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光的干涉现象在检验各种光学器件表面的加工质量、机械零件表面的光洁度、测量微小长度的变化等范围中应用十分广泛.但在人教社出版的高中物理选修课本中，只是简略地做了些介绍，为了加深对光的干涉现象的理解，略举几例，加以探讨.
例1在微波信号检测中的应用
某卫星自地平线刚刚升起，所发射的频率为v的微波信号水平掠过水面，恰好被置于水库岸边、距水面上方h米处的微波检测器第一次检测到，但信号十分微弱；随着卫星的上升，微波检测器检测到的信号逐渐增强，通过最大值后又减弱.已知微波的传播速度c=3×108 m/s.假设第一次检测到的信号为最小，试问当记录到第二次最小时，卫星与水平面成多大角度？
解析如图1所示，微波检测器位于P处，卫星发射的微波信号水平掠过水面，检测器在接收到微波“1”经水面反射后的反射波AP的同时，又直接接收到微波“2”，这两束微波在P点相遇发生干涉.由于空气的折射率小于水的折射率，反射波在水面A处发生相位突变，产生附加光程差λ/2，则两束微波到达接收器P的光程差为
δ=（AP-BP） λ2.
设掠射角为α，由图1可知AP=hsinα，
BP=APsin（90°-2α）=hsinα-2hsinα，
由此求得两束微波的光程差
δ=2hsinα λ2.
由两束微波干涉相消信号强度极小的条件
δ=2hsinα λ2=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…
得2hsinα=λ，其中k为强度极小的干涉级数.当接收器接收到的信号连续出现两次极小时有2hsinα=λ.由该式求得记录到第二次最小时卫星与水平面所成的夹角
α=arcsinλ2h=arcsinc2hν.
例2测量玻璃圆锥主截面的顶角
主截面半顶角α很大的玻璃圆锥透镜如图1所示，侧面为圆锥面，设中心轴为y轴.将该锥面透镜的顶点置于玻璃平板之上，构成类似于牛顿环的干涉装置.该装置置于折射率为n的液体中，当波长为λ平行单色光束由上向下垂直照射时，在液体层形成等厚干涉条纹，由读数显微镜测得第k级暗环的半径为xk，求玻璃圆锥顶角.
解析建立如图2所示直角坐标系O-xy，设P（x，y）为透镜锥面上的一点，该点对应的液体薄膜的厚度为y，xk为第k级圆环的半径.由图2可知，液体薄膜的厚度y=xkcotα，由于顶角α很大，在近轴光线条件下，cot≈1α，则有y=xkα.
在进入透镜的平行光束中，部分光束被透镜的凸面直接反射回去；另一部分光束透过液体层被平面玻璃板表面反射，发生相位突变，产生λ/2的额外光程差（液体的折射率n小于玻璃的折射率）.由此得这两束反射光的光程差δ为
δ=2ny λ2=2nxkα λ2，
由光的干涉条件知
δ=2nxkα λ2=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…暗环
kλ，k=1，2，3，…明环
可得第k级暗环的半径xk=kλα2n.由此求得圆锥的半顶角为α=2nxkkλ.当该装置置于空气中时，n=1，上式变为α=2xkkλ.可见，只要测出第k级暗环的半径，就可以由上式求出圆锥主截面的顶角2α.
例3测量重力加速度
[仪器用具]盛有液体（密度为ρ、折射率为n小于玻璃的折射率）的玻璃器皿、绕中心轴旋转的平台、读数显微镜、波长为λ的单色光源、光具座、测速装置等.
[要求]写出测量重力加速度的实验步骤，并导出计算公式.
解析（1）测量步骤
①将盛有液体（密度为ρ、折射率为n）的玻璃器皿置于绕中心轴旋转的平台上，并接通电源，令其匀角速旋转.
②用测速装置测出角速度ω.此时玻璃器皿中的液体表面形成一曲面.
③用波长为λ的单色光垂直照射液体表面，并在读数显微镜下进行观测，可以看到在反射光形成的等厚干涉条纹.
