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摘 要：针对课本中的一道练习题，我要求学生设计出算法步骤后，要嘗试画出程序框图，本来只是一个顺着教材知识顺序提出的要求，却由此引出后面很多的探究和反思，确实是我在前面备课工作中没有想到的.这是一个节外生枝的作业设想，在课本和教辅书中都没有提供标准答案，学生不再有可以参考的答案，反而激发了研究此题的极大兴趣，于是我们师生共同开始了一次“校本研究”之旅。
关键词：校本教研 反思 算法 框图
由于去年我才进入新课程教学的第一轮教学工作中，因此对必修3中第一章算法初步的内容感到很陌生.在对一道课本练习题的探究过程中，出现了一些错误的想法，在进一步教学的过程中，学生踊跃参与，师生共同探究，不仅纠正了错误，也取得了很多收获.比如在教学的过程中，进一步明确了程序框图的画法，对教材的编写意图也有了更清晰的认识.通过教学过程中及教学过程后的反思，我也深刻地体会到，做一个教学中的有心人，才能真正提高自己的教学水平.
这道题目是人教A版必修3第5页练习中的第二题，要求“任意给定一个大于1的整数n，设计一个算法求出n的所有因数。”在此处我要求学生设计出算法步骤后，要尝试画出程序框图，本来只是一个顺着教材知识顺序提出的要求，却由此引出后面很多的探究和反思，确实是我在前面备课工作中没有想到的，这是一个节外生枝的作业设想，在课本和教辅书中都没有提供标准答案，学生不再有可以参考的答案，反而激发了研究此题的极大兴趣，于是我们师生共同开始了一次“校本研究”之旅。
在《教师教学用书》必修3第12页提供这道题的算法步骤是（以下称解法一）：
第一步，给定一个大于1的正整数n，第二步，令i=1，第三步，用i除n，得到余数r，第四步，判断“r=0”是否成立，若是，则i是n的因数；否则，i不是n的因数，第五步，使i的值增加1，仍用i表示，第六步，判断“i>n”是否成立，若是，则结束算法；否则，返回第三步。
此处有说明：本题是继例一之后又一个可以用“遍历”的算法解决的问题.
在《王后雄学案——教材完全解读》必修3第13页对这道题的算法给出了这样的解答：
根据因数的定义，可设计出下面一个算法（以下称解法二）：
第一步，判断n是否等于2，若n=2，则n的因数为1，n；若n>2，则执行第二步.第二步，依次从2到n-1检验是不是能整除n，若能整除n，则是n的因数；若不能整除n，则不是n的因数，第三步，在n的因数中加入1和n，第四步，得到n的所有因数。
此处还有评注：这是求n的所有因数的最基本的算法，其设计核心是从2到n-1依次检验。
在阅读解法二的过程中，学生提出了以下疑问：（1）第一步有必要吗？我们都知道2是最小的质数，把2归入质数不就行了吗？（2）第二步作为算法步骤能体现出明确性吗？对于第二个问题，在《教师教学用书》必修3第6页分析例一时已经明确指出“整数n是否为质数等价于2～（n-1）中是否有整数能整除n”，那么也就是说这里的第二步包含了课本例题解法中的好几步，继续进行程序框图和语句的学习，就会发现这里要用循环结构才能实现目的，所以应该像课本例题解法那样详细才行。于是我们带着第一个问题继续进行探究。
首先借鉴教材第4页提出的问题“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法及第7页提供的程序框图的画法，我们画出了解法二的程序框图。
但经过检验，发现这种画法有严重的错误：在判断r=0成立后，执行输出1，n，i后结束，就意味着只输出了除1，n外的唯一一个或者说是第一个因数i。比如以n=35为例，i=5即结束算法了，没有下一步的循环，也就不能再有继续输出因数7的可能性了，因此不满足此题输出n的所有因数的要求.反思出现这种错误的主要原因是受到课本例题思路的影响，实质上还是只关注了n是否为质数，而未体现出在判断出n不是质数后还要经循环结构才能输出n的所有因数，那么应该如何修改呢？是在原有结构上改良，还是彻底改写呢？应该要用i与n的大小来控制i的输出，但是怎样做才更合理呢？
带着这些困惑，我和学生又继续回头研究课本上的例题，现在我们对这个问题的认识有了很大的变化，逐渐领会到教材编写者的匠心所在，看来这道例题是练习题的“源头”，练习题是例题的“引申”，那么能不能先从改变例题的框图画法入手呢？经过师生讨论首先将教材第7页框图修改如下：
此处的修改分离了原来判断框中的两个条件“r=0？”和“i>n-1”，更符合课本第4页对算法步骤的描述，也没有改变例题的算法功能，还是表示了一旦找到一个不同于1和n的因数就判断n不是质数，则结束算法.那么，要体现不断地输出新的i值——这样一种循环应该如何实现？显然只判断出n是质数是不够的！必须要把“r=0？”这个判断条件及“输出i”，“i=i+1”这两个功能联系起来才行，这样每次判断整除后的因数i都会被及时输出，这才是符合题意的.经过思考画出对应练习第2题解法一的程序框图如下：
这是最后确定的一种画法，其实在画图的过程中还出现过这样的两个错误画法：
错因分析：此处i=1时，r=0总成立，于是进入死循环，无法达到输出n的所有因数的算法功能.
