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在教学过程中如果实行开放教学，重视启发，讨论，学生就会感到比较轻松，能够发散思维和敢于发表自己的看法，有利于培养创造力；同时组织一些数学活动，让学生感叹数学无所不在，激发学生学习数学的兴趣，开放教学，享受数学，让学生真正热爱数学。
一
目前，开放题已受到了普遍重视，但是开放题的应用事实上只是为我们改进数学教育提供新的更大的可能性，而学习空间的开拓并不等于已经取得好的教学效果，因此，应当提倡“开放式教学”，以下是“开放式教学”的一些特征。
（一）在教学中教师不应追求任何一种强制的统一。这就是说每个学生在学习过程中都应有一定的自主性，或者说教师应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。
（二）教师应当给予持各种不同意见的学生充分表达的机会，给其他学生对其所说的不同看法能有一个理解和评价的时间，显然相对于“路径差”而言，教师在教学中应允许学生在学习过程中表现出一定的“时间差”。
一般来说，上述两点也就可以被看成通常所说的“对学生的头脑开放”，但是，应当明确的是，“对学生的头脑开放”并不能被理解为教师在此时处于完全被动的地位，只能消极地等待各种不同意见的出现；恰恰相反，正如前面所提及的，教师在此应当积极地拓展学生的“学习空间”。另外，从后一种角度分析，可提出如下关于“开放式教学”的其他一些特征。
（三）教师应当积极地拓展学生的学习空间，就教学中问题的提出与表述而言，我们都应注意给学生留有充分的“自由度”。
（四）在学生已经做出多种不同的解答（或多种不同解法）的情况下，教师应积极引导学生对此做进一步的比较和评价。包括通过比较发现各种不同解答之间可能存在的逻辑联系，对各种解答（与解答方法）的正确性（有效性）做出判断并给出必要的论证，以及做出必要的修正或推广等。尤其重要的是，我们应帮助学生对自己在数学上的收获做自觉的总结。显然，教师在上述过程中也应发挥重要的引导作用。但是，应当再次强调的是，后者又不应成为一种强制的统一，恰恰相反，教师在这一过程中仍应发挥学生的主动性。
二
下面以美国密西根大学Ｊ．Ｃhazan教授在某中学实验班上课的一个关于“平均数”的课例说明“开放式教学”。
（一）联系实验，引入课题。
上课开始，教师提出问题：某公司年终给他的10位雇员发放了奖金，问如何计算雇员的平均奖金数？学生根据经验回答：只要算出10位雇员奖金总数，再除以10即可，接着教师给班里设计了三组不同的数据，每种情况下分别假定给10位雇员发放不同的奖金，要求学生分别算出平均奖金数，经过计算后学生惊奇地发现：在三种情況下，平均奖金数是一样的。这其中有什么奥妙？经过热烈讨论，学生终于明确，平均奖金数既可以由10位雇员个人奖金数相加求和再除以10来确定，又可以由奖金总数和分享的人数确定。上述三组不同的数据平均数相同原来是因为奖金总数相同，而且分享人数也一样，推广到一般情况就是平均数的定义：
■=1/n(x■ x■ … x■)
（二）设计特例，诱发争论。
教师接着给出第四组数据，10位雇员所分得的奖金数如下表，求雇员的平均奖金数。
学生算出两种不同的结果，多数人取n=10，算出平均奖金数500（美元），少数人取n=9，算出平均奖金数约为555.56（美元），究竟哪个答案对？不同答案的支持者之间展开争论，支持前一种答案的学生说：
学生C：你为什么不考虑第二个人？虽然他没有得任何奖金，但他也是一个人呀！
学生B：当计算学分时，测验或考试中的零分也是要算上去的。
支持后一种答案的学生这样认为：
