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一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分
1.曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是.
2.若1 5i3-i=a bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=.
3.命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）.
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为.
5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.
6.设M={a|a=（2，0） m（0，1），m∈R}和N={b|b=（1，1） n（1，-1），n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N=.
7.在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=.
8.设等差数列{an}的公差为正数，若a1 a2 a3=15，a1a2a3=80，则a11 a12 a13=.
9.设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（用代号表示）.
10.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x 2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|.下列四个不等关系：f（sinπ6）f（cos1）；f（cos2π3）f（sin2）.其中正确的个数是.
11.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sinA-sinBsinC的值是.
12.已知椭圆x24 y22=1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为.
13.在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC（xy≠0），则4x y的最小值是.
14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分
15.（本小题满分14分）
如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22.求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO.
16.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.
（1）设θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3 1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=3 1，且△ABC的面积为32，求sinA sinB的值.
17.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程.
18.如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上（设为P），在这种情况下，求AD的最小值.
19.已知数列{an}满足an 1 an=4n-3（n∈N）.
（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；
（2）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若对任意n∈N，都有a2n a2n 1an an 1≥5成立，求a1的取值范围.
20.已知波函数f（x）=ax2 lnx，f1（x）=16x2 43x 59lnx，f2（x）=12x2 2ax，a∈R.
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若f（x） （3）当a=23时，求证：在区间（1， ∞）上，满足f1（x） 数学Ⅱ（附加题）
21.【选做题】 本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分
A.选修41：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小.
B.选修42：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=1-1，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=32.求矩阵A.
C.选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=2cosα，y=sinα（α为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=22.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值. D.选修45：不等式选讲
若正数a，b，c满足a b c=1，求13a 2 13b 2 13c 2的最小值.
【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共计20分
22.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO.
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
23.过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段BC上，满足BF=λ2FC，且λ1 λ2=1，线段CD与EF交于点P.
（1）设DP=λPC，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
参考答案
一、填空题
1. x-y-2=0
2. -825
3. 真
4. 2627
5. 2
6. {（2，0）}
7. 12
8. 105
9. ①③④②（或②③④①）
10. 1
11. -12
12. （0，0）
13. 94
14. 216（或者65536）
二、解答题
15.证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，
△ABC为等边三角形.
（1）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO平面ABC，所以BO⊥面PAC.
因为PA平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.
（2）连AF交BE于Q，连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，
于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.
因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO.
注：第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得.
16.解：（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1 cosx）-sinx=2cos（x π6） 3.
由2cos（θ π6） 3=3 1，得cos（θ π6）=12，
于是θ π6=2kπ±π3（k∈Z），因为θ∈[-π2，π2]，所以θ=-π2或π6.
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=π6.
因为△ABC的面积为32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.
由余弦定理得1=a2 b2-2abcosπ6=a2 b2-6，所以a2 b2=7.②
由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.于是a b=2 3.
由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，
所以sinA sinB=12（a b）=1 32.
17.解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），
因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，所以ba2 b2=13，
于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以椭圆E的离心率e=c2a2=78=144.
（2）由e=144可设a=4k（k>0），c=14k，则b=2k，
于是A1B1的方程为：x-22y 4k=0，
故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离
d=|2k 4k|3=2k，
又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A1B1与圆C相切.
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=12，
设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：x-22y 2=0的对称点为（m，n），
则nm-1·24=-1，m 12-22·n2 2=0.
解得m=13，n=423.所以，圆C的方程为（x-13）2 （y-423）2=1.
18.显然A，P两点关于折线DE对称，连结DP，图（2）中，设∠BAP=θ，∠BDP=2θ.
再设AD=x，所以DP=x，DB=10-x.
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ.
在△BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即10-xsin（120°-2θ）=xsin60°，所以x=1032sin（120°-2θ） 3.
因为0°≤θ≤60°，所以0°≤120°-2θ≤120°，所以当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1.此时x取得最小值1032 3=203-30，且∠ADE=75°.
所以AD的最小值为203-30.
19.（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1 （n-1）d，an 1=a1 nd.
由an 1 an=4n-3，得（a1 nd） [a1 （n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a1-d=-3，解得d=2，a1=-12. （2）由an 1 an=4n-3（n∈N），得an 2 an 1=4n 1（n∈N）.
两式相减，得an 2-an=4.
所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列.
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列.
由a2 a1=1，a1=2，得a2=-1.
所以an=2n，n=2k-12n-5，n=2k（k∈Z）.
①当n为奇数时，an=2n，an 1=2n-3.