错因分析：此处没有理解前面框图中执行“输出i”的步骤已经包含了因数1和n，因为解法一中的i是从1取到n的，而对于质数而言，所有质数被1，n除均得r=0，所以此处“输出i”的步骤已经包含了因数1和n，不能再画蛇添足了.
最后还是回到练习题第2题的解法二，修改后的程序框图如下：
可知解法二与解法一的区别在于i的值从2取到n-1时进入循环，所以算法步骤中必须要体现添加1，n这一步！这时再考虑学生对解法二提出的第一个问题，如果去掉判断n=2是否成立的这一步，写出的框图会更简洁，更好吗？注意n=2，i=2时会得到r=0，于是执行“输出1，n，i”后i与n值是重复的，如果要修改，恐怕要从i的起始值开始改起了，那么解法二就会失去存在的基础了，所以经过尝试，最终还是保留了原来的算法。
现在回顾从课本的例题到这道练习题，编写者给我们埋下了一条螺旋上升的学习通道，从判断质数到写出因数，我们收获良多，特别是分离两个判断条件提供了一类问题的通解，比如筛选运动员成绩的算法（见教材第20页B组第2题，要求在9人成绩中输出小于6.8s的成绩）就成为一个容易解决的问题，只需将解法一两个判断框中的数据改一下，框图的结构可以完全保留，所以学习难度自然降低了。
经过这一次从节外生枝的作业设想到脚踏实地的校本教研之旅，我才真正体会了校本教研并不神秘，其实素材就在教材中的题目中，只要做个有心人，就会有收获。
作者简介：1994年毕业于北京师范大学，一直从事数学教学工作，并长期任班主任、数学组备课组长。是中学高级教师，并被授予“省级青年教学能手”、“市级教学骨干”、“兰州市优秀班主任”等称号。所主持市级课题获得省级一等奖；在省级刊物上发表多篇论文，并多次获得省市级一、二等奖。
关键词：校本教研 反思 算法 框图
由于去年我才进入新课程教学的第一轮教学工作中，因此对必修3中第一章算法初步的内容感到很陌生.在对一道课本练习题的探究过程中，出现了一些错误的想法，在进一步教学的过程中，学生踊跃参与，师生共同探究，不仅纠正了错误，也取得了很多收获.比如在教学的过程中，进一步明确了程序框图的画法，对教材的编写意图也有了更清晰的认识.通过教学过程中及教学过程后的反思，我也深刻地体会到，做一个教学中的有心人，才能真正提高自己的教学水平.
这道题目是人教A版必修3第5页练习中的第二题，要求“任意给定一个大于1的整数n，设计一个算法求出n的所有因数。”在此处我要求学生设计出算法步骤后，要尝试画出程序框图，本来只是一个顺着教材知识顺序提出的要求，却由此引出后面很多的探究和反思，确实是我在前面备课工作中没有想到的，这是一个节外生枝的作业设想，在课本和教辅书中都没有提供标准答案，学生不再有可以参考的答案，反而激发了研究此题的极大兴趣，于是我们师生共同开始了一次“校本研究”之旅。
在《教师教学用书》必修3第12页提供这道题的算法步骤是（以下称解法一）：
第一步，给定一个大于1的正整数n，第二步，令i=1，第三步，用i除n，得到余数r，第四步，判断“r=0”是否成立，若是，则i是n的因数；否则，i不是n的因数，第五步，使i的值增加1，仍用i表示，第六步，判断“i>n”是否成立，若是，则结束算法；否则，返回第三步。
此处有说明：本题是继例一之后又一个可以用“遍历”的算法解决的问题.
