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洞见症结，端本正源
例1 （2014年高考安徽卷）在平面直角坐标系[xOy]中，已知[a，b，|a|=|b|=1，][a?b=0，]点[Q]满足[OQ=][2（a+b）.]曲线[C={POP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，]区域[Ω={P0<r≤PQ≤R，r<R}].若[C?Ω]为两段分离的曲线，则（ ）
A. [1<r<R<3] B. [1<r<3≤R]
C. [r≤1<R<3] D. [1<r<3<R]
解析 由已知可设[OA=a=1，0]，[OB=b=][0，1]，[Px，y]，则[OQ=2，2]，[OP=cosθ，sinθ，][0≤θ≤2π]，即[C]的轨迹为圆：[x2+y2=1]. 又[Ω=P0<r≤PQ≤R，r<R]表示[P1：x-22+][y-22=r2]，[P2：x-22+y-22][=R2]所表示的圆环，如图，要使[C?Ω]为两段分离的曲线，只有[1<r<R<3].
答案 A
点拨 向量是一个工具，解决向量问题多从两个角度转化，其一是基底形式，要注意平面几何性质;其二是坐标形式，要注意解析几何的相关知识.解决此题就是要找到问题的关键，把向量语言坐标化、找出定点位置和动点的轨迹方程，这样就把问题变为一个解析几何问题.
合理分类，借水行舟
例2 （2014年高考辽宁卷）已知定义在[[0，1]]上的函数[f（x）]满足：①[f（0）=f（1）=0];②对所有[x，y∈[0，1]]，且[x≠y]，有[|f（x）-f（y）|<12|x-y|].若对所有[x，y∈[0，1]]，[|f（x）-f（y）|<k]，则[k]的最小值为（ ）
A. [12] B. [14]
C. [12π] D. [18]
解析 当[x-y≤12]时，
有[fx-fy<12x-y≤14.]
当[x-y>12]时，不妨令[x<y]，则有
[fx-fy=][fx-f0+f1-fy]
[≤fx-f0+f1-fy]
[<12x-0+121-y=12-12y-x]，
又[y-x>12]，所以[fx-fy<12-12×12=14].
综上所述，[k≥14]，即[k]的最小值为[14].
答案 B
点拨 注意到[x-y]的长度没有目标，可以考虑将[x-y]的长度进行分类，将不定性的问题转化为定性的问题. 定义域的区间长度为1，我们可以尝试利用1的一半[12]进行分类.
顺藤摸瓜，按图索骥
例3 （2014年高考浙江卷）设函数[f1（x）=x2，][f2（x）][=2（x-x2），][f3（x）=13|sin2πx|，][ai=i99]，[i=0，1，2，…，][99].记[Ik=|fk（a1）-fk（a0）|][+|fk（a2）-fk（a1）|][+…+|fk（a99）-fk（a98）|]，记[k=1，2，3…]，则（ ）
A. [I1<I2<I3] B. [I2<I1<I3]
C. [I1<I3<I2] D. [I3<I2<I1]
解析 此题看起来比较复杂，但是是有规律的，我们不要被假象所迷惑，只要循序渐进即可.
因为[ai+1-ai=i+199-i99=199，ai+1+ai=2i+199]，
[f1（ai+1）-f1（ai）=a2i+1-a2i=199?2i+199]，
[∴I1=|f1（a1）-f1（a0）|+|f1（a2）-f1（a1）|+…+|f1（a99）-f1（a98）|]
[=1992?0+1+2?1+1+…+2?98+199=1].
又[f2（ai+1）-f2（ai）=2（ai+1-ai）-（ai+12-ai2）]
[=2991-2i+199=2（98-2i）99?99]，
[∴I2=|f2（a1）-f2（a0）|+|f2（a2）-f2（a1）|+…+|f2（a99）-f2（a98）|]
[=299?99（98+96+…+0+2+…+98）]
[=299?99?（2+98）?49=992-199?99<1].
