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摘 要：数学思维教育主要是通过数学教学体现出来的，那么如何把传授知识和培养思维能力二者相统一起来就是进行数学思维教育的主攻方向。要培养学生的数学思维能力，就要培养学生学习数学的兴趣，培养学生综合应用数学知识的能力，培养学生的创新能力。
关键词：兴趣；创新；综合应用
数学思维能力的培养，在数学教学中是普遍受到重视的问题。传统做法是把思维变成思路，进而成为可传讯物。有的教师认为，既成思路因题而异，把它传授给学生可以使思维教育的内容丰富多彩。然而，思维主要是靠启迪，而不是靠传授，越是传授得一清二楚，学生就越不需要思维。即使传授的东西是范例，也仅增加了知识的储存，而不一定能使人在新情境下索解。那么教师启迪学生思维的工作应表现在哪些方面？为此，我提出以下几条建议仅供参考。
一、培养学习数学的兴趣
1.引导学生爱好数学。有的学生认为数学是枯燥的、贫乏的，甚至呆板的。其实不然，数学是一门趣味十足的学科。教师在教学中可引导学生多阅读一些集知识、智力、趣味为一体的课外读物，这样既可开阔学生的视野，激发学生的兴趣，还可使学生获得主动全面的发展。
如下例：奶奶和王梅一起烙饼。她们家烙饼的平锅每次只能放四张饼，烙一面需要4分钟，奶奶烙四张饼的正反面用去8分钟，再烙两张饼又用去8分钟，这样奶奶烙六张饼共用去了16分钟。但王梅用的方法与奶奶的不同，烙相同数量的饼，用的时间却少。你知道王梅用什么方法吗？
其实，这是一个数学中较有趣的统筹方面的题。王梅是先在平锅上烙四张饼的一面，用去4分钟，然后把两张饼翻过来烙，另外换上两张没有烙过的饼。又用去4分钟，两张饼烙好了，其余四张饼都只需要烙一面就行了。这样，王梅烙6张饼共用了12分钟，比奶奶少用4分钟，既节省了时间，又节约了燃料，一举两得。
实际上，数学时时刻刻都存在于我们的日常生活中，与我们的生活是密切联系的。只要贴近生活，善于观察、思考，同样也能激发学生爱好数学。
2.创设成功教育的氛围，激发学生的兴趣。一位诗人说：“幸福”的日子使人聪明。教师要有意识地营造使学生不断取得思维成就的环境，让学生不断地在思维成功的幸福中良性循环，越学越想学，越思越灵活。
如：先让学生做这样的一个题：
1+2+3+…+100=？
学生一看，马上就知道等于5050，因为从1到100连加可看作50个101相加，即50×101=5050。
接着再让学生做：
1-2+3-4+…+97-98+99-100=？
学生看一眼，不一定都能立刻得出结果，但仔细看题就会发现每连续两项之差都为-1，并且共有50组这样的数，即可看作50个-1相加，结果就为50×（-1）=-50。
做到这，学生已开始尝试到成功的喜悦了。若此时：再让学生做：1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-100=？
由于学生已有解上两题的经验，因此他们大多立刻就能看出每连续四项之和为-4，这样的数共有25组，结果就为25×（-4）=-100。
这样，学生获得了成功，学习数学的兴趣就更浓了，学习效果也就提高了。同时，也能引导学生积极地去探索和发现，从而培养他们探索思维的激情。
二、在教学过程中，培养学生综合应用数学知识的能力
在数学教学过程中，要培养学生的数学思维能力，仅仅是培养学生的学习兴趣还不够，还要培养学生的综合应用能力。这即能促使学生全面发展，还能较大程度地提高学生的数学思维能力。
如：有的平面几何问题的证明，可以根据几何量之间的关系，通过代数中的恒等变形或建立几何量之间的方程式来进行研究。
例：设P是正△ABC外接圆的弧BC上的 一点，如图所示：
求证：（1）PA=PB+PC （2）AB2=PA2-PB﹒PC
分析：因为要证的两个结论可分别化为：
PB+PC=PA， PB﹒PC= PA2- AB2
它与代数方程中韦达定理的形式很相似，因而只要能证明PB和PC都是一元二次方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根即可。即该题可利用代数思想建立几何量之间的方程来求证。
证明：∵△ABC是正三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点A、B、P、C四点共圆
∴∠APB=∠ACB=60°
∠APC=∠ABC=60°
在△ABP中，由余弦定理得
AB2=PA2+PB2-2PA﹒PB﹒cos60°
