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在解析几何的学习中，学生学习了直线方程的五种形式.当遇到与过点(x0,y0)的直线有关的问题时，学生们往往会首选点斜式.此时，学生常常犯的错误有：① 忘记讨论斜率不存在的情况；② 代入消元后的化简较为麻烦，导致学生化简错误或者干脆直接放弃.所以我觉得将直线方程x-x0=m(y-y0)的应用在高三的复习中教给学生，并进行适当的训练是很有必要的.
首先，对该方程中m的理解要到位.若直线的倾斜角为α，则m=cosα；若直线不与坐标轴平行，则可以认为m=1k.其次，直线方程x-x0=m(y-y0)可以表示过点(x0,y0)的直线，但前提必须是直线的倾斜角α不为零（也即不与x轴平行）.所以有时候用直线方程x-x0=m(y-y0)也是需要讨论的.但是，只要直线方程x-x0=m(y-y0)能简化我们的化简过程，我们也应考虑用这个形式来解决问题.
以下我们通过对例题的分析来体验一下直线方程x-x0=m(y-y0)的应用：
例1 （2010年海口市调研试题）在平面直角坐标系中.已知两点A(-3,0)和B(3,0),定直线l0:x=92，平面内动点M总满足AM•BM=0.
(1) 求动点M的轨迹C的方程；
(2) 设过动点D(2,0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于Q,R两点，求证：直线AQ与BQ交点总在直线l0上.
解析：第（1）问由条件很容易判断出动点M的轨迹是一个以AB为直径的圆，所以轨迹C的方程为x2+y2=9；在第（2）问中，条件明确指出直线l与x轴不重合，满足直线方程x-x0=m(y-y0)的前提，所以可以设直线l方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，然后代入求解.过程如下：
由x=my+2x2+y2=9(m2+1)y2+4my-5=0，显然Δ＞0，
∴设Q(x1,y1)，R(x1,y1),则有y1+y2=-4mm2+1y1y2=-5m2+1……（*）
∵直线AQ的方程可写为：y=y1x1+3(x+3)=y1my1+5(x+3)……①
直线BQ的方程可写为：y=y2x2-3(x-3)=y2my2-1(x-3)……②
∴联立①②，可解得：x=6my1y2-3y1+15y25y2+y1
由（*）可知：y1+y2=4m5y1y2
∴15(y1+y2)=12my1y2，9y1+45y2=12my1y2-6y1+30y2
∴9(y1+5y2)=2(6my1y2-3y1+15y2)，∴x=92
∴直线AQ与BQ交点总在直线l0上.
评注：在做第（2）题时若选用点斜式，就必须讨论斜率不存在的情况.但是，学生在用点斜式时又常常忽视对斜率存不存在的讨论，犯以偏概全的错误，导致解题的不完整.
例2 （2011年西工大附中第四次适应性训练题）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-1，离心率e=22．
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 过点（1,0）作直线l交E于P,Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使MP•MQ为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) a-c=2-1e=ca=22a=2c=1b=1，
∴所求椭圆E的方程为：x22+y2=1
(2) 当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1
x2+2y2=2 (1)x=ky+1 (2)，把（2）代人（1）整理得：
(k2+2)y2+2ky-1=0
∴y1+y2=-2kk2+2y1•y2=1k2+2，
假设存在定点M(m,0)，使得MP•MQ为定值
MP•MQ=(x1-m,y1)•(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(ky1+1-m)(ky2+1-m)+y1y2
=(k2+1)y1y2+k(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=-(k2+1)k2+2-2k2(1-m)k2+2+(1-m)2
=(2m-3)k2-1k2+2+(1-m)2=(2m-3)(k2+2)+(5-4m)k2+2+(1-m)2
当且仅当5-4m=0，即m=54时，MP•MQ=-716（为定值）．
这时M54,0
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-2,0)，Q(2,0)
MP=-2-54,0，MQ=2-54,0
MP•MQ=-2-54•2-54=-716
∴存在定点M54,0使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l
均有MP•MQ=-716（恒为定值）．
评注：在第（2）问中，如果用点斜式，讨论是不可避免的.但是将斜率存在时的直线l方程设为y=k(x-1)，代入x22+y2=1中后消元得到的一元二次方程为：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.显然，该方程的系数要比(k2+2)y2+2ky-1=0中的系数麻烦的多，这就给后面用韦达定理的化简带来了麻烦！所以，虽然都要讨论，但从化简的角度来讲用直线方程x-x0=m(y-y0)要合理的多.