Sn=a1 a2 a3 … an
=（a1 a2） （a3 a4） … （an-2 an-1） an
=1 9 … （4n-11） 2n
=n-12×（1 4n-11）2 2n=2n2-3n 52.
②当n为偶数时，Sn=a1 a2 a3 … an=（a1 a2） （a3 a4） … （an-1 an）=1 9 … （4n-7）=2n2-3n2.
所以Sn=2n2-3n 52，n=2k-12n2-3n2，n=2k（k∈Z）.
（3）由（2）知，an=2n-2 a1，n=2k-12n-3-a1，n=2k（k∈Z）.
①当n为奇数时，an=2n-2 a1，an 1=2n-1-a1.
由a2n a2n 1an an 1≥5，得a21-a1≥-4n2 16n-10.
令f（n）=-4n2 16n-10=-4（n-2）2 6.
当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a21-a1≥2.
解得a1≥2或a1≤-1.
②当n为偶数时，an=2n-3-a1，an 1=2n a1.
由a2n a2n 1an an 1≥5，得a21 3a1≥-4n2 16n-12.
令g（n）=-4n2 16n-12=-4（n-2）2 4.
当n=2时，g（n）max=4，所以a21 3a1≥4.
解得a1≥1或a1≤-4.
综上所述，a1的取值范围是（-∞，-4]∪[2， ∞）.
20.（1）因为f′（x）=2ax 1x，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae 1e，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（2ae 1e）（x-e） ae2 1，
整理得y-12=（2ae 1e）（x-e2），所以切线恒过定点（e2，12）.
（2）令p（x）=f（x）-f2（x）=（a-12）x2-2ax lnx<0，对x∈（1， ∞）恒成立，
因为p′（x）=（2a-1）x-2a 1x
=（2a-1）x2-2ax 1x
=（x-1）[（2a-1）x-1]x（*）
令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2=12a-1.
①当12x1=1，即120，
此时p（x）在区间（x2， ∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2）， ∞），不合题意；
②当a≥1时，有x2 ③当a≤12时，有2a-1≤0，此时在区间（1， ∞）上恒有p′（x）<0，
从而p（x）在区间（1， ∞）上是减函数；
要使p（x）<0在此区间上恒成立，只需满足p（1）=-a-12≤0a≥-12，
所以-12≤a≤12.
综上可知a的范围是[-12，12].
（3）当a=23时，f1（x）=16x2 43x 59lnx，
f2（x）=12x2 43x，
记y=f2（x）-f1（x）=13x2-59lnx，x∈（1， ∞）.
因为y′=2x3-59x=6x2-59x>0，所以y=f2（x）-f1（x）在（1， ∞）上为增函数，
所以f2（x）-f1（x）>f2（1）-f1（1）=13，
设R（x）=f1（x） 13λ，（0<λ<1），则f1（x） 所以在区间（1， ∞）上，满足f1（x） 附加题
21.A.解：因为MA为圆O的切线，所以MA2=MB·MC.
又M为PA的中点，所以MP2=MB·MC.
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC.
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中，由∠MPB ∠MCP ∠BPC ∠BMP=180°，得∠MPB=20°.
B.解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，
即abcd1-1=-1×1-1，得a-b=-1，c-d=1.
同理可得3a 2b=12，3c 2d=8，解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵A=2321.
C.解：ρcos（θ-π4）=22化简为ρcosθ ρsinθ=4，
则直线l的直角坐标方程为x y=4.
设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离d=|2cosα sinα-4|2，
即d=|5sin（α φ）-4|2，其中cosφ=15，
sinφ=25.
当sin（α φ）=-1时，dmax=22 102.
D.解：因为正数a，b，c满足a b c=1，
所以，（13a 2 13b 2 13c 2）[（3a 2） （3b 2） （3c 2）]≥（1 1 1）2，
即13a 2 13b 2 13c 2≥1，
当且仅当3a 2=3b 2=3c 2，即a=b=c=13时，原式取最小值1.
22.解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A（1，0，0），O（12，12，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
E（14，14，12），
于是DE=（14，14，12），CD1=（0，-1，1）.
由cos=DE·CD1|DE|·|CD1|=36.
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为36.
（2）设平面CD1O的向量为m=（x1，y1，z1），由m·CO=0，m·CD1=0，
得12x1-12y1=0，-y1 z1=0，取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）.
由D1E=λEO，则E（λ2（1 λ），λ2（1 λ），11 λ），DE=（λ2（1 λ），λ2（1 λ），11 λ）.