= PA2+PB2-PA﹒PB
∴PB2-PA﹒PB+（PA2-AB2）=0
即：PB是方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根。
同理，在△ACP中PC是方程x2-PA﹒x+（PA2-AC2）=0的根
∵AC=AB
∴PC是方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根
根据韦达定理可得：
PB+PC=PA， PB.PC= PA2-AB2
即： PA = PB+PC， AB2= PA2- PB.PC 得证
当然，上例只是数学中综合应用的一个方面，要培养学生的数学思维能力，还要进行全面的系统的训练。
学生有了一定的综合应用能力之后，要提高数学思维水平，还要学会创新。
三、培养学生的创新能力
培养学生的创新能力，我认为主要是培养学生在学习活动中能积极地、主动地去进行探索，敢于大胆地去突破各种已有的条条框框的束缚。
下面就引用美国一位教师的做法来简要地阐述这一问题。
这位教师给学生出了这样一个题：每箱桔汁都装有24瓶，为了使250个学生人手一瓶，共需要多少箱？
从传统的观点看，这是一个除法的问题。但这位教师并没有直接写出相应的算式：“250÷4=？”而是写了如下的表达式：“250？24”，其目的就是为了让学生“自由地”去进行探索。结果，有些学生用加法——对24进行连加直至达到250，求得了解答；有些学生用减法，也就是从250连续减去24直至最终达到0；甚至还有学生利用乘法但无法求得解答。在所有的学生当中，还有一个女生提出了如下的求解方法：100包括4个25，由于250个学生是两个100再加上半个100，因此，如果每箱桔汁都装有25瓶的话，相应的结果是4箱加4箱再加2箱（总共10箱），但现在每箱只有24瓶，也就是每箱少一瓶，那么就必须在第11箱中补取10瓶。
由此可看出，这种主动的、积极的探索对于学生在数学上培养思维能力是十分有益的。当然，在这一点上还有待于所有的教学工作者进一步地摸索、探讨。
培养数学思维能力，也就培养了人本质地看问题的意识，培养了良好的思维习惯，形成良好的思维策略，进而扩展人们头脑中的数学空间。总之，数学思维能力的培养是一项长期的艰巨任务。对于如何培养学生的数学思维能力，我所提的几种做法还不全面，还有待于在数学实践中继续探索总结。
参考文献：
[1]郭思乐、喻纬 《数学思维教育论》 上海教育出版社.
[2]郑毓信 《数学教育：从理论到实践》 上海教育出版社.
关键词：兴趣；创新；综合应用
数学思维能力的培养，在数学教学中是普遍受到重视的问题。传统做法是把思维变成思路，进而成为可传讯物。有的教师认为，既成思路因题而异，把它传授给学生可以使思维教育的内容丰富多彩。然而，思维主要是靠启迪，而不是靠传授，越是传授得一清二楚，学生就越不需要思维。即使传授的东西是范例，也仅增加了知识的储存，而不一定能使人在新情境下索解。那么教师启迪学生思维的工作应表现在哪些方面？为此，我提出以下几条建议仅供参考。
一、培养学习数学的兴趣
1.引导学生爱好数学。有的学生认为数学是枯燥的、贫乏的，甚至呆板的。其实不然，数学是一门趣味十足的学科。教师在教学中可引导学生多阅读一些集知识、智力、趣味为一体的课外读物，这样既可开阔学生的视野，激发学生的兴趣，还可使学生获得主动全面的发展。
如下例：奶奶和王梅一起烙饼。她们家烙饼的平锅每次只能放四张饼，烙一面需要4分钟，奶奶烙四张饼的正反面用去8分钟，再烙两张饼又用去8分钟，这样奶奶烙六张饼共用去了16分钟。但王梅用的方法与奶奶的不同，烙相同数量的饼，用的时间却少。你知道王梅用什么方法吗？
其实，这是一个数学中较有趣的统筹方面的题。王梅是先在平锅上烙四张饼的一面，用去4分钟，然后把两张饼翻过来烙，另外换上两张没有烙过的饼。又用去4分钟，两张饼烙好了，其余四张饼都只需要烙一面就行了。这样，王梅烙6张饼共用了12分钟，比奶奶少用4分钟，既节省了时间，又节约了燃料，一举两得。
实际上，数学时时刻刻都存在于我们的日常生活中，与我们的生活是密切联系的。只要贴近生活，善于观察、思考，同样也能激发学生爱好数学。
2.创设成功教育的氛围，激发学生的兴趣。一位诗人说：“幸福”的日子使人聪明。教师要有意识地营造使学生不断取得思维成就的环境，让学生不断地在思维成功的幸福中良性循环，越学越想学，越思越灵活。
如：先让学生做这样的一个题：
1+2+3+…+100=？
学生一看，马上就知道等于5050，因为从1到100连加可看作50个101相加，即50×101=5050。