④测得第k级明环的半径为xk.
（2）推导重力加速度g的计算公式
取液面最低点O为坐标原点，建立如图3所示直角坐标系O-xy，当液体以角速度ω匀速旋转时，液面形成一曲面.在曲面上取一小液滴P，其质量为Δm，坐标为（x，y），该液滴受重力Δmg、液面的支持力N、惯性离心力Δmxω2作用而处于平衡状态.设过P的的切线与x轴的夹角为α，根据力的平衡方程
Ncosα=Δmg，Nsinα=Δmxω2，
P点的切线斜率为曲线方程在该点的导数，即
y′=tanα=ω2gx.
考虑到液面的最低点坐标x=0，y=0，对上式两边积分求得y=ω22gx2.该式是开口向上的抛物线，表明液面是以y为对称轴的旋转抛物面.
实验中，当波长为λ的单色光束从上向下垂直照射时，进入旋转抛物面液柱的光束，一一部分由抛物面反射回去，产生λ/2的额外光程差；另一部分透过液体遇到玻璃器皿底面反射回去，同样也产生λ/2的额外光程差.于是这两束光的光程差为
δ=2ny=ω2gnx2，
根据光的相干条件知，观察到明环的条件是
δ=ω2gnx2=kλ，k=1，2，…
由上式得，第k级明环的半径xk=kgλnω2.实验中只要测出xk，就可以求出重力加速度g=nω2x2kkλ.同理，如果知道了重力加速度，也可以求出液体旋转的角速度ω=kgλnx2k.
例4测量液体的折射率
如图4所示，平椭圆玻璃凸透镜的凸面是绕对称轴（短轴，设为y轴）旋转形成的椭球面.将该平凸透镜的凸面置于玻璃平板之上，构成类似于牛顿环的干涉装置，将该装置置于折射率为n（液体的折射率n小于玻璃的折射率）的液体中，当波长为λ的平行单色光束由上向下垂直照射时，在液体层形成等厚干涉条纹，由读数显微镜测得第k级暗环的半径为xk.已知该椭圆的长、短半轴分别为a、b，求液体的折射率.
解析建立直角坐标系O-xy如图4所示，设p（x，y）为椭圆透镜凸面上的一点，该点对应的液体薄膜的厚度为y，xk为第k级圆环的半径.第k级圆环的半径xk与对应的液体薄膜厚度y的关系，可由椭圆方程x2a2 （y-b）2b2=1求得
y=b2a2x2k y22b，by，
在近轴光线条件下忽略上式中含有y2的项，得液体薄膜的厚度为
y=b2a2x2k.
在进入透镜的平行光束中，一部分光束被透镜的凸面直接反射回去，另一部分光束透过液体层在平面玻璃板表面发生反射，发生相位突变，产生λ/2的额外光程差，则这两束反射光的光程差
δ=2ny λ2=nba2x2k λ2.
由光的干涉条件可知，
δ=2ny λ2=nba2x2k λ2
=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…暗环
kλ，k=1，2，…明环
由上式求得第k级暗环的半径为
xk=ka2λnb， k=0，1，2，…
依此可求得液体的折射率为
n=ka2λbx2k.
通过上面对光干涉现象例子的分析，可以发现：
（1）研究光的相干现象关键是计算两束相干光的光程差.对于由光疏介质入射于光密介质的单色光，计算光程差时一定要把反射光在分界面所产生的附加光程差λ/2计算在内.
（2）利用光的相干条件
δ=（2k 1）λ2， （k=0，1，2，…）暗环
kλ， （k=1，2，3，…）明环
对具体问题进行分析.
（3）平板玻璃与凸面为对称曲面的平透镜之间的空气（或液体）薄膜形成的等厚干涉定域于薄膜表面，其形状与凸面的对称性有关.
（4）平板玻璃与凸面为旋转对称曲面的平凸透镜构成的干涉装置，置于折射率为n的液体中，当平行单色光垂直照射时反射光所产生的干涉现象总结如表1.