在《王后雄学案——教材完全解读》必修3第13页对这道题的算法给出了这样的解答：
根据因数的定义，可设计出下面一个算法（以下称解法二）：
第一步，判断n是否等于2，若n=2，则n的因数为1，n；若n>2，则执行第二步.第二步，依次从2到n-1检验是不是能整除n，若能整除n，则是n的因数；若不能整除n，则不是n的因数，第三步，在n的因数中加入1和n，第四步，得到n的所有因数。
此处还有评注：这是求n的所有因数的最基本的算法，其设计核心是从2到n-1依次检验。
在阅读解法二的过程中，学生提出了以下疑问：（1）第一步有必要吗？我们都知道2是最小的质数，把2归入质数不就行了吗？（2）第二步作为算法步骤能体现出明确性吗？对于第二个问题，在《教师教学用书》必修3第6页分析例一时已经明确指出“整数n是否为质数等价于2～（n-1）中是否有整数能整除n”，那么也就是说这里的第二步包含了课本例题解法中的好几步，继续进行程序框图和语句的学习，就会发现这里要用循环结构才能实现目的，所以应该像课本例题解法那样详细才行。于是我们带着第一个问题继续进行探究。
首先借鉴教材第4页提出的问题“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法及第7页提供的程序框图的画法，我们画出了解法二的程序框图。
但经过检验，发现这种画法有严重的错误：在判断r=0成立后，执行输出1，n，i后结束，就意味着只输出了除1，n外的唯一一个或者说是第一个因数i。比如以n=35为例，i=5即结束算法了，没有下一步的循环，也就不能再有继续输出因数7的可能性了，因此不满足此题输出n的所有因数的要求.反思出现这种错误的主要原因是受到课本例题思路的影响，实质上还是只关注了n是否为质数，而未体现出在判断出n不是质数后还要经循环结构才能输出n的所有因数，那么应该如何修改呢？是在原有结构上改良，还是彻底改写呢？应该要用i与n的大小来控制i的输出，但是怎样做才更合理呢？
带着这些困惑，我和学生又继续回头研究课本上的例题，现在我们对这个问题的认识有了很大的变化，逐渐领会到教材编写者的匠心所在，看来这道例题是练习题的“源头”，练习题是例题的“引申”，那么能不能先从改变例题的框图画法入手呢？经过师生讨论首先将教材第7页框图修改如下：
此处的修改分离了原来判断框中的两个条件“r=0？”和“i>n-1”，更符合课本第4页对算法步骤的描述，也没有改变例题的算法功能，还是表示了一旦找到一个不同于1和n的因数就判断n不是质数，则结束算法.那么，要体现不断地输出新的i值——这样一种循环应该如何实现？显然只判断出n是质数是不够的！必须要把“r=0？”这个判断条件及“输出i”，“i=i+1”这两个功能联系起来才行，这样每次判断整除后的因数i都会被及时输出，这才是符合题意的.经过思考画出对应练习第2题解法一的程序框图如下：
这是最后确定的一种画法，其实在画图的过程中还出现过这样的两个错误画法：
错因分析：此处i=1时，r=0总成立，于是进入死循环，无法达到输出n的所有因数的算法功能.
错因分析：此处没有理解前面框图中执行“输出i”的步骤已经包含了因数1和n，因为解法一中的i是从1取到n的，而对于质数而言，所有质数被1，n除均得r=0，所以此处“输出i”的步骤已经包含了因数1和n，不能再画蛇添足了.
最后还是回到练习题第2题的解法二，修改后的程序框图如下：
可知解法二与解法一的区别在于i的值从2取到n-1时进入循环，所以算法步骤中必须要体现添加1，n这一步！这时再考虑学生对解法二提出的第一个问题，如果去掉判断n=2是否成立的这一步，写出的框图会更简洁，更好吗？注意n=2，i=2时会得到r=0，于是执行“输出1，n，i”后i与n值是重复的，如果要修改，恐怕要从i的起始值开始改起了，那么解法二就会失去存在的基础了，所以经过尝试，最终还是保留了原来的算法。
现在回顾从课本的例题到这道练习题，编写者给我们埋下了一条螺旋上升的学习通道，从判断质数到写出因数，我们收获良多，特别是分离两个判断条件提供了一类问题的通解，比如筛选运动员成绩的算法（见教材第20页B组第2题，要求在9人成绩中输出小于6.8s的成绩）就成为一个容易解决的问题，只需将解法一两个判断框中的数据改一下，框图的结构可以完全保留，所以学习难度自然降低了。
经过这一次从节外生枝的作业设想到脚踏实地的校本教研之旅，我才真正体会了校本教研并不神秘，其实素材就在教材中的题目中，只要做个有心人，就会有收获。
作者简介：1994年毕业于北京师范大学，一直从事数学教学工作，并长期任班主任、数学组备课组长。是中学高级教师，并被授予“省级青年教学能手”、“市级教学骨干”、“兰州市优秀班主任”等称号。所主持市级课题获得省级一等奖；在省级刊物上发表多篇论文，并多次获得省市级一、二等奖。