接着再让学生做：
1-2+3-4+…+97-98+99-100=？
学生看一眼，不一定都能立刻得出结果，但仔细看题就会发现每连续两项之差都为-1，并且共有50组这样的数，即可看作50个-1相加，结果就为50×（-1）=-50。
做到这，学生已开始尝试到成功的喜悦了。若此时：再让学生做：1+2-3-4+5+6-7-8+…+97+98-99-100=？
由于学生已有解上两题的经验，因此他们大多立刻就能看出每连续四项之和为-4，这样的数共有25组，结果就为25×（-4）=-100。
这样，学生获得了成功，学习数学的兴趣就更浓了，学习效果也就提高了。同时，也能引导学生积极地去探索和发现，从而培养他们探索思维的激情。
二、在教学过程中，培养学生综合应用数学知识的能力
在数学教学过程中，要培养学生的数学思维能力，仅仅是培养学生的学习兴趣还不够，还要培养学生的综合应用能力。这即能促使学生全面发展，还能较大程度地提高学生的数学思维能力。
如：有的平面几何问题的证明，可以根据几何量之间的关系，通过代数中的恒等变形或建立几何量之间的方程式来进行研究。
例：设P是正△ABC外接圆的弧BC上的 一点，如图所示：
求证：（1）PA=PB+PC （2）AB2=PA2-PB﹒PC
分析：因为要证的两个结论可分别化为：
PB+PC=PA， PB﹒PC= PA2- AB2
它与代数方程中韦达定理的形式很相似，因而只要能证明PB和PC都是一元二次方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根即可。即该题可利用代数思想建立几何量之间的方程来求证。
证明：∵△ABC是正三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵点A、B、P、C四点共圆
∴∠APB=∠ACB=60°
∠APC=∠ABC=60°
在△ABP中，由余弦定理得
AB2=PA2+PB2-2PA﹒PB﹒cos60°
= PA2+PB2-PA﹒PB
∴PB2-PA﹒PB+（PA2-AB2）=0
即：PB是方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根。
同理，在△ACP中PC是方程x2-PA﹒x+（PA2-AC2）=0的根
∵AC=AB
∴PC是方程x2-PA﹒x+（PA2-AB2）=0的根
根据韦达定理可得：
PB+PC=PA， PB.PC= PA2-AB2
即： PA = PB+PC， AB2= PA2- PB.PC 得证
当然，上例只是数学中综合应用的一个方面，要培养学生的数学思维能力，还要进行全面的系统的训练。
学生有了一定的综合应用能力之后，要提高数学思维水平，还要学会创新。
三、培养学生的创新能力
培养学生的创新能力，我认为主要是培养学生在学习活动中能积极地、主动地去进行探索，敢于大胆地去突破各种已有的条条框框的束缚。
下面就引用美国一位教师的做法来简要地阐述这一问题。
这位教师给学生出了这样一个题：每箱桔汁都装有24瓶，为了使250个学生人手一瓶，共需要多少箱？
从传统的观点看，这是一个除法的问题。但这位教师并没有直接写出相应的算式：“250÷4=？”而是写了如下的表达式：“250？24”，其目的就是为了让学生“自由地”去进行探索。结果，有些学生用加法——对24进行连加直至达到250，求得了解答；有些学生用减法，也就是从250连续减去24直至最终达到0；甚至还有学生利用乘法但无法求得解答。在所有的学生当中，还有一个女生提出了如下的求解方法：100包括4个25，由于250个学生是两个100再加上半个100，因此，如果每箱桔汁都装有25瓶的话，相应的结果是4箱加4箱再加2箱（总共10箱），但现在每箱只有24瓶，也就是每箱少一瓶，那么就必须在第11箱中补取10瓶。
由此可看出，这种主动的、积极的探索对于学生在数学上培养思维能力是十分有益的。当然，在这一点上还有待于所有的教学工作者进一步地摸索、探讨。
培养数学思维能力，也就培养了人本质地看问题的意识，培养了良好的思维习惯，形成良好的思维策略，进而扩展人们头脑中的数学空间。总之，数学思维能力的培养是一项长期的艰巨任务。对于如何培养学生的数学思维能力，我所提的几种做法还不全面，还有待于在数学实践中继续探索总结。
参考文献：
[1]郭思乐、喻纬 《数学思维教育论》 上海教育出版社.
[2]郑毓信 《数学教育：从理论到实践》 上海教育出版社.