（5）在分析透射光的干涉时，要判断两束透射光在玻璃表面有无附加光程差产生.
例1在微波信号检测中的应用
某卫星自地平线刚刚升起，所发射的频率为v的微波信号水平掠过水面，恰好被置于水库岸边、距水面上方h米处的微波检测器第一次检测到，但信号十分微弱；随着卫星的上升，微波检测器检测到的信号逐渐增强，通过最大值后又减弱.已知微波的传播速度c=3×108 m/s.假设第一次检测到的信号为最小，试问当记录到第二次最小时，卫星与水平面成多大角度？
解析如图1所示，微波检测器位于P处，卫星发射的微波信号水平掠过水面，检测器在接收到微波“1”经水面反射后的反射波AP的同时，又直接接收到微波“2”，这两束微波在P点相遇发生干涉.由于空气的折射率小于水的折射率，反射波在水面A处发生相位突变，产生附加光程差λ/2，则两束微波到达接收器P的光程差为
δ=（AP-BP） λ2.
设掠射角为α，由图1可知AP=hsinα，
BP=APsin（90°-2α）=hsinα-2hsinα，
由此求得两束微波的光程差
δ=2hsinα λ2.
由两束微波干涉相消信号强度极小的条件
δ=2hsinα λ2=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…
得2hsinα=λ，其中k为强度极小的干涉级数.当接收器接收到的信号连续出现两次极小时有2hsinα=λ.由该式求得记录到第二次最小时卫星与水平面所成的夹角
α=arcsinλ2h=arcsinc2hν.
例2测量玻璃圆锥主截面的顶角
主截面半顶角α很大的玻璃圆锥透镜如图1所示，侧面为圆锥面，设中心轴为y轴.将该锥面透镜的顶点置于玻璃平板之上，构成类似于牛顿环的干涉装置.该装置置于折射率为n的液体中，当波长为λ平行单色光束由上向下垂直照射时，在液体层形成等厚干涉条纹，由读数显微镜测得第k级暗环的半径为xk，求玻璃圆锥顶角.
解析建立如图2所示直角坐标系O-xy，设P（x，y）为透镜锥面上的一点，该点对应的液体薄膜的厚度为y，xk为第k级圆环的半径.由图2可知，液体薄膜的厚度y=xkcotα，由于顶角α很大，在近轴光线条件下，cot≈1α，则有y=xkα.
在进入透镜的平行光束中，部分光束被透镜的凸面直接反射回去；另一部分光束透过液体层被平面玻璃板表面反射，发生相位突变，产生λ/2的额外光程差（液体的折射率n小于玻璃的折射率）.由此得这两束反射光的光程差δ为
δ=2ny λ2=2nxkα λ2，
由光的干涉条件知
δ=2nxkα λ2=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…暗环
kλ，k=1，2，3，…明环
可得第k级暗环的半径xk=kλα2n.由此求得圆锥的半顶角为α=2nxkkλ.当该装置置于空气中时，n=1，上式变为α=2xkkλ.可见，只要测出第k级暗环的半径，就可以由上式求出圆锥主截面的顶角2α.
例3测量重力加速度
[仪器用具]盛有液体（密度为ρ、折射率为n小于玻璃的折射率）的玻璃器皿、绕中心轴旋转的平台、读数显微镜、波长为λ的单色光源、光具座、测速装置等.
[要求]写出测量重力加速度的实验步骤，并导出计算公式.
解析（1）测量步骤
①将盛有液体（密度为ρ、折射率为n）的玻璃器皿置于绕中心轴旋转的平台上，并接通电源，令其匀角速旋转.
②用测速装置测出角速度ω.此时玻璃器皿中的液体表面形成一曲面.
③用波长为λ的单色光垂直照射液体表面，并在读数显微镜下进行观测，可以看到在反射光形成的等厚干涉条纹.
④测得第k级明环的半径为xk.
