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当代著名的计算数论专家卡尔,1944年出生于美国密苏里州的乔普林。他于1972年获得哈佛大学博士学位,博士论文中证明了任何奇完美数至少有7个不同的质因数,毕业后就职于乔治亚大学,并于1982年成为终身教授。他曾在多家学术机构和著名大学任职,荣获多项国际数学大奖,出版过多部数学著作,发表学术论文近200篇,在国际数论研究领域有广泛的影响。
卡尔曾回忆学生时代发生过的一件有趣的事情:上中学时,一次他去参加数学竞赛,其中一道题是分解自然数8051。求解这种题的常规方法是大家熟悉的因数检验法, 然而他没有使用一般的因数检验法,而是动脑筋,试图发现8051的因数的简单算法。但是在规定的时间内卡尔失败了,因而与获奖失之交臂。分解质因数是整数乘法的逆运算,实现这种反向任务有时异常艰难,而我们大家熟知的互联网安全正是建立在“分解出大整数的约数(通常是质数)是极其困难的问题”这一基础上的。
事实上,8051存在简单的分解方法:8051=8100-49=902-72=(90 7)(90-7)=97×83。
失利的卡爾并没有放弃对问题的深入思考,他给自己提出了一个挑战性的问题:一个能够分解的整数是否一定是两个整数的平方差?经过进一步的思考,卡尔得到一个数论上很有名的定理:每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。
证明:若c是奇合数,则必存在大于1的奇数m、n,使得c=mn。
当m=n时,c=m2-02,且m 0=m-0=m>1,结论成立;
当m≠n时,不妨设m>n,x=[m n2],y=[m-n2],因为m、n均为奇数,所以x、y均为整数,且x y=m>1,x-y=n>1,c=mn=(x y)(x-y),结论成立;
综合上述两种情况,结论得证。
俄罗斯著名作家托尔斯泰说:为灵魂建一块高地,才能俯视尘埃,从容自信,不流世俗。卡尔的故事告诉我们:在研究数学问题时一定要锲而不舍,只要意志力坚强,多难的数学问题都是能搞清楚的;遇到难题时,做一次就能做明白的很少,能完整地记住它的更少,做一遍,隔一段时间再研究一遍,过一段时间再总结一遍,这样三番五次地研究它,你将永远记住它;如果一时受困于某个具体问题,要学会转换思考的视角,敢于猜想,敢于提出问题,积极形成反思的意识;在学习时一定要善于动脑,多思考,凡事问一个“为什么”,养成探究问题、大胆质疑的习惯,所谓“学贵有疑,小疑则小进,大疑则大进”。
(作者单位:江苏省东台市实验中学教育集团中心校区)
卡尔曾回忆学生时代发生过的一件有趣的事情:上中学时,一次他去参加数学竞赛,其中一道题是分解自然数8051。求解这种题的常规方法是大家熟悉的因数检验法, 然而他没有使用一般的因数检验法,而是动脑筋,试图发现8051的因数的简单算法。但是在规定的时间内卡尔失败了,因而与获奖失之交臂。分解质因数是整数乘法的逆运算,实现这种反向任务有时异常艰难,而我们大家熟知的互联网安全正是建立在“分解出大整数的约数(通常是质数)是极其困难的问题”这一基础上的。
事实上,8051存在简单的分解方法:8051=8100-49=902-72=(90 7)(90-7)=97×83。
失利的卡爾并没有放弃对问题的深入思考,他给自己提出了一个挑战性的问题:一个能够分解的整数是否一定是两个整数的平方差?经过进一步的思考,卡尔得到一个数论上很有名的定理:每个奇合数必定能用平方差的方式分解为两个大于1的整数之积。
证明:若c是奇合数,则必存在大于1的奇数m、n,使得c=mn。
当m=n时,c=m2-02,且m 0=m-0=m>1,结论成立;
当m≠n时,不妨设m>n,x=[m n2],y=[m-n2],因为m、n均为奇数,所以x、y均为整数,且x y=m>1,x-y=n>1,c=mn=(x y)(x-y),结论成立;
综合上述两种情况,结论得证。
俄罗斯著名作家托尔斯泰说:为灵魂建一块高地,才能俯视尘埃,从容自信,不流世俗。卡尔的故事告诉我们:在研究数学问题时一定要锲而不舍,只要意志力坚强,多难的数学问题都是能搞清楚的;遇到难题时,做一次就能做明白的很少,能完整地记住它的更少,做一遍,隔一段时间再研究一遍,过一段时间再总结一遍,这样三番五次地研究它,你将永远记住它;如果一时受困于某个具体问题,要学会转换思考的视角,敢于猜想,敢于提出问题,积极形成反思的意识;在学习时一定要善于动脑,多思考,凡事问一个“为什么”,养成探究问题、大胆质疑的习惯,所谓“学贵有疑,小疑则小进,大疑则大进”。
(作者单位:江苏省东台市实验中学教育集团中心校区)