又[f3（ai+1）-f3（ai）=13sin2π?i+199-sin2π?i99]，
[∴I3=|f3（a1）-f3（a0）|+|f3（a2）-f3（a1）|+…+|f3（a99）-f3（a98）|]
[=13（sin2π199-sin2π099+sin2π299-sin2π199]
[+…+sin2π9999-sin2π9899）]
[=132sin2π?2599-2sin2π?7499=43sin50π99>1].
所以[I3>I1>I2]. 答案 B
切线划界，泾渭分明
例4 （2014年高考山东卷）已知函数[y=f（x）（x∈R）]，对函数[y=g（x）（x∈I）]，定义[g（x）]关于[f（x）]的“对称函数”为函数[y=hxx∈I]，[y=hx]满足：对任意[x∈I]，两个点[x，hx，x，gx]关于点[x，fx]对称，若[hx]是[gx=4-x2]关于[fx=3x+b]的“对称函数”，且[hx>gx]恒成立，则实数[b]的取值范围是 .
解析 由题意得[g（x）与h（x）]的图象位于直线[f（x）=3x+b]的两侧，可谓一线分南北，要使[h（x）>g（x）]恒成立，则[g（x）]的图象应位于直线[f（x）=3x+b]的右下方.当[f（x）=3x+b]与[g（x）=4-x2]在第二象限相切时，[b=210]. 由此可知，当[h（x）>g（x）]恒成立时有[b>210].
以形助数，相得益彰
例5 （2014年高考湖南卷）已知函数[f（x）=x2+ex-12（x<0）]与[g（x）=x2+ln（x+a）]的图象上存在关于[y]轴对称的点，则[a]的取值范围是（ ）
A. [（ - ∞ ， 1e ）] B. [（ - ∞ ， e ）]
C. [（-1e，e）] D. [（-e，1e）]
解析 由题意可得，函数[f（x）]的图象上存在点[P（x0，x02+ex0-12）（x0<0）]关于[y]轴对称的点[Q（-x0，x02+][ex0-12）]在函数[g（x）=x2+ln（x+a）]的图象上，
即[x02+ex0-12=-x02+ln（-x0+a）]，
即[ex0-ln（-x0+a）-12=0].
问题等价于函数[R（x）=ex-ln（-x+a）-12]在[x∈-∞，0]上存在零点，继而等价于函数[φ（x）=ex-12]与[h（x）=][ln（-x+a）]的图象在[-∞，0]上有交点，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，以形助数，当[h（x）=ln（-x+a）]的图象在左右平移的过程中，满足[φ（0）>h（0）]即可，即[a<e].
答案 B
换位思考，避实求虚
例6 （2014年高考福建卷）用[a]代表红球，[b]代表蓝球，[c]代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由[1+a1+b]的展开式[1+a][+b+ab]表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“[a]”表示取出一个红球，面“[ab]”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. [1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5]
B.[1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]
C. [1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]
D.[1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c5]
解析 要注意审题，透彻地理解题意，从正面考虑. 由题意得，从5个无区别的红球取出若干个球对应于[1+a+a2+a3+a4+a5]，从5个无区别的蓝球中取球，且所有的蓝球都取出或都不取出对应于[b5+1];从5个有区别的黑球中取出若干个球（可分为5 类不同的黑球）对应于[1+c1+c1+c1+c1+c][=1+c5]，所以所求的取法为[1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5].
答案 A
点拨 此题的选择支比较复杂，我们可以换位思考，即所有的篮球都取出或都不取出的所有取法必有含有[b5]的式子或不含有[b]的式子，对照选择支，只有A项适合. 这么做，就简单多了.