（2）推导重力加速度g的计算公式
取液面最低点O为坐标原点，建立如图3所示直角坐标系O-xy，当液体以角速度ω匀速旋转时，液面形成一曲面.在曲面上取一小液滴P，其质量为Δm，坐标为（x，y），该液滴受重力Δmg、液面的支持力N、惯性离心力Δmxω2作用而处于平衡状态.设过P的的切线与x轴的夹角为α，根据力的平衡方程
Ncosα=Δmg，Nsinα=Δmxω2，
P点的切线斜率为曲线方程在该点的导数，即
y′=tanα=ω2gx.
考虑到液面的最低点坐标x=0，y=0，对上式两边积分求得y=ω22gx2.该式是开口向上的抛物线，表明液面是以y为对称轴的旋转抛物面.
实验中，当波长为λ的单色光束从上向下垂直照射时，进入旋转抛物面液柱的光束，一一部分由抛物面反射回去，产生λ/2的额外光程差；另一部分透过液体遇到玻璃器皿底面反射回去，同样也产生λ/2的额外光程差.于是这两束光的光程差为
δ=2ny=ω2gnx2，
根据光的相干条件知，观察到明环的条件是
δ=ω2gnx2=kλ，k=1，2，…
由上式得，第k级明环的半径xk=kgλnω2.实验中只要测出xk，就可以求出重力加速度g=nω2x2kkλ.同理，如果知道了重力加速度，也可以求出液体旋转的角速度ω=kgλnx2k.
例4测量液体的折射率
如图4所示，平椭圆玻璃凸透镜的凸面是绕对称轴（短轴，设为y轴）旋转形成的椭球面.将该平凸透镜的凸面置于玻璃平板之上，构成类似于牛顿环的干涉装置，将该装置置于折射率为n（液体的折射率n小于玻璃的折射率）的液体中，当波长为λ的平行单色光束由上向下垂直照射时，在液体层形成等厚干涉条纹，由读数显微镜测得第k级暗环的半径为xk.已知该椭圆的长、短半轴分别为a、b，求液体的折射率.
解析建立直角坐标系O-xy如图4所示，设p（x，y）为椭圆透镜凸面上的一点，该点对应的液体薄膜的厚度为y，xk为第k级圆环的半径.第k级圆环的半径xk与对应的液体薄膜厚度y的关系，可由椭圆方程x2a2 （y-b）2b2=1求得
y=b2a2x2k y22b，by，
在近轴光线条件下忽略上式中含有y2的项，得液体薄膜的厚度为
y=b2a2x2k.
在进入透镜的平行光束中，一部分光束被透镜的凸面直接反射回去，另一部分光束透过液体层在平面玻璃板表面发生反射，发生相位突变，产生λ/2的额外光程差，则这两束反射光的光程差
δ=2ny λ2=nba2x2k λ2.
由光的干涉条件可知，
δ=2ny λ2=nba2x2k λ2
=（2k 1）λ2，k=0，1，2，…暗环
kλ，k=1，2，…明环
由上式求得第k级暗环的半径为
xk=ka2λnb， k=0，1，2，…
依此可求得液体的折射率为
n=ka2λbx2k.
通过上面对光干涉现象例子的分析，可以发现：
（1）研究光的相干现象关键是计算两束相干光的光程差.对于由光疏介质入射于光密介质的单色光，计算光程差时一定要把反射光在分界面所产生的附加光程差λ/2计算在内.
（2）利用光的相干条件
δ=（2k 1）λ2， （k=0，1，2，…）暗环
kλ， （k=1，2，3，…）明环
对具体问题进行分析.
（3）平板玻璃与凸面为对称曲面的平透镜之间的空气（或液体）薄膜形成的等厚干涉定域于薄膜表面，其形状与凸面的对称性有关.
（4）平板玻璃与凸面为旋转对称曲面的平凸透镜构成的干涉装置，置于折射率为n的液体中，当平行单色光垂直照射时反射光所产生的干涉现象总结如表1.
（5）在分析透射光的干涉时，要判断两束透射光在玻璃表面有无附加光程差产生.