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三角函数公式多,解法灵活,在解题中经常由于方法选择不当,而钻入死胡同.事实上,如果能够学会灵活运用三角变换,换个角度思考问题,往往能豁然开朗,茅塞顿开.现介绍几种常用的三角变换策略,供同学们学习时参考.
一、 变角
在三角函数的化简、求值与证明中,已知条件与待求结论中往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和、差、倍、半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见的角的变换有:单角化复角,倍角化复角,复角化复角.
例1 化简:sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°
分析:将7°角,化为15°、8°角,和谐统一.
解:原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=2-3
例2 已知8cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)·tanα的值.
分析:观察出现的角2α+β,β,α+β,α可以发现条件角2α+β,β可以用结构角α+β,α的和与差表示.
解:∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,∴ 8cos[(α+β)-α]+5cos[(α+β)-α]=0
∴ 13cos(α+β)cosα=3sin(α+β)sinα
∴ tan(α+β)·tanα=133
二、 变名
由于三角函数包括六种形式,因此在三角问题中经常不同名的三角函数,这时我们要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径,正确选用变换公式,使问题得到快速的解决.变名的依据是同角三角函数的基本关系和诱导公式,切割化弦、化弦为切是对函数名称进行转化的最常见、最基本的方法.
例3 已知tanα=-13,计算12sinαcosα+cos2α
解:原式=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=19+1-23+1=103
评注:将所求问题变换关于tanα式子,简洁明了,和谐统一.
例4 化简:tan2x(sin2x+tanx·tanx2+cos2x)·1-tan2x1+tan2x
解:原式=sin2xcos2x·1+sinxcosx·sinx2cosx2·1-sin2xcos2x1+sin2xcos2x=2sinx·cosxcos2x·cosx-x2cosx·cosx2·(cos2x-sin2x)=2sinx·cosxcos2x·cosx2cosx·cosx2·cos2x=2sinx
三、 变常数
对于题目中所给的常数,如1,22,32,3等,对照特殊角的三角函数值,将它们变为相应的三角函数,参与其他三角函数的运算,在解题中往往起着十分巧妙的作用.
例5 化简:1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α
解:原式=(sin2α+cos2α)3-sin6α-cos6α(sin2α+cos2α)4-sin4α-cos4α=3sin2αcos2α(sin2α+cos2α)2sin2αcos2α=32
评注:三角函数式化简中要对“1”灵活变换,常将“1”化为sin2α+cos2α,tan45°等
四、 变次数
若三角函数中各项幂的次数不同,或者解题需要,可通过升幂或降幂促成问题的解决,由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,可得cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2常用来降幂,或者用上面公式将一次式化为二次式,便于进行因式分解.
例6 已知3π4<α<π,tanα+1tanα=-103
(1) 求tanα的值;
(2) 求5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2的值
解:(1) tanα=-13(过程略)
(2) 原式=5(1-cosα)2+4sinα+11(1+cosα)2-8-2cosα=5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16-22cosα=8sinα+6cosα-22cosα=8tanα+6-22=-526
五、 变公式
三角公式是三角变换的依据,我们经常正用公式,但有时也需要逆用和变用公式,以开拓解题思路,达到化难为易的目的.
例7 求tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值
解:原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3
评注:公式tan(α±β)=tanα±tanβ1tanα·tanβ在解题中需灵活应用,经常变形为tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanα·tanβ)使用.
六、 变结构
在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等,对有些特殊结构的三角函数式,根据题的特点,还可以通协定构造对偶式的方法求解.
例8 化简:sin6°·sin42°·sin66°·sin78°
解:原式=sin6°·cos48°·cos24°·cos12°=16cos6°·sin6°·cos24°·cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=116
评注:本题分子、分母同乘以16cos6°,从而在分子上连续逆向使用倍角公式,从而达到化多角为单角的目的.
例9 求sin20°+cos280°+3sin20°·cos80°的值
解:设原式=x,y=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°
则x+y=2+3sin100°=2+3sin80°(1)
y-x=cos40°-cos160°+3sin60°=cos40°+cos20°+32
=cos(30°+10°)+cos(30°-10°)+32=2cos30°cos10°+32=32+3sin80°(2)
由(1)—(2)得x=14,故原式=14
评注:本题配凑出“对偶式”,巧变形,方法相当灵活.
一、 变角
在三角函数的化简、求值与证明中,已知条件与待求结论中往往出现较多的相异角,此时可根据角与角之间的和、差、倍、半、互余、互补的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解.常见的角的变换有:单角化复角,倍角化复角,复角化复角.
