测量塔高时，塔的底部不可以到达，如图8，因此，就不能直接测量测角仪到塔的底部的距离，因而，需要测量角α、β和线段EG的相关数据.
教学分析 拟定测量方案时，由于学生已能熟练运用锐角三角函数的知识解决实际问题，因此，学生对测量塔高的方案不再是活动难点，其方案设计的来龙去脉及其解题过程也就不是本次活动的重点，因而不必在课堂上展开，应把活动的重点放到引导学生根据现场已有的测量工具和可测量数据确定测量方案方面，当然，这些环节可以由教师完成，但学生的考察和思考的过程是积累活动经验的宝贵资源，良好的契机不应该错失.同时，学生可以通过自我回顾或文献检索收集测量高度的数学模型，结构化测量活动的知识和方法，提高学生的自学能力，也节约了上课构建测量模型的时间，保证学生有充分的时间开展实践活动.
2.3 实际测量并完成测量报告
把学生分成4个合作小组，到室外活动，测量相关数据并记录.
师生活动 实际测量过程中，师生共同设计测量报告表，选择测量的工具，厘清测量的步骤，以确保测量井然有序.测量中按活动任务分成几个小组，明确每名学生在小组中的职责，然后进行测算、绘图、计算等活动，并交流讨论其合理性，教师要注意适时调控与指导，引导和补充，调整与再设计.活动中应注重引导学生尽可能减少测量误差，测量结束后小组协同完成测量报告. 教学分析 学生在教师指导下进行实际测量，由于学生课外活动的次数比较少，可能会很兴奋，可能还有学生游离于自己的小组或不专注于自己的任务，教师要加强巡视，帮助每个小组解决测量过程中遇到的问题，特别要关注误差较大的测量结果的原因分析和修正方法，督促每个小组高质量完成测量和计算任务.由于数学活动需要对学生的态度、测量的效果和测量过程中学生的关键能力的表现性水平进行评价，教师要做好观察和记录.完成任务回到班级填写测量报告表.
2.4 交流测量报告
学生到教室集中，交流相关数据与活动收获，完成相关数据的计算.
问题4 如何计算出树高与塔高？如何降低与你最初估测的误差？
教学分析 交流测量报告时，每个小组展示测量结果，教师主要引导学生分析为什么会产生误差，为什么有的方法误差大？有的方法误差小？原因是什么？每种方法怎样尽可能减小误差？测量报告怎样修改才规范等.最终学生理解本次测量活动的最好方法.让学生充分发表意见，主要是进行误差原因分析，以便确定测量对象的最优的测量方法，这是一个不断完善和优化的过程.
问题5 测量时，测角仪与塔的底部在同一水平线吗？
师生活动：前面的测量活动是建立在测角仪与塔的底部在同一水平线的基础上.测量时学生质疑，如图9，如果测角仪与塔的底部不在同一水平上，即B、D、E不在同一直线上，图9怎么办？通过交流可得，可以运用上述方法测得AC的高度，再进行二次测量，测得山的高度BC，两个高度相减即为塔的高度.
教学分析 引领学生回顾活动后的收获与疑惑，借助前面的活动经验，运用二次测量法解释测角仪与塔的底部不共线的困惑，使得学生在亲身体验的基础上，在相互借鉴和思维矫正的过程中，学生的知识理解和应用、学生思维的品质都得以提升，体验了成功的喜悦，也增强了学生学习的信心与毅力，养成反思、严谨、求真的良好习惯.
3 测量类“数学活动”的育人价值
3.1 营造合作氛围，磨练意志品质，提高动手操作能力
本活动教师引导学生利用身边现有的半圆形量角器、细线、小挂件、跳高架等制作简易测角仪，然后借助这些工具测量树高和塔高，使学生认识到今天的数学活动不只是解題，还可以帮助我们解决一些生活中的实际问题，体验数学好玩更有用，享受成功喜悦，增强学生参与数学活动的信心.测量活动需要同伴互助，合作交流，一次又一次地反复测量，锻炼了学生的耐心与细心，增强了合作意识，提高了学生的表达能力以及动手操作能力，端正了学生对科学的严谨态度.
3.2 感悟数量关系，力求培养数感，提高学生估测能力
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.本活动在测量树高和塔高的活动中，通过让学生选择或制作测角仪，在校园内开展测量活动，活动中，一方面可以让学生对长度单位、角单位的大小与精确度的关系有进一步的认识，另一方面培养学生灵活选择恰当长度单位的应用意识.面对测量对象，让学生先估测的树高与塔高，最后与活动实测数据进行比较，分析差距，排查原因，寻求对策，使学生养成估算习惯，逐步发展学生的数感，从而提高学生的估测能力.