三角轮换，合理取舍
例7 （2014年高考重庆卷）已知[ΔABC]的内角[A，B，C]满足[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+12]，面积满足[1≤S≤2]，记[a，b，c]分别为[A，B，C]所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
A. [bcb+c>8] B. [aca+c>162]
C. [6≤abc≤12] D. [12≤abc≤24]
解析 将角的正弦和变为角的正弦积，
因为[sin2A+sin2B+sin2C]
[=sin2A+sin2B-sin2A+2B]
[=sin2A+sin2B-sin2Acos2B-cos2Asin2B]
[=sin2A1-cos2B+sin2B1-cos2A]
[=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A]
[=4sinAsinBcosAsinB+sinAcosB]
[=4sinAsinBsinC=12]，
所以[8sinAsinBsinC=1].
因为[S=12absinC][=2R2sinAsinBsinC]，
所以[S=R24∈1，2]，即[R∈2，22]，
而[abc=8R3sinAsinBsinC∈8，162]，排除C，D项，注意到[a，b，c]的无序性，若B项成立，则A项必然成立，排除B项.
答案 A
点拨 条件[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B][+12]经过化简后为[sin2A+sin2B+sin2C=12]，解题时要充分利用这个条件中的[A，B，C]（或者[a，b，c]）的无序性.
分类讨论，各个击破
例8 （2014年高考广东卷）设集合[A=x1，x2，x3，x4，x5xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4，5]，那么集合[A]中满足条件“[1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3]”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
解析 由题设，[x1+x2+x3+x4+x5]可取值为1，2，3，即[xii=1，2，3，4，5]最少1个1，最多3个1.
当[xi]仅有1个1时，元素的个数为[C12C15=10].
当[xi]仅有2个1时，元素的个数为[2×2C25=40].
当[xi]有3个1时，元素的个数为[2×2×2C35=80].
所以满足条件的元素总的个数为[130].
答案 D
点拨 对照[x1+x2+x3+x4+x5]出现的各种情况，分类讨论，得出结果.
例1 （2014年高考安徽卷）在平面直角坐标系[xOy]中，已知[a，b，|a|=|b|=1，][a?b=0，]点[Q]满足[OQ=][2（a+b）.]曲线[C={POP=acosθ+bsinθ，0≤θ≤2π}，]区域[Ω={P0<r≤PQ≤R，r<R}].若[C?Ω]为两段分离的曲线，则（ ）
A. [1<r<R<3] B. [1<r<3≤R]
C. [r≤1<R<3] D. [1<r<3<R]
解析 由已知可设[OA=a=1，0]，[OB=b=][0，1]，[Px，y]，则[OQ=2，2]，[OP=cosθ，sinθ，][0≤θ≤2π]，即[C]的轨迹为圆：[x2+y2=1]. 又[Ω=P0<r≤PQ≤R，r<R]表示[P1：x-22+][y-22=r2]，[P2：x-22+y-22][=R2]所表示的圆环，如图，要使[C?Ω]为两段分离的曲线，只有[1<r<R<3].
答案 A
点拨 向量是一个工具，解决向量问题多从两个角度转化，其一是基底形式，要注意平面几何性质;其二是坐标形式，要注意解析几何的相关知识.解决此题就是要找到问题的关键，把向量语言坐标化、找出定点位置和动点的轨迹方程，这样就把问题变为一个解析几何问题.
合理分类，借水行舟
例2 （2014年高考辽宁卷）已知定义在[[0，1]]上的函数[f（x）]满足：①[f（0）=f（1）=0];②对所有[x，y∈[0，1]]，且[x≠y]，有[|f（x）-f（y）|<12|x-y|].若对所有[x，y∈[0，1]]，[|f（x）-f（y）|<k]，则[k]的最小值为（ ）
A. [12] B. [14]
C. [12π] D. [18]
解析 当[x-y≤12]时，
有[fx-fy<12x-y≤14.]
当[x-y>12]时，不妨令[x<y]，则有
[fx-fy=][fx-f0+f1-fy]
[≤fx-f0+f1-fy]
[<12x-0+121-y=12-12y-x]，
又[y-x>12]，所以[fx-fy<12-12×12=14].
综上所述，[k≥14]，即[k]的最小值为[14].