学生L：你不能真正使用0，因为它表示没有东西。
学生J：0表示一个人没有分到奖金，奖金实际上分给9个人。
双方见各执一词，互不相让，学生等待教师评理。
（三）转移焦点，深化理解。
教师没有直接评判争论的是非。为了加深学生对平均数概念的理解，发展他们的推理能力，使之对所作的判断更有信心，教师决定转移焦点，提出了如下问题：我们想一想，平均数的意义是什么？学生议论纷纷。
学生B：是雇员所得到的，介于最高奖金和最低奖金之间的一个数。
学生J：先求得已知数据的和，再用这个和除以数据的个数，其结果就是平均数。
上述回答都有正确的成分，学生已经初步认识到平均数所反映的一组数据的整体性质和集中趋势。经过讨论，学生已经具备了解决问题的基础。
（四）把握方向，促进学习。
教师认为，争论应当适时结束，但他没有直接表态，而提出了如下问题：“能否不通过求和而算出平均数？”学生经过讨论后达成共识：如果已经知道了一组数据的总和，又知道数据的个数，则可求出这组数据的平均数。教师因势利导再问：“上表列出多少数据？”很明显，上表列出了10个数据，因而所求的应该是10个人的平均奖金数，正确答案便由学生自己得到了。
开放式教学能充分发挥教师的主导作用，确立学生的主体地位，通过教师精心设计问题情境，引导学生讨论探索和交流，通过问题的不断转换，让学生自己澄清问题，有利于增强学生的自信心。但是要让学生真正喜爱数学，还必须在教学中让学生享受数学，激发学生的内在学习动力。
因此，我们在刻苦学习、研究数学的同时，也在享受数学。它能满足我们的好奇心、求知欲（好奇心、求知欲越强烈，满足的感受越强烈），如破解一道难题，做出小小数学发现后，都会体验到快乐和喜悦。艰苦的努力使我们入门，能作为内行看出门道，这是对“辛苦”的回报。
就改进教学而言，教学思想的转变更为重要，不具有“开放式头脑”，在教学中也就很难真正进行“开放式教学”。我们可以通过“开放式教学”将学生真正置于主体地位，利用数学的实际价值，让学生感受数学，享受数学，培养学生的学习兴趣，增强学生自我学习的意识，最终使学生得到生动、主动的发展。
一
目前，开放题已受到了普遍重视，但是开放题的应用事实上只是为我们改进数学教育提供新的更大的可能性，而学习空间的开拓并不等于已经取得好的教学效果，因此，应当提倡“开放式教学”，以下是“开放式教学”的一些特征。
（一）在教学中教师不应追求任何一种强制的统一。这就是说每个学生在学习过程中都应有一定的自主性，或者说教师应当允许学生在学习过程中存在一定的“路径差”。
（二）教师应当给予持各种不同意见的学生充分表达的机会，给其他学生对其所说的不同看法能有一个理解和评价的时间，显然相对于“路径差”而言，教师在教学中应允许学生在学习过程中表现出一定的“时间差”。
一般来说，上述两点也就可以被看成通常所说的“对学生的头脑开放”，但是，应当明确的是，“对学生的头脑开放”并不能被理解为教师在此时处于完全被动的地位，只能消极地等待各种不同意见的出现；恰恰相反，正如前面所提及的，教师在此应当积极地拓展学生的“学习空间”。另外，从后一种角度分析，可提出如下关于“开放式教学”的其他一些特征。
（三）教师应当积极地拓展学生的学习空间，就教学中问题的提出与表述而言，我们都应注意给学生留有充分的“自由度”。
（四）在学生已经做出多种不同的解答（或多种不同解法）的情况下，教师应积极引导学生对此做进一步的比较和评价。包括通过比较发现各种不同解答之间可能存在的逻辑联系，对各种解答（与解答方法）的正确性（有效性）做出判断并给出必要的论证，以及做出必要的修正或推广等。尤其重要的是，我们应帮助学生对自己在数学上的收获做自觉的总结。显然，教师在上述过程中也应发挥重要的引导作用。但是，应当再次强调的是，后者又不应成为一种强制的统一，恰恰相反，教师在这一过程中仍应发挥学生的主动性。
