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摘要：稳态误差是控制系统分析中一个重要的性能指标。在自动控制理论课程中稳态误差是线性系统时域分析法这一章的重点内容之一。本文从基本概念的理解、计算方法的掌握、例题和习题的选取等方面对稳态误差的教学方法进行了探讨。在教学过程中切实把握好这些方面可以使学生更好地理解稳态误差的概念、掌握正确的稳态误差计算方法，从而达到更好的教学效果。
关键词：自动控制理论；稳态误差；教学方法
《自动控制理论》课是自动化专业及相关专业的专业基础课，学好《自动控制理论》对于自动化专业的学生学习后续专业课程十分重要。控制系统的分析是《自动控制理论》课程的主要内容之一，在“线性系统的时域分析”一章中对于系统的稳态分析，即控制系统的准确性分析，就体现在稳态误差这一性能指标上。为了使学生更好地掌握稳态误差这个知识点，在教学过程中，从稳态误差概念的引入和理解，到稳态误差的具体求法；从开环传递函数形式的差异和使用场合，到系统按积分环节进行分类；从有针对性的例题讲解和习题选择，到启发讨论式讲解如何消除稳态误差等方面应特别注意教学方法。只有把握好这几个方面，有层次地进行知识的讲解，才能得到更好的教学效果。
一、强化稳态误差概念的理解
在控制系统的动态性能分析和稳定性分析等内容讲解后，开始讲解控制系统稳态性能的分析。首先引入稳态误差的概念：系统的稳态误差是指在稳态条件下（即对于稳定的系统）输入加入后经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道时，稳态响应的期望值与实际值之间的误差[1]。在讲课中要注意强调造成稳态误差的原因是多方面的，而在“线性系统的时域分析”这一章里研究的主要是由于系统结构、参量以及输入的不同形式而引起的稳态误差。
误差有两种不同的定义方法：一种是从系统输入端定义，即E（s）=R（s）-H（s）C（s）；另一种是从系统输出端来定义，即定义为系统输出量的期望值与实际值之差。这两种定义误差的方法存在着内在联系，对于单位反馈控制系统，两种误差定义的方法是一致的。第一种定义的误差，在实际系统中是可以测量到的，具有一定的物理意义；第二种定义的误差在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义。一般情况都采用第一种定义的误差来计算和分析系统的稳态误差。
要强调稳态误差大的系统并不是不稳定的系统。在讲过稳态误差的基本概念后，我们会给学生提出这样一个问题：一个控制系统的稳态误差随着时间的增加越来越大，这个系统是否稳定？有些同学会回答系统是不稳定的。这实际上是没有搞清楚稳定和稳态误差的概念。稳态误差是当某种特定类型的输入作用于控制系统后，系统达到稳态时系统精度的度量。而系统的稳定是指系统在干扰的作用下偏离原来的平衡状态，当干扰作用消失后，能够恢复到原始平衡状态。或者说系统的零输入响应具有收敛的性质，则系统是稳定的。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外接条件无关。通过这个提问，使学生更加准确地掌握稳定性和稳态误差的概念。使学生理解系统的稳态误差大并不表明系统不稳定，而是表明这个系统对于某个输入不能跟踪或者是稳态精度很差的系统。对于这样的系统，在实际应用中需要采取措施来消除稳态误差。讲课过程中要强调只有稳定的系统才有稳态误差存在，所以，要求学生在求稳态误差前一定要用Routh判据判断系统是否稳定。只有判断系统是稳定后，再去求系统的稳态误差。如果系统是不稳定的，就根本不需要求稳态误差。
二、强调系统开环传递函数表达形式的差异
当系统的输入是一些典型输入信号，而且只需求得稳态误差的终值时，可以利用Laplace变换终值定理，利用稳态误差系数来求取稳态误差。在讲课过程中，要强调系统的开环传递函数可以有不同的表示方法。
闭环控制系统的开环传递函数可以表示为时间常数形式的开环传递函数：
也可以将开环传递函数写成零极点形式，如下所示：
利用Laplace变换终值定理，ess=■sE（s）。针对不同的典型输入信号（如阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入等），可求得相应的静态误差系数为：位置误差系数Kp=■sG（s）H（s）；速度误差系数Kv=■sG（s）H（s）；加速度误差系数Ka=■s2G（s）H（s）。