例1 化简:sin7°+cos15°sin8°cos7°-sin15°sin8°
分析:将7°角,化为15°、8°角,和谐统一.
解:原式=sin(15°-8°)+cos15°sin8°cos(15°-8°)-sin15°sin8°=sin15°cos8°cos15°cos8°=tan15°=2-3
例2 已知8cos(2α+β)+5cosβ=0,求tan(α+β)·tanα的值.
分析:观察出现的角2α+β,β,α+β,α可以发现条件角2α+β,β可以用结构角α+β,α的和与差表示.
解:∵ 2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α,∴ 8cos[(α+β)-α]+5cos[(α+β)-α]=0
∴ 13cos(α+β)cosα=3sin(α+β)sinα
∴ tan(α+β)·tanα=133
二、 变名
由于三角函数包括六种形式,因此在三角问题中经常不同名的三角函数,这时我们要从题目中所给的各函数间的关系入手,寻求统一函数名称的变换途径,正确选用变换公式,使问题得到快速的解决.变名的依据是同角三角函数的基本关系和诱导公式,切割化弦、化弦为切是对函数名称进行转化的最常见、最基本的方法.
例3 已知tanα=-13,计算12sinαcosα+cos2α
解:原式=sin2α+cos2α2sinαcosα+cos2α=tan2α+12tanα+1=19+1-23+1=103
评注:将所求问题变换关于tanα式子,简洁明了,和谐统一.
例4 化简:tan2x(sin2x+tanx·tanx2+cos2x)·1-tan2x1+tan2x
解:原式=sin2xcos2x·1+sinxcosx·sinx2cosx2·1-sin2xcos2x1+sin2xcos2x=2sinx·cosxcos2x·cosx-x2cosx·cosx2·(cos2x-sin2x)=2sinx·cosxcos2x·cosx2cosx·cosx2·cos2x=2sinx
三、 变常数
对于题目中所给的常数,如1,22,32,3等,对照特殊角的三角函数值,将它们变为相应的三角函数,参与其他三角函数的运算,在解题中往往起着十分巧妙的作用.
例5 化简:1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α
解:原式=(sin2α+cos2α)3-sin6α-cos6α(sin2α+cos2α)4-sin4α-cos4α=3sin2αcos2α(sin2α+cos2α)2sin2αcos2α=32
评注:三角函数式化简中要对“1”灵活变换,常将“1”化为sin2α+cos2α,tan45°等
四、 变次数
若三角函数中各项幂的次数不同,或者解题需要,可通过升幂或降幂促成问题的解决,由cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α,可得cos2α=1+cos2α2,sin2α=1-cos2α2常用来降幂,或者用上面公式将一次式化为二次式,便于进行因式分解.
例6 已知3π4<α<π,tanα+1tanα=-103
(1) 求tanα的值;
(2) 求5sin2α2+8sinα2cosα2+11cos2α2-82sinα-π2的值
解:(1) tanα=-13(过程略)
(2) 原式=5(1-cosα)2+4sinα+11(1+cosα)2-8-2cosα=5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16-22cosα=8sinα+6cosα-22cosα=8tanα+6-22=-526
五、 变公式
三角公式是三角变换的依据,我们经常正用公式,但有时也需要逆用和变用公式,以开拓解题思路,达到化难为易的目的.
例7 求tan20°+tan40°+3tan20°·tan40°的值
解:原式=tan60°(1-tan20°tan40°)+3tan20°tan40°=3
评注:公式tan(α±β)=tanα±tanβ1tanα·tanβ在解题中需灵活应用,经常变形为tanα±tanβ=tan(α±β)(1tanα·tanβ)使用.
六、 变结构
在三角变换中,常常对条件、结论的结构施行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等,对有些特殊结构的三角函数式,根据题的特点,还可以通协定构造对偶式的方法求解.
例8 化简:sin6°·sin42°·sin66°·sin78°
解:原式=sin6°·cos48°·cos24°·cos12°=16cos6°·sin6°·cos24°·cos48°16cos6°=sin96°16cos6°=116
评注:本题分子、分母同乘以16cos6°,从而在分子上连续逆向使用倍角公式,从而达到化多角为单角的目的.
例9 求sin20°+cos280°+3sin20°·cos80°的值
解:设原式=x,y=cos220°+sin280°+3cos20°·sin80°
则x+y=2+3sin100°=2+3sin80°(1)
y-x=cos40°-cos160°+3sin60°=cos40°+cos20°+32
=cos(30°+10°)+cos(30°-10°)+32=2cos30°cos10°+32=32+3sin80°(2)
由(1)—(2)得x=14,故原式=14
评注:本题配凑出“对偶式”,巧变形,方法相当灵活.