3.3 培养问题意识，养成质疑习惯，提升问题解决能力
问题是数学的心脏.数学活动过程既是动手操作、合作交流的过程，也是一个不断地生疑、质疑、释疑的思维过程.活动初始，用多媒体呈现工作者使用测角仪的画面，激发学生运用测角仪测量树高和塔高的欲望，引发学生对测角仪的好奇，测角仪有何用处？怎么使用？工作原理又是什么？在这样的问题驱动下，引领学生一步一步走向测量，当塔高的测量报告形成后，面对测角仪与塔的底部不在同一平面上的疑惑，教者引导学生进行二次测量，及时解决了这种理想与现实的矛盾，让学生在动一动、量一量、想一想、说一说中，寻求解决问题的对策，逐步提升学生问题解决的能力.
3.4 强化应用意识，融合多元因素，提升学生STEM素养
“数学活动”是一种体验式的学习[3]，强调数学的实际应用，是对常规数学教学的补充.测量高度方法丰富多彩，融合多种学科知识.而STEM教育是科学、技术、工程、数学等学科知识的深度融合，侧重于跨学科整合与运用[4]. 因此，当活动中出现前后测量值不一致时，可运用物理学中的“误差不可避免性”来解释，用多次测量取其平均值与使用精准仪器的方法来减少误差.运用工程中常用的方法拟定测量方案，利用水准仪等工程测量工具使所测数据相对准确.运用数学知识来构建与解释测量模型并进行精准计算.活动交流时，借助多媒体等现代教学技术提高课堂效率.同时，活动中给足学生充分的动手实践时空，让学生有独立或团队合作探索问题和自我反思的机会，让学生在多学科融合中，不断提升科学运用、工程测量、技术应用、跨学科思维等关键能力，促进了学生STEM素养的全面发展.
参考文献
[1]林群.义务教育教科书·数学（九年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2]雷霞.核心素养下我国课堂教学结构的弊端与优化[J].教学与管理.2019（7）：50-52.
[3]顾广林.指向数学核心素养的初中“数学活动”教学[J].江苏教育.2020（7）：36-39.
[4]邓昌滨.STEM教育视域下的初中数学“课题学习”教学[J].中学数学教学参考（中旬），2020（12）：62-65.
作者简介 邓昌滨（1970—），男，中学高级教师，兴化市初中数学名师工作室领衔人.主要从事初中数学课堂教学的有效教学研究、解题命题研究.主持2项省级规划课题研究，近几年在主流刊物发表论文30多篇，其中核心期刊7篇，人大复印报刊资料全文转载2篇.
顾广林（1964—），男，正高级教师、江苏省特级教师.主要从事初中“数学活动”教学研究.
【关键词】 测量类;“数学活动”;教学实践;育人价值
“数学活动”是一个镶嵌在数学课程内的相对独立版块，主要是引导学生对蕴含数学模型的实际情境或数学内部的某个课题进行探究的学习活动.“数学活动”按照活动内容的特征可以将其分为设计、测量、调查和实验等四类.其中，测量类“数学活动”是以真实的问题情境为载体，引导学生发现和提出问题，综合运用测量的知识与技能，灵活选择或制作测量工具，拟定测量方案来分析问题和解决实际问题的应用活动.这种实践和思维活动促进学生的动手操作能力、估测能力、问题解决能力以及STEM素养的整体提升，彰显数学活动的育人价值.本文以人教版教材“数学活动——测量树高和塔高”[1]为例，简要叙述测量类“数学活动”育人的教学实践.
1 测量类“数学活动”的教学结构
课堂教学结构是教学过程中教师、学生、时间等各教学要素在时空内的有序组合[2]. 测量类“数学活动”的教学思路一般是课前先让学生观察实物，或通过图片或视频的形式让学生了解测量对象，建立一定的空间观念，课上引导学生归纳出测量对象的测量原理和具体的测量模型，分析测量模型中需要测量哪些数据，由此选择需要的测量工具，分成小组进行实际测量，收集数据，完成相关的计算，小组讨论完成本组的测量报告，最后回到教室汇报交流测量报告，进一步完善测量结果，据此归纳出测量类“数学活动”的教学结构图，如图1.
教学组织的一般形式，如图2.
2 测量类“数学活动”的教学实践
“测量树高和塔高”是在学生能够综合运用直角三角形边角关系等知识解决实际问题的基础上展开的，要求学生经历活动方案的设计、仪器的自制及其使用、解决测量问题的过程，提升“做”“用”数学的实践能力，以及发现和提出问题的能力，从而增强数学应用意識、合作意识和科学精神，主要活动过程如下.