在这部分的讲解中要重点强调以下几点：
1.稳态误差系数由于开环传递函数中包含积分环节个数v的不同而不同，其中Kp的数值可能为常数值或无穷大两种情况，而Kv和Ka的数值可能为零、常数值或无穷大三种情况。只有当开环传递函数写成时间常数形式的时候，稳态误差系数是常数值时，其值就是开环增益K。如果开环传递函数写成零极点形式，稳态误差系数是常数值时，其值不是增益K1。
2.对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，可以按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类，即系统的“型”。强调系统“型”的分类是按照开环传递函数中积分环节的个数来定义的，而系统的阶次是按照闭环系统的特征多项式的最高阶次来定义的。一个高阶系统可能只是一个零型系统，而一个I型系统，可以是一个高阶系统。
3.开环传递函数的两种表达形式是有差异的，同时又是有联系的。它们适用于不同的场合。时间常数形式的开环传递函数表达式应用于求稳态误差以及进行频域分析；而零极点形式的开环传递函数适用于根轨迹的绘制。在这里先给学生讲明，到了后面讲根轨迹和频域分析法时再强调一下，这样可以使学生的印象比较深刻。
三、正确选择稳态误差的计算的方法
求取稳态误差的方法主要有以下几种：Laplace反变换法、终值定理法、静态误差系数法、误差级数法等。在这部分内容的讲解过程中，要重点讲解以下几点：
1.对于给定的控制系统，如果只需求得稳态误差的终值时，可以利用Laplace变换终值定理来求取稳态误差，但需要注意使用的条件。在教学过程中，应该强调如果有理函数sE（s）除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即sE（s）的极点均位于s左半平面（包括坐标原点），则可根据终值定理来求系统的稳态误差。
2.直接利用静态误差系数法求稳态误差时，应注意对于单位阶跃、单位斜坡、单位抛物线输入，稳态误差分别为1/（1+Kp）、1/Kv、1/Ka，当不是单位输入时，如输入分别为R·1（t）、R·t和R·t2时应注意稳态误差分别为R/（1+Kp）、R/Kv、2R/Ka。
3.如果在需要知道稳态误差随时间变化的情况，或者有理函数sE（s）除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上不解析，就不能用终值定理去求稳态误差了。这时就应该利用误差级数法去求稳态误差。
ess（t）=C0r（t）+C1■（t）+■■（t）+…
其中，稳态误差系数为：Ci=■■Φe（s），i=0，1，2，…。
稳态误差级数方法可以应用于任意分段连续时间函数的输入，所得结果能充分显示稳态误差随时间变化的情况。
例如，当输入为r（t）=sin2t时，就必须用稳态误差级数法求取稳态误差。
4.对于扰动引起的稳态误差，应该指出，扰动引起的输出是不希望的，就是误差。因此有扰动误差传递函数为Φn（s）=C（s）/N（s），则扰动引起的稳态误差为E（s）=Φn（s）N（s）。
同样，可以根据扰动量的性质，采用终值定理或者误差级数法等方法求取扰动引起的稳态误差。在讲解过给定引起的稳态误差后，可以将相应的求解方法引申应用到扰动引起的稳态误差的求取，但是要注意强调误差传递函数的不同。在讲课过程中还要强调扰动作用点前后积分环节对稳态误差影响的不同。
四、恰当选择课堂举例和课后练习
在讲授了稳态误差的概念和求取方法后，课程上举例要有的放矢，有针对性。可将例子分为以下几个方面：
1.根据开环传递函数求取稳态误差系数，然后求稳态误差。需要强调的是这种方法适合于只求稳态误差的终值，而且系统的输入为阶跃输入、斜坡输入和抛物线输入等典型输入；对于线性定常系统，可以利用叠加原理来求输入的稳态误差，如当输入为r（t）=2·1（t）+6t+3t2时，稳态误差为ess=2/（1+Kp）+6/Kv+6/Ka。
2.直接利用终值定理求取稳态误差。这种类型的例题，给出系统的结构图，然后利用方框图的等效变换或者Mason增益公式首先求出E（s）/R（s）或C（s）/N（s），然后利用终值定理求出稳态误差ess=■sE（s）。同样需要注意的是一定要满足使用终值定理的条件。