又设平面CDE的法向量为n=（x2，y2，z2），由n·CD=0，n·DE=0.
得y2=0，λx22（1 λ） λy22（1 λ） z21 λ=0，取x2=2，得z2=-λ，即n=（-2，0，λ）.
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n=0，得λ=2.
23.解：（1）过点A的切线方程为y=x 1.
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点.
1.曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是.
2.若1 5i3-i=a bi（a，b∈R，i为虚数单位），则ab=.
3.命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是命题（填“真”、“假”之一）.
4.把一个体积为27cm3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1cm3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为.
5.某教师出了一份三道题的测试卷，每道题1分，全班得3分、2分、1分和0分的学生所占比例分别为30%、50%、10%和10%，则全班学生的平均分为分.
6.设M={a|a=（2，0） m（0，1），m∈R}和N={b|b=（1，1） n（1，-1），n∈R}都是元素为向量的集合，则M∩N=.
7.在如图所示的算法流程图中，若输入m=4，n=3，则输出的a=.
8.设等差数列{an}的公差为正数，若a1 a2 a3=15，a1a2a3=80，则a11 a12 a13=.
9.设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：（用代号表示）.
10.定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（x 2），当x∈[3，5]时，f（x）=2-|x-4|.下列四个不等关系：f（sinπ6）
11.在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是双曲线x2-y23=1的左、右焦点，△ABC的顶点C在双曲线的右支上，则sinA-sinBsinC的值是.
12.已知椭圆x24 y22=1，A，B是其左、右顶点，动点M满足MB⊥AB，连接AM交椭圆于点P，在x轴上有异于点A，B的定点Q，以MP为直径的圆经过直线BP，MQ的交点，则点Q的坐标为.
13.在△ABC中，过中线AD中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设AM=xAB，AN=yAC（xy≠0），则4x y的最小值是.
14.如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分
15.（本小题满分14分）
如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB=BC=AC=4，PA=PC=22.求证：
（1）PA⊥平面EBO；
（2）FG∥平面EBO.
16.（本小题满分14分）
已知函数f（x）=2cosx2（3cosx2-sinx2）.
（1）设θ∈[-π2，π2]，且f（θ）=3 1，求θ的值；
（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=3 1，且△ABC的面积为32，求sinA sinB的值.
17.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆E：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A1、A2，上、下顶点分别为B1、B2.设直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，圆C与以线段OA2为直径的圆关于直线A1B1对称.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线A1B1与圆C的位置关系，并说明理由；
（3）若圆C的面积为π，求圆C的方程.
18.如图，在边长为10的正三角形纸片ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使沿线段DE折叠三角形纸片后，顶点A正好落在边BC上（设为P），在这种情况下，求AD的最小值.
19.已知数列{an}满足an 1 an=4n-3（n∈N）.
（1）若数列{an}是等差数列，求a1的值；
（2）当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn；
（3）若对任意n∈N，都有a2n a2n 1an an 1≥5成立，求a1的取值范围.
20.已知波函数f（x）=ax2 lnx，f1（x）=16x2 43x 59lnx，f2（x）=12x2 2ax，a∈R.
（1）求证：函数f（x）在点（e，f（e））处的切线恒过定点，并求出定点坐标；
（2）若f（x）
21.【选做题】 本题包括A，B，C，D四小题，请选定其中两题作答，每小题10分，共计20分
A.选修41：几何证明选讲
自圆O外一点P引圆的一条切线PA，切点为A，M为PA的中点，过点M引圆O的割线交该圆于B、C两点，且∠BMP=100°，∠BPC=40°，求∠MPB的大小.
B.选修42：矩阵与变换
已知二阶矩阵A=abcd，矩阵A属于特征值λ1=-1的一个特征向量为α1=1-1，属于特征值λ2=4的一个特征向量为α2=32.求矩阵A.
C.选修44：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为x=2cosα，y=sinα（α为参数）.以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos（θ-π4）=22.点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值. D.选修45：不等式选讲
若正数a，b，c满足a b c=1，求13a 2 13b 2 13c 2的最小值.
【必做题】 第22题、第23题，每题10分，共计20分
22.在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO.
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值.
23.过抛物线y2=4x上一点A（1，2）作抛物线的切线，分别交x轴于点B，交y轴于点D，点C（异于点A）在抛物线上，点E在线段AC上，满足AE=λ1EC；点F在线段BC上，满足BF=λ2FC，且λ1 λ2=1，线段CD与EF交于点P.
（1）设DP=λPC，求λ；
（2）当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.