2.1 观察测量对象，估测对象高度
情境引入 图3中的工作者使用的仪器你了解吗？他在观测什么？如图4、图5，请估测一下学校旁的大树、电视塔的高度？（如果想得到准确的高度，就需要测量，板书课题）
教学分析 建议课前安排学生实际考察测量的对象，对测量对象及周围环境先有直观认识，形成一定的空间观念.课堂上利用学生对水准仪的好奇心理，引入课题，再根据学生以往的测量活动经验，先估计所测物体的高度，与活动后的实测高度作对比，从而激发学生为提高估测精确度而开展测量活动的必要性，为实际测量奠定基础.
2.2 制作或选择测量工具，构建测量模型，拟定测量方案
活动一 制作测角仪，测量树的高度
问题1 如何制作一个简易的测角仪呢？
师生活动：阅读人教版教材九下第81页“活动一”，以学生常用的半圆形量角器为主要器材，制作一个简易的测角仪，即用一根铁钉穿过量角器的圆心处，然后固定在一个跳高支架上，铁钉上系上一根细线，细线的另一端系一个小重物即可，如图6.
问题2 如何使用测角仪呢？如何减少测量的误差？
师生活动 如图7，将测角仪拿到眼前，使视线FC沿着量角器的直径刚好到达树的最高点A，量得铅垂线与视线FC的夹角为∠FCD，则其余角∠ACE为测角仪所处的仰角.物理学中的“误差不可避免性”告诉我们，减少误差的方法有两种，一是以小组为单位多次测量取其平均值，二是测角仪要尽力精准，因此，如有条件应尽力选择使用工程上的水准仪（如图3），以确保测量的准确性.
问题3 如何测量树高呢？需要测量哪些数据？
师生活动：通过交流，在水平线BD上，将测角仪置于大树前面的CD位置，测量树顶与水平线的仰角∠ACE的度数，测得测角仪到树的底部距离BD，过点C作CE∥BD交AB于点E，具体模型如图7，则可以通过锐角三角函数计算出树高.
教学分析 通过简易测角仪的制作，让学生了解测量角度大小的原理，帮助学生理解水准仪的制作原理与使用方法，为获取精准数据做好多方面准备.
活动二 利用测角仪测量塔高
问题4 测量树高与测量塔高有何不同？如何测量塔高呢？需要测量哪些数据？
师生活动 测量树高时，树的底部可以到达，因此，可以直接测量测角仪到树的底部的距离，而测量塔高时，塔的底部不可以到达，如图8，因此，就不能直接测量测角仪到塔的底部的距离，因而，需要测量角α、β和线段EG的相关数据.
教学分析 拟定测量方案时，由于学生已能熟练运用锐角三角函数的知识解决实际问题，因此，学生对测量塔高的方案不再是活动难点，其方案设计的来龙去脉及其解题过程也就不是本次活动的重点，因而不必在课堂上展开，应把活动的重点放到引导学生根据现场已有的测量工具和可测量数据确定测量方案方面，当然，这些环节可以由教师完成，但学生的考察和思考的过程是积累活动经验的宝贵资源，良好的契机不应该错失.同时，学生可以通过自我回顾或文献检索收集测量高度的数学模型，结构化测量活动的知识和方法，提高学生的自学能力，也节约了上课构建测量模型的时间，保证学生有充分的时间开展实践活动.
2.3 实际测量并完成测量报告
把学生分成4个合作小组，到室外活动，测量相关数据并记录.
师生活动 实际测量过程中，师生共同设计测量报告表，选择测量的工具，厘清测量的步骤，以确保测量井然有序.测量中按活动任务分成几个小组，明确每名学生在小组中的职责，然后进行测算、绘图、计算等活动，并交流讨论其合理性，教师要注意适时调控与指导，引导和补充，调整与再设计.活动中应注重引导学生尽可能减少测量误差，测量结束后小组协同完成测量报告. 教学分析 学生在教师指导下进行实际测量，由于学生课外活动的次数比较少，可能会很兴奋，可能还有学生游离于自己的小组或不专注于自己的任务，教师要加强巡视，帮助每个小组解决测量过程中遇到的问题，特别要关注误差较大的测量结果的原因分析和修正方法，督促每个小组高质量完成测量和计算任务.由于数学活动需要对学生的态度、测量的效果和测量过程中学生的关键能力的表现性水平进行评价，教师要做好观察和记录.完成任务回到班级填写测量报告表.
2.4 交流测量报告
学生到教室集中，交流相关数据与活动收获，完成相关数据的计算.
问题4 如何计算出树高与塔高？如何降低与你最初估测的误差？
教学分析 交流测量报告时，每个小组展示测量结果，教师主要引导学生分析为什么会产生误差，为什么有的方法误差大？有的方法误差小？原因是什么？每种方法怎样尽可能减小误差？测量报告怎样修改才规范等.最终学生理解本次测量活动的最好方法.让学生充分发表意见，主要是进行误差原因分析，以便确定测量对象的最优的测量方法，这是一个不断完善和优化的过程.
