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许多数学题的条件被隐藏于题设中,含而不露,学生在解题时往往受知识经验的局限,思维上存在这样那样的弱点,致使许多数学问题得不到完整的解答。在教学中,可以抓住这些具有隐形条件的数学题,让学生尝试失败,从错误中加深对知识的理解,从而训练学生的思维品质,提高能力。
一.隐含判别式
例1.已知关于的一元二次方程,若方程的两实根之积等于,求的值。(2006年南通市中考)
解析:有些学生是这样做的,由根与系数的关系知
,
解得或。
当时,=;当时,=4。
因此的值为或4。
以上解法,由于学生未能认清题中隐含判别式,而造成多解。实际上应注意,使成立的前提条件是,即,解得或,所以,故的值为4。
二.隐含相等关系
例2.若不等式组无解,求的取值范围。
解析:由不等式组解集的情况得出,,解得。
实际上,本题中当,即时,不等式组也无解。
所以的取值范围是。
这种错误就是口诀造成的负面影响,使用“数形结合”,具体问题具体分析,可能就不会出现这样的错误。
三.隐含绝对值
例3.直线与轴相交所成的锐角的正切值为,则的值为 。
解析:由题意可知,直线与轴交点为,
与轴交点为,所以,
事实上,直线中的待定系数没有明确其符号,所以直线与轴交点的
横坐标也可以为负,但作为直角三角形的边长应为,因此,由得
四.隐含增根
例1.要使关于的方程 的解为负数,求的取值范围。
解析:去分母整理得,,因为此方程的解为负数,
所以:,得。
由于分式方程存在增根-2和1,当时,,
所以的取值范围为且。
五.隐含异位图形
例5.一个等腰三角形的一边长为10,其面积为30,求等腰三角形的周长。
解析:如图1,作,
的周长为。
上面的解法漏掉了为腰时的情况,实际上还有两种形状的图形。
若为锐角三角形,如图2,作高,
的周长为.
若为钝角三角形,如图3,作高,
的周长为.
综上,的周长为或或。
在新课教学、习题课教学中,设置不同类型、不同层面的隐含条件的问题,引导学生正确、全面、完整地把握所学的知识,让学生陷入困境,分析原因,再冲出困境,使学生“吃一堑,长一智”,以培养学生全面仔细、严谨有序、灵活变通的思维素质。
(作者联通:湖北省恩施市盛家坝民族中学)
一.隐含判别式
例1.已知关于的一元二次方程,若方程的两实根之积等于,求的值。(2006年南通市中考)
解析:有些学生是这样做的,由根与系数的关系知
,
解得或。
当时,=;当时,=4。
因此的值为或4。
以上解法,由于学生未能认清题中隐含判别式,而造成多解。实际上应注意,使成立的前提条件是,即,解得或,所以,故的值为4。
二.隐含相等关系
例2.若不等式组无解,求的取值范围。
解析:由不等式组解集的情况得出,,解得。
实际上,本题中当,即时,不等式组也无解。
所以的取值范围是。
这种错误就是口诀造成的负面影响,使用“数形结合”,具体问题具体分析,可能就不会出现这样的错误。
三.隐含绝对值
例3.直线与轴相交所成的锐角的正切值为,则的值为 。
解析:由题意可知,直线与轴交点为,
与轴交点为,所以,
事实上,直线中的待定系数没有明确其符号,所以直线与轴交点的
横坐标也可以为负,但作为直角三角形的边长应为,因此,由得
四.隐含增根
例1.要使关于的方程 的解为负数,求的取值范围。
解析:去分母整理得,,因为此方程的解为负数,
所以:,得。
由于分式方程存在增根-2和1,当时,,
所以的取值范围为且。
五.隐含异位图形
例5.一个等腰三角形的一边长为10,其面积为30,求等腰三角形的周长。
解析:如图1,作,
的周长为。
上面的解法漏掉了为腰时的情况,实际上还有两种形状的图形。
若为锐角三角形,如图2,作高,
的周长为.
若为钝角三角形,如图3,作高,
的周长为.
综上,的周长为或或。
在新课教学、习题课教学中,设置不同类型、不同层面的隐含条件的问题,引导学生正确、全面、完整地把握所学的知识,让学生陷入困境,分析原因,再冲出困境,使学生“吃一堑,长一智”,以培养学生全面仔细、严谨有序、灵活变通的思维素质。
(作者联通:湖北省恩施市盛家坝民族中学)