二
下面以美国密西根大学Ｊ．Ｃhazan教授在某中学实验班上课的一个关于“平均数”的课例说明“开放式教学”。
（一）联系实验，引入课题。
上课开始，教师提出问题：某公司年终给他的10位雇员发放了奖金，问如何计算雇员的平均奖金数？学生根据经验回答：只要算出10位雇员奖金总数，再除以10即可，接着教师给班里设计了三组不同的数据，每种情况下分别假定给10位雇员发放不同的奖金，要求学生分别算出平均奖金数，经过计算后学生惊奇地发现：在三种情況下，平均奖金数是一样的。这其中有什么奥妙？经过热烈讨论，学生终于明确，平均奖金数既可以由10位雇员个人奖金数相加求和再除以10来确定，又可以由奖金总数和分享的人数确定。上述三组不同的数据平均数相同原来是因为奖金总数相同，而且分享人数也一样，推广到一般情况就是平均数的定义：
■=1/n(x■ x■ … x■)
（二）设计特例，诱发争论。
教师接着给出第四组数据，10位雇员所分得的奖金数如下表，求雇员的平均奖金数。
学生算出两种不同的结果，多数人取n=10，算出平均奖金数500（美元），少数人取n=9，算出平均奖金数约为555.56（美元），究竟哪个答案对？不同答案的支持者之间展开争论，支持前一种答案的学生说：
学生C：你为什么不考虑第二个人？虽然他没有得任何奖金，但他也是一个人呀！
学生B：当计算学分时，测验或考试中的零分也是要算上去的。
支持后一种答案的学生这样认为：
学生L：你不能真正使用0，因为它表示没有东西。
学生J：0表示一个人没有分到奖金，奖金实际上分给9个人。
双方见各执一词，互不相让，学生等待教师评理。
（三）转移焦点，深化理解。
教师没有直接评判争论的是非。为了加深学生对平均数概念的理解，发展他们的推理能力，使之对所作的判断更有信心，教师决定转移焦点，提出了如下问题：我们想一想，平均数的意义是什么？学生议论纷纷。
学生B：是雇员所得到的，介于最高奖金和最低奖金之间的一个数。
学生J：先求得已知数据的和，再用这个和除以数据的个数，其结果就是平均数。
上述回答都有正确的成分，学生已经初步认识到平均数所反映的一组数据的整体性质和集中趋势。经过讨论，学生已经具备了解决问题的基础。
（四）把握方向，促进学习。
教师认为，争论应当适时结束，但他没有直接表态，而提出了如下问题：“能否不通过求和而算出平均数？”学生经过讨论后达成共识：如果已经知道了一组数据的总和，又知道数据的个数，则可求出这组数据的平均数。教师因势利导再问：“上表列出多少数据？”很明显，上表列出了10个数据，因而所求的应该是10个人的平均奖金数，正确答案便由学生自己得到了。
开放式教学能充分发挥教师的主导作用，确立学生的主体地位，通过教师精心设计问题情境，引导学生讨论探索和交流，通过问题的不断转换，让学生自己澄清问题，有利于增强学生的自信心。但是要让学生真正喜爱数学，还必须在教学中让学生享受数学，激发学生的内在学习动力。
因此，我们在刻苦学习、研究数学的同时，也在享受数学。它能满足我们的好奇心、求知欲（好奇心、求知欲越强烈，满足的感受越强烈），如破解一道难题，做出小小数学发现后，都会体验到快乐和喜悦。艰苦的努力使我们入门，能作为内行看出门道，这是对“辛苦”的回报。
就改进教学而言，教学思想的转变更为重要，不具有“开放式头脑”，在教学中也就很难真正进行“开放式教学”。我们可以通过“开放式教学”将学生真正置于主体地位，利用数学的实际价值，让学生感受数学，享受数学，培养学生的学习兴趣，增强学生自我学习的意识，最终使学生得到生动、主动的发展。