答案 B
点拨 注意到[x-y]的长度没有目标，可以考虑将[x-y]的长度进行分类，将不定性的问题转化为定性的问题. 定义域的区间长度为1，我们可以尝试利用1的一半[12]进行分类.
顺藤摸瓜，按图索骥
例3 （2014年高考浙江卷）设函数[f1（x）=x2，][f2（x）][=2（x-x2），][f3（x）=13|sin2πx|，][ai=i99]，[i=0，1，2，…，][99].记[Ik=|fk（a1）-fk（a0）|][+|fk（a2）-fk（a1）|][+…+|fk（a99）-fk（a98）|]，记[k=1，2，3…]，则（ ）
A. [I1<I2<I3] B. [I2<I1<I3]
C. [I1<I3<I2] D. [I3<I2<I1]
解析 此题看起来比较复杂，但是是有规律的，我们不要被假象所迷惑，只要循序渐进即可.
因为[ai+1-ai=i+199-i99=199，ai+1+ai=2i+199]，
[f1（ai+1）-f1（ai）=a2i+1-a2i=199?2i+199]，
[∴I1=|f1（a1）-f1（a0）|+|f1（a2）-f1（a1）|+…+|f1（a99）-f1（a98）|]
[=1992?0+1+2?1+1+…+2?98+199=1].
又[f2（ai+1）-f2（ai）=2（ai+1-ai）-（ai+12-ai2）]
[=2991-2i+199=2（98-2i）99?99]，
[∴I2=|f2（a1）-f2（a0）|+|f2（a2）-f2（a1）|+…+|f2（a99）-f2（a98）|]
[=299?99（98+96+…+0+2+…+98）]
[=299?99?（2+98）?49=992-199?99<1].
又[f3（ai+1）-f3（ai）=13sin2π?i+199-sin2π?i99]，
[∴I3=|f3（a1）-f3（a0）|+|f3（a2）-f3（a1）|+…+|f3（a99）-f3（a98）|]
[=13（sin2π199-sin2π099+sin2π299-sin2π199]
[+…+sin2π9999-sin2π9899）]
[=132sin2π?2599-2sin2π?7499=43sin50π99>1].
所以[I3>I1>I2]. 答案 B
切线划界，泾渭分明
例4 （2014年高考山东卷）已知函数[y=f（x）（x∈R）]，对函数[y=g（x）（x∈I）]，定义[g（x）]关于[f（x）]的“对称函数”为函数[y=hxx∈I]，[y=hx]满足：对任意[x∈I]，两个点[x，hx，x，gx]关于点[x，fx]对称，若[hx]是[gx=4-x2]关于[fx=3x+b]的“对称函数”，且[hx>gx]恒成立，则实数[b]的取值范围是 .
解析 由题意得[g（x）与h（x）]的图象位于直线[f（x）=3x+b]的两侧，可谓一线分南北，要使[h（x）>g（x）]恒成立，则[g（x）]的图象应位于直线[f（x）=3x+b]的右下方.当[f（x）=3x+b]与[g（x）=4-x2]在第二象限相切时，[b=210]. 由此可知，当[h（x）>g（x）]恒成立时有[b>210].
以形助数，相得益彰
例5 （2014年高考湖南卷）已知函数[f（x）=x2+ex-12（x<0）]与[g（x）=x2+ln（x+a）]的图象上存在关于[y]轴对称的点，则[a]的取值范围是（ ）
A. [（ - ∞ ， 1e ）] B. [（ - ∞ ， e ）]
C. [（-1e，e）] D. [（-e，1e）]
解析 由题意可得，函数[f（x）]的图象上存在点[P（x0，x02+ex0-12）（x0<0）]关于[y]轴对称的点[Q（-x0，x02+][ex0-12）]在函数[g（x）=x2+ln（x+a）]的图象上，
即[x02+ex0-12=-x02+ln（-x0+a）]，
即[ex0-ln（-x0+a）-12=0].