3.利用稳态误差级数法，求取稳态误差。输入信号是正弦信号或需要知道稳态误差随时间变化的情况，利用稳态误差级数法求取稳态误差。首先求出Φe（s），然后求出相应的动态误差系数，最后得到随时间变化的稳态误差。将利用静态稳态误差系数求稳态误差的例子，在这里用稳态误差级数法再求一遍，所得结果当时间t趋于无穷大时和前面求出的是一致的。这样可以加深学生对两种方法的理解。
4.利用对稳态误差的要求，求取系统的某个参数。系统的某个参数未知，如开环增益K等。要求稳态误差满足一定的要求，首先求出E（s），然后利用终值定理或稳态误差级数法，在满足稳态误差的情况下求出待求参数。
最后结合例题，总结减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差的措施：
①增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通道增益；②在系统的前向通道或主反馈通道增加串联积分环节，可以消除系统在特定输入信号形式和特定扰动作用形式下的稳态误差；③采用串级控制抑制内回路扰动；④采用前馈补偿方法，既可使系统有较高的问题精度，又可有良好的动态性能。
在习题方面，通过有针对性地选择习题，让学生做不同类型的题目，使学生通过做习题的过程，加深对课堂讲解知识的理解，巩固课堂所学的内容，更好地掌握相应的知识点。习题主要分为以下几类：
①已知系统的结构图，利用终值定理求取系统的稳态误差；②已知系统的开环传递函数，求取系统的位置、速度和加速度误差系数，并求系统的稳态误差；③已知系统的开环传递函数，给定不同的典型输入的线性组合，求系统的稳态误差；④已知系统的结构图，并给定系统的输入，求系统的稳态误差级数；⑤给定系统的结构图，并给出对给定输入的稳态误差要求，求系统的某个待定参数值。
例子的讲解和习题的求解都是为使学生更好地掌握所学知识。在例子的讲解过程中一定要用启发的方式去讲解，有些例子可首先给学生一定的思考时间，然后让学生提出求解的方法，最后再一步一步地讲解。这样能够给学生留下比较深刻的印象。另外，习题做的不一定多，但每个习题一定要有代表性。
五、结论
控制系统的稳态误差求取是系统分析的一个重要方面。本文就如何更好地讲授稳态误差的相关知识进行了探讨。从基本概念的理解、开环传递函数的表达式差异到稳态误差的不同求取方法以及课堂例题和课下习题的选择等方面给出了在教学过程中应注意问题和相应教学方法。在《自动控制理论》课程的教学过程中，只有根据不同的知识点，采取相应的教学方法，才能够更好地进行知识的传授，并使学生地理解和掌握好相关的理论知识。
参考文献：
[1]夏德钤，翁贻方.自动控制理论[M].第3版.机械工业出版社，2007.
[2]胡寿松.自动控制原理[M].第4版.科学出版社，2001.
关键词：自动控制理论；稳态误差；教学方法
《自动控制理论》课是自动化专业及相关专业的专业基础课，学好《自动控制理论》对于自动化专业的学生学习后续专业课程十分重要。控制系统的分析是《自动控制理论》课程的主要内容之一，在“线性系统的时域分析”一章中对于系统的稳态分析，即控制系统的准确性分析，就体现在稳态误差这一性能指标上。为了使学生更好地掌握稳态误差这个知识点，在教学过程中，从稳态误差概念的引入和理解，到稳态误差的具体求法；从开环传递函数形式的差异和使用场合，到系统按积分环节进行分类；从有针对性的例题讲解和习题选择，到启发讨论式讲解如何消除稳态误差等方面应特别注意教学方法。只有把握好这几个方面，有层次地进行知识的讲解，才能得到更好的教学效果。
一、强化稳态误差概念的理解
在控制系统的动态性能分析和稳定性分析等内容讲解后，开始讲解控制系统稳态性能的分析。首先引入稳态误差的概念：系统的稳态误差是指在稳态条件下（即对于稳定的系统）输入加入后经过足够长的时间，其暂态响应已经衰减到微不足道时，稳态响应的期望值与实际值之间的误差[1]。在讲课中要注意强调造成稳态误差的原因是多方面的，而在“线性系统的时域分析”这一章里研究的主要是由于系统结构、参量以及输入的不同形式而引起的稳态误差。
误差有两种不同的定义方法：一种是从系统输入端定义，即E（s）=R（s）-H（s）C（s）；另一种是从系统输出端来定义，即定义为系统输出量的期望值与实际值之差。这两种定义误差的方法存在着内在联系，对于单位反馈控制系统，两种误差定义的方法是一致的。第一种定义的误差，在实际系统中是可以测量到的，具有一定的物理意义；第二种定义的误差在系统性能指标的提法中经常使用，但在实际系统中有时无法量测，因而一般只有数学意义。一般情况都采用第一种定义的误差来计算和分析系统的稳态误差。
