〔关键词〕 三角函数;错解;锐角;钝角
　　〔中图分类号〕 G633.64〔文献标识码〕 A
　　〔文章编号〕 1004—0463(2010)
　　 08(A)—0054—01
　　
　　例1:在△ABC中,已知sinA=■,cosB=■,求cosC的值.
　　这道题目是三角函数中的常见题型,笔者在教学中发现,学生对此问题的错解率特别高.学生常见的解答过程如下:
　　在△ABC中,∵cosB=■,∴B为锐角,且sinB=■.又∵sinA=■,∴A可能为锐角也可能为钝角.
　　(1)当A为锐角时,cosA=■,∴cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-■·■+■·■=■.
　　(2)当A为钝角时,cosA=-■,∴cosC=cos[π-(A+B)] =-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-(-■)·■+■·■=■.
　　故所求cosC的值为■或■.
　　他们似乎考虑得很全面,在已知三角形一个内角A的正弦值sinA(其中sinA<1),求cosA时,应该分为A为锐角和钝角两种情况进行讨论.但他们却忽视了三角形三个内角之间的内在联系,忽视了三个角的三角函数值之间的数量关系.
　　不难分析,上例中A不可能为钝角,只能是锐角,故正确结果应是cosC=■.
　　其实,对于三角函数中类似的问题,我们有如下结论:
　　结论1:在△ABC中,若sinA　　结论2:在△ABC中,若sinA　　结论3:在△ABC中,若sinA=sinB,则A、B均为锐角,且A=B.
　　进一步地,综合上述几个结论,我们有如下定理:在△ABC中,sinA≤sinB成立的充要条件是A≤B.即在△ABC中,sinA≤sinB?圳A≤B.
　　下面对以上几个结论进行证明.
　　结论1的证明:(用反证法)假设A不是锐角,由于A是△ABC的一个内角,则A为直角或钝角,且B只能是锐角.即■≤A<π,∴0<π-A≤■,0　　由sin A=sin(π-A)和题设sin Aπ,这与A+B<π矛盾.故A必为锐角.
　　结论2的证明:只需证明B为锐角和B为钝角的三角形存在即可.根据结论1,知A为锐角.A=arcsin(sinA)　　(1)若B=arcsin(sinB),则B为锐角.显然,以锐角A和锐角B为内角的△ABC是存在的.
　　(2)若B=π-arcsin(sinB),则B为钝角,且A+B=arcsin(sinA)+[π-arcsin(sinB)]=π-[arcsin(sin B)-arcsin(sin A)]<π.
　　因此,以锐角A和钝角B为内角的△ABC也是存在的.故在题设条件下,B可能为锐角,也可能为钝角.结论2也可以由作图直接验证而得.
　　以上结论均可以用正弦定理来证明.
　　证明:在△ABC中,由正弦定理■=■=■=2R(其中R是△ABC外接圆的直径)知,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC.所以,在△ABC中,A≤B?圳a≤b?圳2Rsin A≤2RsinB?圳sinA≤sinB,即sinA≤sinB?圳A≤B.
　　最后,我们再做一个类似题型的练习.
　　例2:在△ABC中,已知sinA=■,sinB=■,则cosA+cosB的值是().
　　(A)■ (B)■或■
　　(C)■或-■ (D)■或■或-■
　　解:∵A必为锐角,且cosA=■,则B可能为锐角,也可能为钝角.
　　(1)当B为锐角时,cosB=■,∴cosA+cosB=■+■=■;
　　(2)当B为钝角时,cosB=-■,∴cosA+cosB=■-■=■.故应选 (B).