问题等价于函数[R（x）=ex-ln（-x+a）-12]在[x∈-∞，0]上存在零点，继而等价于函数[φ（x）=ex-12]与[h（x）=][ln（-x+a）]的图象在[-∞，0]上有交点，在同一坐标系中作出这两个函数的图象，以形助数，当[h（x）=ln（-x+a）]的图象在左右平移的过程中，满足[φ（0）>h（0）]即可，即[a<e].
答案 B
换位思考，避实求虚
例6 （2014年高考福建卷）用[a]代表红球，[b]代表蓝球，[c]代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由[1+a1+b]的展开式[1+a][+b+ab]表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“[a]”表示取出一个红球，面“[ab]”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）
A. [1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5]
B.[1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]
C. [1+a51+b+b2+b3+b4+b51+c5]
D.[1+a51+b51+c+c2+c3+c4+c5]
解析 要注意审题，透彻地理解题意，从正面考虑. 由题意得，从5个无区别的红球取出若干个球对应于[1+a+a2+a3+a4+a5]，从5个无区别的蓝球中取球，且所有的蓝球都取出或都不取出对应于[b5+1];从5个有区别的黑球中取出若干个球（可分为5 类不同的黑球）对应于[1+c1+c1+c1+c1+c][=1+c5]，所以所求的取法为[1+a+a2+a3+a4+a51+b51+c5].
答案 A
点拨 此题的选择支比较复杂，我们可以换位思考，即所有的篮球都取出或都不取出的所有取法必有含有[b5]的式子或不含有[b]的式子，对照选择支，只有A项适合. 这么做，就简单多了.
三角轮换，合理取舍
例7 （2014年高考重庆卷）已知[ΔABC]的内角[A，B，C]满足[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B+12]，面积满足[1≤S≤2]，记[a，b，c]分别为[A，B，C]所对的边，则下列不等式成立的是（ ）
A. [bcb+c>8] B. [aca+c>162]
C. [6≤abc≤12] D. [12≤abc≤24]
解析 将角的正弦和变为角的正弦积，
因为[sin2A+sin2B+sin2C]
[=sin2A+sin2B-sin2A+2B]
[=sin2A+sin2B-sin2Acos2B-cos2Asin2B]
[=sin2A1-cos2B+sin2B1-cos2A]
[=4sinAcosAsin2B+4sinBcosBsin2A]
[=4sinAsinBcosAsinB+sinAcosB]
[=4sinAsinBsinC=12]，
所以[8sinAsinBsinC=1].
因为[S=12absinC][=2R2sinAsinBsinC]，
所以[S=R24∈1，2]，即[R∈2，22]，
而[abc=8R3sinAsinBsinC∈8，162]，排除C，D项，注意到[a，b，c]的无序性，若B项成立，则A项必然成立，排除B项.
答案 A
点拨 条件[sin2A+sinA-B+C=sinC-A-B][+12]经过化简后为[sin2A+sin2B+sin2C=12]，解题时要充分利用这个条件中的[A，B，C]（或者[a，b，c]）的无序性.
分类讨论，各个击破
例8 （2014年高考广东卷）设集合[A=x1，x2，x3，x4，x5xi∈{-1，0，1}，i=1，2，3，4，5]，那么集合[A]中满足条件“[1≤x1+x2+x3+x4+x5≤3]”的元素个数为（ ）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 130
解析 由题设，[x1+x2+x3+x4+x5]可取值为1，2，3，即[xii=1，2，3，4，5]最少1个1，最多3个1.
当[xi]仅有1个1时，元素的个数为[C12C15=10].
当[xi]仅有2个1时，元素的个数为[2×2C25=40].
当[xi]有3个1时，元素的个数为[2×2×2C35=80].
所以满足条件的元素总的个数为[130].
答案 D
点拨 对照[x1+x2+x3+x4+x5]出现的各种情况，分类讨论，得出结果.