参考答案
一、填空题
1. x-y-2=0
2. -825
3. 真
4. 2627
5. 2
6. {（2，0）}
7. 12
8. 105
9. ①③④②（或②③④①）
10. 1
11. -12
12. （0，0）
13. 94
14. 216（或者65536）
二、解答题
15.证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，
△ABC为等边三角形.
（1）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
BO平面ABC，所以BO⊥面PAC.
因为PA平面PAC，所以BO⊥PA，
在等腰三角形PAC内，O，E为所在边的中点，所以OE⊥PA，
又BO∩OE=O，所以PA⊥平面EBO.
（2）连AF交BE于Q，连QO.
因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，
所以AOOG=2，且Q是△PAB的重心，
于是AQQF=2=AOOG，所以FG∥QO.
因为FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO.
注：第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得.
16.解：（1）f（x）=23cos2x2-2sinx2cosx2=3（1 cosx）-sinx=2cos（x π6） 3.
由2cos（θ π6） 3=3 1，得cos（θ π6）=12，
于是θ π6=2kπ±π3（k∈Z），因为θ∈[-π2，π2]，所以θ=-π2或π6.
（2）因为C∈（0，π），由（1）知C=π6.
因为△ABC的面积为32，所以32=12absinπ6，于是ab=23.①
在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b.
由余弦定理得1=a2 b2-2abcosπ6=a2 b2-6，所以a2 b2=7.②
由①②可得a=2，b=3或a=3，b=2.于是a b=2 3.
由正弦定理得sinAa=sinBb=sinC1=12，
所以sinA sinB=12（a b）=1 32.
17.解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），
因为直线A1B1的倾斜角的正弦值为13，所以ba2 b2=13，
于是a2=8b2，即a2=8（a2-c2），所以椭圆E的离心率e=c2a2=78=144.
（2）由e=144可设a=4k（k>0），c=14k，则b=2k，
于是A1B1的方程为：x-22y 4k=0，
故OA2的中点（2k，0）到A1B1的距离
d=|2k 4k|3=2k，
又以OA2为直径的圆的半径r=2k，即有d=r，
所以直线A1B1与圆C相切.
（3）由圆C的面积为π知圆半径为1，从而k=12，
设OA2的中点（1，0）关于直线A1B1：x-22y 2=0的对称点为（m，n），
则nm-1·24=-1，m 12-22·n2 2=0.
解得m=13，n=423.所以，圆C的方程为（x-13）2 （y-423）2=1.
18.显然A，P两点关于折线DE对称，连结DP，图（2）中，设∠BAP=θ，∠BDP=2θ.
再设AD=x，所以DP=x，DB=10-x.
在△ABC中，∠APB=180°-∠ABP-∠BAP=120°-θ.
在△BDP中，由正弦定理知BDsin∠BPD=DPsin∠DBP，即10-xsin（120°-2θ）=xsin60°，所以x=1032sin（120°-2θ） 3.
因为0°≤θ≤60°，所以0°≤120°-2θ≤120°，所以当120°-2θ=90°，即θ=15°时，sin（120°-2θ）=1.此时x取得最小值1032 3=203-30，且∠ADE=75°.
所以AD的最小值为203-30.
19.（1）若数列{an}是等差数列，则an=a1 （n-1）d，an 1=a1 nd.
由an 1 an=4n-3，得（a1 nd） [a1 （n-1）d]=4n-3，即2d=4，2a1-d=-3，解得d=2，a1=-12. （2）由an 1 an=4n-3（n∈N），得an 2 an 1=4n 1（n∈N）.
两式相减，得an 2-an=4.
所以数列{a2n-1}是首项为a1，公差为4的等差数列.
数列{a2n}是首项为a2，公差为4的等差数列.
由a2 a1=1，a1=2，得a2=-1.
所以an=2n，n=2k-12n-5，n=2k（k∈Z）.
①当n为奇数时，an=2n，an 1=2n-3.
Sn=a1 a2 a3 … an
=（a1 a2） （a3 a4） … （an-2 an-1） an
=1 9 … （4n-11） 2n
=n-12×（1 4n-11）2 2n=2n2-3n 52.
②当n为偶数时，Sn=a1 a2 a3 … an=（a1 a2） （a3 a4） … （an-1 an）=1 9 … （4n-7）=2n2-3n2.
所以Sn=2n2-3n 52，n=2k-12n2-3n2，n=2k（k∈Z）.
（3）由（2）知，an=2n-2 a1，n=2k-12n-3-a1，n=2k（k∈Z）.