首先，对该方程中m的理解要到位.若直线的倾斜角为α，则m=cosα；若直线不与坐标轴平行，则可以认为m=1k.其次，直线方程x-x0=m(y-y0)可以表示过点(x0,y0)的直线，但前提必须是直线的倾斜角α不为零（也即不与x轴平行）.所以有时候用直线方程x-x0=m(y-y0)也是需要讨论的.但是，只要直线方程x-x0=m(y-y0)能简化我们的化简过程，我们也应考虑用这个形式来解决问题.
以下我们通过对例题的分析来体验一下直线方程x-x0=m(y-y0)的应用：
例1 （2010年海口市调研试题）在平面直角坐标系中.已知两点A(-3,0)和B(3,0),定直线l0:x=92，平面内动点M总满足AM•BM=0.
(1) 求动点M的轨迹C的方程；
(2) 设过动点D(2,0)的直线l（直线l与x轴不重合）交曲线C于Q,R两点，求证：直线AQ与BQ交点总在直线l0上.
解析：第（1）问由条件很容易判断出动点M的轨迹是一个以AB为直径的圆，所以轨迹C的方程为x2+y2=9；在第（2）问中，条件明确指出直线l与x轴不重合，满足直线方程x-x0=m(y-y0)的前提，所以可以设直线l方程为x-2=m(y-0)，即x=my+2，然后代入求解.过程如下：
由x=my+2x2+y2=9(m2+1)y2+4my-5=0，显然Δ＞0，
∴设Q(x1,y1)，R(x1,y1),则有y1+y2=-4mm2+1y1y2=-5m2+1……（*）
∵直线AQ的方程可写为：y=y1x1+3(x+3)=y1my1+5(x+3)……①
直线BQ的方程可写为：y=y2x2-3(x-3)=y2my2-1(x-3)……②
∴联立①②，可解得：x=6my1y2-3y1+15y25y2+y1
由（*）可知：y1+y2=4m5y1y2
∴15(y1+y2)=12my1y2，9y1+45y2=12my1y2-6y1+30y2
∴9(y1+5y2)=2(6my1y2-3y1+15y2)，∴x=92
∴直线AQ与BQ交点总在直线l0上.
评注：在做第（2）题时若选用点斜式，就必须讨论斜率不存在的情况.但是，学生在用点斜式时又常常忽视对斜率存不存在的讨论，犯以偏概全的错误，导致解题的不完整.
例2 （2011年西工大附中第四次适应性训练题）已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2-1，离心率e=22．
（1） 求椭圆E的方程；
（2） 过点（1,0）作直线l交E于P,Q两点，试问在x轴上是否存在一定点M，使MP•MQ为定值？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1) a-c=2-1e=ca=22a=2c=1b=1，
∴所求椭圆E的方程为：x22+y2=1
(2) 当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：x=ky+1
x2+2y2=2 (1)x=ky+1 (2)，把（2）代人（1）整理得：
(k2+2)y2+2ky-1=0
∴y1+y2=-2kk2+2y1•y2=1k2+2，
假设存在定点M(m,0)，使得MP•MQ为定值
MP•MQ=(x1-m,y1)•(x2-m,y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2
=(ky1+1-m)(ky2+1-m)+y1y2
=(k2+1)y1y2+k(1-m)(y1+y2)+(1-m)2
=-(k2+1)k2+2-2k2(1-m)k2+2+(1-m)2
=(2m-3)k2-1k2+2+(1-m)2=(2m-3)(k2+2)+(5-4m)k2+2+(1-m)2
当且仅当5-4m=0，即m=54时，MP•MQ=-716（为定值）．
这时M54,0
再验证当直线l的倾斜角α=0时的情形，此时取P(-2,0)，Q(2,0)
MP=-2-54,0，MQ=2-54,0
MP•MQ=-2-54•2-54=-716
∴存在定点M54,0使得对于经过（1,0）点的任意一条直线l
均有MP•MQ=-716（恒为定值）．
评注：在第（2）问中，如果用点斜式，讨论是不可避免的.但是将斜率存在时的直线l方程设为y=k(x-1)，代入x22+y2=1中后消元得到的一元二次方程为：(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.显然，该方程的系数要比(k2+2)y2+2ky-1=0中的系数麻烦的多，这就给后面用韦达定理的化简带来了麻烦！所以，虽然都要讨论，但从化简的角度来讲用直线方程x-x0=m(y-y0)要合理的多.