要强调稳态误差大的系统并不是不稳定的系统。在讲过稳态误差的基本概念后，我们会给学生提出这样一个问题：一个控制系统的稳态误差随着时间的增加越来越大，这个系统是否稳定？有些同学会回答系统是不稳定的。这实际上是没有搞清楚稳定和稳态误差的概念。稳态误差是当某种特定类型的输入作用于控制系统后，系统达到稳态时系统精度的度量。而系统的稳定是指系统在干扰的作用下偏离原来的平衡状态，当干扰作用消失后，能够恢复到原始平衡状态。或者说系统的零输入响应具有收敛的性质，则系统是稳定的。线性系统的稳定性仅取决于系统自身的固有特性，而与外接条件无关。通过这个提问，使学生更加准确地掌握稳定性和稳态误差的概念。使学生理解系统的稳态误差大并不表明系统不稳定，而是表明这个系统对于某个输入不能跟踪或者是稳态精度很差的系统。对于这样的系统，在实际应用中需要采取措施来消除稳态误差。讲课过程中要强调只有稳定的系统才有稳态误差存在，所以，要求学生在求稳态误差前一定要用Routh判据判断系统是否稳定。只有判断系统是稳定后，再去求系统的稳态误差。如果系统是不稳定的，就根本不需要求稳态误差。
二、强调系统开环传递函数表达形式的差异
当系统的输入是一些典型输入信号，而且只需求得稳态误差的终值时，可以利用Laplace变换终值定理，利用稳态误差系数来求取稳态误差。在讲课过程中，要强调系统的开环传递函数可以有不同的表示方法。
闭环控制系统的开环传递函数可以表示为时间常数形式的开环传递函数：
也可以将开环传递函数写成零极点形式，如下所示：
利用Laplace变换终值定理，ess=■sE（s）。针对不同的典型输入信号（如阶跃输入、斜坡输入、抛物线输入等），可求得相应的静态误差系数为：位置误差系数Kp=■sG（s）H（s）；速度误差系数Kv=■sG（s）H（s）；加速度误差系数Ka=■s2G（s）H（s）。
在这部分的讲解中要重点强调以下几点：
1.稳态误差系数由于开环传递函数中包含积分环节个数v的不同而不同，其中Kp的数值可能为常数值或无穷大两种情况，而Kv和Ka的数值可能为零、常数值或无穷大三种情况。只有当开环传递函数写成时间常数形式的时候，稳态误差系数是常数值时，其值就是开环增益K。如果开环传递函数写成零极点形式，稳态误差系数是常数值时，其值不是增益K1。
2.对于一个给定的稳定系统，当输入信号形式一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，可以按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类，即系统的“型”。强调系统“型”的分类是按照开环传递函数中积分环节的个数来定义的，而系统的阶次是按照闭环系统的特征多项式的最高阶次来定义的。一个高阶系统可能只是一个零型系统，而一个I型系统，可以是一个高阶系统。
3.开环传递函数的两种表达形式是有差异的，同时又是有联系的。它们适用于不同的场合。时间常数形式的开环传递函数表达式应用于求稳态误差以及进行频域分析；而零极点形式的开环传递函数适用于根轨迹的绘制。在这里先给学生讲明，到了后面讲根轨迹和频域分析法时再强调一下，这样可以使学生的印象比较深刻。
三、正确选择稳态误差的计算的方法
求取稳态误差的方法主要有以下几种：Laplace反变换法、终值定理法、静态误差系数法、误差级数法等。在这部分内容的讲解过程中，要重点讲解以下几点：
1.对于给定的控制系统，如果只需求得稳态误差的终值时，可以利用Laplace变换终值定理来求取稳态误差，但需要注意使用的条件。在教学过程中，应该强调如果有理函数sE（s）除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上解析，即sE（s）的极点均位于s左半平面（包括坐标原点），则可根据终值定理来求系统的稳态误差。
2.直接利用静态误差系数法求稳态误差时，应注意对于单位阶跃、单位斜坡、单位抛物线输入，稳态误差分别为1/（1+Kp）、1/Kv、1/Ka，当不是单位输入时，如输入分别为R·1（t）、R·t和R·t2时应注意稳态误差分别为R/（1+Kp）、R/Kv、2R/Ka。
3.如果在需要知道稳态误差随时间变化的情况，或者有理函数sE（s）除在原点处有唯一的极点外，在s右半平面及虚轴上不解析，就不能用终值定理去求稳态误差了。这时就应该利用误差级数法去求稳态误差。