①当n为奇数时，an=2n-2 a1，an 1=2n-1-a1.
由a2n a2n 1an an 1≥5，得a21-a1≥-4n2 16n-10.
令f（n）=-4n2 16n-10=-4（n-2）2 6.
当n=1或n=3时，f（n）max=2，所以a21-a1≥2.
解得a1≥2或a1≤-1.
②当n为偶数时，an=2n-3-a1，an 1=2n a1.
由a2n a2n 1an an 1≥5，得a21 3a1≥-4n2 16n-12.
令g（n）=-4n2 16n-12=-4（n-2）2 4.
当n=2时，g（n）max=4，所以a21 3a1≥4.
解得a1≥1或a1≤-4.
综上所述，a1的取值范围是（-∞，-4]∪[2， ∞）.
20.（1）因为f′（x）=2ax 1x，所以f（x）在点（e，f（e））处的切线的斜率为k=2ae 1e，
所以f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=（2ae 1e）（x-e） ae2 1，
整理得y-12=（2ae 1e）（x-e2），所以切线恒过定点（e2，12）.
（2）令p（x）=f（x）-f2（x）=（a-12）x2-2ax lnx<0，对x∈（1， ∞）恒成立，
因为p′（x）=（2a-1）x-2a 1x
=（2a-1）x2-2ax 1x
=（x-1）[（2a-1）x-1]x（*）
令p′（x）=0，得极值点x1=1，x2=12a-1.
①当12
此时p（x）在区间（x2， ∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2）， ∞），不合题意；
②当a≥1时，有x2
从而p（x）在区间（1， ∞）上是减函数；
要使p（x）<0在此区间上恒成立，只需满足p（1）=-a-12≤0a≥-12，
所以-12≤a≤12.
综上可知a的范围是[-12，12].
（3）当a=23时，f1（x）=16x2 43x 59lnx，
f2（x）=12x2 43x，
记y=f2（x）-f1（x）=13x2-59lnx，x∈（1， ∞）.
因为y′=2x3-59x=6x2-59x>0，所以y=f2（x）-f1（x）在（1， ∞）上为增函数，
所以f2（x）-f1（x）>f2（1）-f1（1）=13，
设R（x）=f1（x） 13λ，（0<λ<1），则f1（x）
21.A.解：因为MA为圆O的切线，所以MA2=MB·MC.
又M为PA的中点，所以MP2=MB·MC.
因为∠BMP=∠PMC，所以△BMP∽△PMC.
于是∠MPB=∠MCP.
在△MCP中，由∠MPB ∠MCP ∠BPC ∠BMP=180°，得∠MPB=20°.
B.解：由特征值、特征向量定义可知，Aα1=λ1α1，
即abcd1-1=-1×1-1，得a-b=-1，c-d=1.
同理可得3a 2b=12，3c 2d=8，解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩阵A=2321.
C.解：ρcos（θ-π4）=22化简为ρcosθ ρsinθ=4，
则直线l的直角坐标方程为x y=4.
设点P的坐标为（2cosα，sinα），得P到直线l的距离d=|2cosα sinα-4|2，
即d=|5sin（α φ）-4|2，其中cosφ=15，
sinφ=25.
当sin（α φ）=-1时，dmax=22 102.
D.解：因为正数a，b，c满足a b c=1，
所以，（13a 2 13b 2 13c 2）[（3a 2） （3b 2） （3c 2）]≥（1 1 1）2，
即13a 2 13b 2 13c 2≥1，
当且仅当3a 2=3b 2=3c 2，即a=b=c=13时，原式取最小值1.
22.解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA，DC，DD1
为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
则A（1，0，0），O（12，12，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），
E（14，14，12），
于是DE=（14，14，12），CD1=（0，-1，1）.
由cos
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为36.
（2）设平面CD1O的向量为m=（x1，y1，z1），由m·CO=0，m·CD1=0，
得12x1-12y1=0，-y1 z1=0，取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）.
由D1E=λEO，则E（λ2（1 λ），λ2（1 λ），11 λ），DE=（λ2（1 λ），λ2（1 λ），11 λ）.
又设平面CDE的法向量为n=（x2，y2，z2），由n·CD=0，n·DE=0.
得y2=0，λx22（1 λ） λy22（1 λ） z21 λ=0，取x2=2，得z2=-λ，即n=（-2，0，λ）.
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m·n=0，得λ=2.
23.解：（1）过点A的切线方程为y=x 1.
切线交x轴于点B（-1，0），交y轴交于点D（0，1），则D是AB的中点.