问题5 测量时，测角仪与塔的底部在同一水平线吗？
师生活动：前面的测量活动是建立在测角仪与塔的底部在同一水平线的基础上.测量时学生质疑，如图9，如果测角仪与塔的底部不在同一水平上，即B、D、E不在同一直线上，图9怎么办？通过交流可得，可以运用上述方法测得AC的高度，再进行二次测量，测得山的高度BC，两个高度相减即为塔的高度.
教学分析 引领学生回顾活动后的收获与疑惑，借助前面的活动经验，运用二次测量法解释测角仪与塔的底部不共线的困惑，使得学生在亲身体验的基础上，在相互借鉴和思维矫正的过程中，学生的知识理解和应用、学生思维的品质都得以提升，体验了成功的喜悦，也增强了学生学习的信心与毅力，养成反思、严谨、求真的良好习惯.
3 测量类“数学活动”的育人价值
3.1 营造合作氛围，磨练意志品质，提高动手操作能力
本活动教师引导学生利用身边现有的半圆形量角器、细线、小挂件、跳高架等制作简易测角仪，然后借助这些工具测量树高和塔高，使学生认识到今天的数学活动不只是解題，还可以帮助我们解决一些生活中的实际问题，体验数学好玩更有用，享受成功喜悦，增强学生参与数学活动的信心.测量活动需要同伴互助，合作交流，一次又一次地反复测量，锻炼了学生的耐心与细心，增强了合作意识，提高了学生的表达能力以及动手操作能力，端正了学生对科学的严谨态度.
3.2 感悟数量关系，力求培养数感，提高学生估测能力
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟.本活动在测量树高和塔高的活动中，通过让学生选择或制作测角仪，在校园内开展测量活动，活动中，一方面可以让学生对长度单位、角单位的大小与精确度的关系有进一步的认识，另一方面培养学生灵活选择恰当长度单位的应用意识.面对测量对象，让学生先估测的树高与塔高，最后与活动实测数据进行比较，分析差距，排查原因，寻求对策，使学生养成估算习惯，逐步发展学生的数感，从而提高学生的估测能力.
3.3 培养问题意识，养成质疑习惯，提升问题解决能力
问题是数学的心脏.数学活动过程既是动手操作、合作交流的过程，也是一个不断地生疑、质疑、释疑的思维过程.活动初始，用多媒体呈现工作者使用测角仪的画面，激发学生运用测角仪测量树高和塔高的欲望，引发学生对测角仪的好奇，测角仪有何用处？怎么使用？工作原理又是什么？在这样的问题驱动下，引领学生一步一步走向测量，当塔高的测量报告形成后，面对测角仪与塔的底部不在同一平面上的疑惑，教者引导学生进行二次测量，及时解决了这种理想与现实的矛盾，让学生在动一动、量一量、想一想、说一说中，寻求解决问题的对策，逐步提升学生问题解决的能力.
3.4 强化应用意识，融合多元因素，提升学生STEM素养
“数学活动”是一种体验式的学习[3]，强调数学的实际应用，是对常规数学教学的补充.测量高度方法丰富多彩，融合多种学科知识.而STEM教育是科学、技术、工程、数学等学科知识的深度融合，侧重于跨学科整合与运用[4]. 因此，当活动中出现前后测量值不一致时，可运用物理学中的“误差不可避免性”来解释，用多次测量取其平均值与使用精准仪器的方法来减少误差.运用工程中常用的方法拟定测量方案，利用水准仪等工程测量工具使所测数据相对准确.运用数学知识来构建与解释测量模型并进行精准计算.活动交流时，借助多媒体等现代教学技术提高课堂效率.同时，活动中给足学生充分的动手实践时空，让学生有独立或团队合作探索问题和自我反思的机会，让学生在多学科融合中，不断提升科学运用、工程测量、技术应用、跨学科思维等关键能力，促进了学生STEM素养的全面发展.
参考文献
[1]林群.义务教育教科书·数学（九年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2014.
[2]雷霞.核心素养下我国课堂教学结构的弊端与优化[J].教学与管理.2019（7）：50-52.
[3]顾广林.指向数学核心素养的初中“数学活动”教学[J].江苏教育.2020（7）：36-39.
[4]邓昌滨.STEM教育视域下的初中数学“课题学习”教学[J].中学数学教学参考（中旬），2020（12）：62-65.
作者简介 邓昌滨（1970—），男，中学高级教师，兴化市初中数学名师工作室领衔人.主要从事初中数学课堂教学的有效教学研究、解题命题研究.主持2项省级规划课题研究，近几年在主流刊物发表论文30多篇，其中核心期刊7篇，人大复印报刊资料全文转载2篇.
顾广林（1964—），男，正高级教师、江苏省特级教师.主要从事初中“数学活动”教学研究.