ess（t）=C0r（t）+C1■（t）+■■（t）+…
其中，稳态误差系数为：Ci=■■Φe（s），i=0，1，2，…。
稳态误差级数方法可以应用于任意分段连续时间函数的输入，所得结果能充分显示稳态误差随时间变化的情况。
例如，当输入为r（t）=sin2t时，就必须用稳态误差级数法求取稳态误差。
4.对于扰动引起的稳态误差，应该指出，扰动引起的输出是不希望的，就是误差。因此有扰动误差传递函数为Φn（s）=C（s）/N（s），则扰动引起的稳态误差为E（s）=Φn（s）N（s）。
同样，可以根据扰动量的性质，采用终值定理或者误差级数法等方法求取扰动引起的稳态误差。在讲解过给定引起的稳态误差后，可以将相应的求解方法引申应用到扰动引起的稳态误差的求取，但是要注意强调误差传递函数的不同。在讲课过程中还要强调扰动作用点前后积分环节对稳态误差影响的不同。
四、恰当选择课堂举例和课后练习
在讲授了稳态误差的概念和求取方法后，课程上举例要有的放矢，有针对性。可将例子分为以下几个方面：
1.根据开环传递函数求取稳态误差系数，然后求稳态误差。需要强调的是这种方法适合于只求稳态误差的终值，而且系统的输入为阶跃输入、斜坡输入和抛物线输入等典型输入；对于线性定常系统，可以利用叠加原理来求输入的稳态误差，如当输入为r（t）=2·1（t）+6t+3t2时，稳态误差为ess=2/（1+Kp）+6/Kv+6/Ka。
2.直接利用终值定理求取稳态误差。这种类型的例题，给出系统的结构图，然后利用方框图的等效变换或者Mason增益公式首先求出E（s）/R（s）或C（s）/N（s），然后利用终值定理求出稳态误差ess=■sE（s）。同样需要注意的是一定要满足使用终值定理的条件。
3.利用稳态误差级数法，求取稳态误差。输入信号是正弦信号或需要知道稳态误差随时间变化的情况，利用稳态误差级数法求取稳态误差。首先求出Φe（s），然后求出相应的动态误差系数，最后得到随时间变化的稳态误差。将利用静态稳态误差系数求稳态误差的例子，在这里用稳态误差级数法再求一遍，所得结果当时间t趋于无穷大时和前面求出的是一致的。这样可以加深学生对两种方法的理解。
4.利用对稳态误差的要求，求取系统的某个参数。系统的某个参数未知，如开环增益K等。要求稳态误差满足一定的要求，首先求出E（s），然后利用终值定理或稳态误差级数法，在满足稳态误差的情况下求出待求参数。
最后结合例题，总结减小或消除系统在输入信号和扰动作用下的稳态误差的措施：
①增大系统开环增益或扰动作用点之前系统前向通道增益；②在系统的前向通道或主反馈通道增加串联积分环节，可以消除系统在特定输入信号形式和特定扰动作用形式下的稳态误差；③采用串级控制抑制内回路扰动；④采用前馈补偿方法，既可使系统有较高的问题精度，又可有良好的动态性能。
在习题方面，通过有针对性地选择习题，让学生做不同类型的题目，使学生通过做习题的过程，加深对课堂讲解知识的理解，巩固课堂所学的内容，更好地掌握相应的知识点。习题主要分为以下几类：
①已知系统的结构图，利用终值定理求取系统的稳态误差；②已知系统的开环传递函数，求取系统的位置、速度和加速度误差系数，并求系统的稳态误差；③已知系统的开环传递函数，给定不同的典型输入的线性组合，求系统的稳态误差；④已知系统的结构图，并给定系统的输入，求系统的稳态误差级数；⑤给定系统的结构图，并给出对给定输入的稳态误差要求，求系统的某个待定参数值。
例子的讲解和习题的求解都是为使学生更好地掌握所学知识。在例子的讲解过程中一定要用启发的方式去讲解，有些例子可首先给学生一定的思考时间，然后让学生提出求解的方法，最后再一步一步地讲解。这样能够给学生留下比较深刻的印象。另外，习题做的不一定多，但每个习题一定要有代表性。
五、结论
控制系统的稳态误差求取是系统分析的一个重要方面。本文就如何更好地讲授稳态误差的相关知识进行了探讨。从基本概念的理解、开环传递函数的表达式差异到稳态误差的不同求取方法以及课堂例题和课下习题的选择等方面给出了在教学过程中应注意问题和相应教学方法。在《自动控制理论》课程的教学过程中，只有根据不同的知识点，采取相应的教学方法，才能够更好地进行知识的传授，并使学生地理解和掌握好相关的理论知识。
参考文献：
[1]夏德钤，翁贻方.自动控制理论[M].第3版.机械工业出版社，2007.
[2]胡寿松.自动控制原理[M].第4版.科学出版社，2001.