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【摘要】复习课不是知识的重现，而是学生知识的升华和能力的提高，更是方法的提炼和总结以及思维能力的培养与训练.教师在复习课的教学中，可以通过开放式起点激发学生参与，有效实现知识梳理；渐进式问题引导学生攀登，有效提升综合能力；启发式追问驱动学生思考，有效经历探究过程；点睛式归纳助推学生内化，有效积累活动经验.
【关键词】开放设问；变式探究；活动经验
数学复习课一直是初中数学教学的重要组成部分，教师要在“唱老歌”的过程中，实现“印深痕”的教学目的.因此，对复习课的研讨成了数学教研活动一个持久不息的主题.一次区级教研活动中，以浙教版八年级下的《反比例函数》为内容，笔者（钟伟）执教了一节单元复习课.教师在开放设问的基础上，通过变式探究，引导学生梳理所学知识，巩固所学技能，积累活动经验，取得了较好的效果.现将本节课的教学实录与思考整理成文，与同行交流分享.
1教学实录
生9：（在白板上标出相应的数量及辅助线）由题意知直线过点E、F，故可通过待定系数法求得直线y2=-2x 6，再求出点D坐标（3，0），点C坐标（0，6），过点E、F分别作y轴和x轴垂线段EG和FH.由坐标计算得CG=FH=2，EG=DH=1，由勾股定理计算得：DF=5，CE=5，所以CE=DF.
师：通过计算坐标，利用直角三角形勾股定理计算求得，方法上突出了一个“算”字.还有不同解法吗？
生10：我前面的和刚刚这位同学一样，后面由题意知：CG=FH，EG=DH，还有∠CGE=∠FHD=90°，所以可以通过SAS证明△CGE≌△FHD，故CE=DF.
师：找到三个等量关系，利用三角形全等的方法来证得CE=DF.可见，说明线段相等，可以从“算”和“证”两种途径来思考.下面我们来看问③.
生11：我是利用生9解决上一题所用的图形，通过S△OEF=S△COD-S△OCE-S△ODF来计算的.S△COD=12·OC·OD=9；S△OCE=12·GE·OC=3；S△ODF=12·OD·FH=3；所以S△OEF=9-3-3=3.
师：通过面积差来求指定三角形的面积，是常用的方法.还有其它解法吗？
生12：老师，我的想法是这样的：通过计算得CD=35，又由②知道：CE=DF=5，所以EF=5.由同底等高的三角形面积相等知S△OEF=S△ODF=S△OCE，所以S△OEF=13S△COD=3.
師：很好，把不便于直接计算面积的△OEF，转化为容易求得面积的△COD来解决，体现了转化思想.更值得学习的是，生12在解决该问题过程中，充分利用了前面已求证的结论（CE=DF），体现了递进求解的策略.
点评孤立的知识无法构建出良好的认知结构，也就很难内化成学生解决问题的能力[1].因此，复习课除了要完成指定内容的知识与方法的梳理，还要通过适当的载体引导学生关注它与其他数学知识的关联与整合.本环节正是通过问题串的层层递进，引导学生将反比例函数与一次函数、三角形全等、三角形面积的计算等知识关联，进而内化方法.
1.4拓展生长，提升能力
图6拓展1如图6，过点E的直线y=kx b分别交x轴，y轴于点D、C.若直线y2=kx b与双曲线y1=4x（x>0）的另一个交点是F点.
①过点E，F分别作x轴，y轴的平行线，得到四边形OGAH.试探究四边形OGAH的形状并说明理由.
②当矩形OGAH是正方形时，求证：OE=OF.
生13：由坐标系知：∠COD=90°，又因为AG∥x轴，AH∥y轴，所以∠OGA=90°=∠OHA=90°，故四边形OGAH是矩形.
师：很好，通过证明四边形有三个角是直角来判定矩形.还有其它证法吗？
生14：由AG∥x轴，AH∥y轴判定四边形OGAH是平行四边形，又因为∠COD=90°，故判定四边形OGAH是矩形.
师：通过证明有一个角是直角的平行四边形是矩形来解决问题，方法也很典型.那么，当点F在反比例函数图象上运动时，四边形OGAH是否还是矩形？有可能形成其他特殊四边形吗？
生15（短暂思考后）：在点F运动的过程中，四边形OGAH是矩形，当OH=OG时，四边形OGAH成为正方形.
师：很好（几何画板动态演示）.下面我们来探究问题②.
生16：我是用算的方法.由题意得：OG=4，GE=1，由勾股定理得OE=17，又因为四边形OGAH是正方形，所以OG=OH，即F点的横坐标是4，又因点F在反比例函数图象上，所以代入y1=4x得F（4，1），所以FH=1，在Rt△OHF中，由勾股定理得OE=17，所以OE=OF.
生17：那还可以考虑证的方法.既然求得F（4，1），那么GE=FH，因为OG=OH，∠OGE=∠OHF=90°，所以△OGE≌△OHF，故OE=OF.
师：太好了，两位同学分别从算和证的角度解决了问题.联想反比例函数相关结论，是否还有其它解法？
（几分钟后）生17：其实把我刚才的方法改一下就是新方法.因为点E，F在反比例函数图象上，根据k的几何意义，有S△OGE=S△OHF，又因为OG=OH，所以GE=FH，由勾股定理或全等得到OE=OF.
师：很好.从图象上挖掘出几何信息，利用反比例函数性质，使它和几何图形产生一定关联，帮助解题.
图7拓展2如图7，M、N是线段OE、OF的中点，连结MN.将△OEF沿x轴正方向平移，当点M运动到反比例函数图象上时，请直接写出线段MN所扫过的图形的面积.
（下课铃声响起，给本节课留下了一点遗憾）
点评本阶段教师基于原有探究问题，适当拓展生长，形成新的问题情境，引导学生深入思考，既巩固了前面梳理的学习成果，又进一步关联了之前所学的几何知识，通过知识的整合与问题的变式较好地提升了学生分析问题、解决问题的能力. 2教学总评
文[2]提及，复习课不是简单的重复，而是学生知识的升华和能力的提高，更是方法的提炼和总结以及思维能力的培养与训练.纵观本节复习课，教学环节相互关联，预设问题层层递进，有效激发了学生参与的热情与探究的欲望，取得了理想的复习效果.
2.1开放式起点激发学生参与，有效实现知识梳理
复习课的主要任务之一是唤醒并梳理已学知识.尽管是“炒冷饭”，但却想让学生品出“新味”，那么，兴趣的激发就显得尤为重要.从本节课看，执教者通过一个简单的函数图象，提出问题：你能获得哪些信息？问题起点很低，又极具开放性，有效激发了学生的参与兴趣，形成“破冰”效应，为后续学习创设了良好氛围.另一方面，开放性的问题又能从多角度唤醒学生对所学内容的回顾，激活已有经验，教师在生生互动与补充中完成有效梳理.
需要指出的是，对知识的梳理可能不是一蹴而就的.学生对问题的思考会因知识掌握程度或思考角度不同而表现不一.因此，实现知识的梳理需要教师在师生交流中有意识地补充完善，拉长梳理过程.例如本节课中环节1的主要目的是梳理知识，但从学生表现来看，对于反比例函数图象的中心对称性显然印象不深.对此，上课教师并未“及时”补充，而是拉长过程，通过让学生6在环节2的交流中补充这一性质.再如，反比例函数图象增减性的描述需指出x的取值范围，教师同样是通过学生5在具体问题的解决中来加以完善的.
2.2渐进式问题引导学生攀登，有效提升综合能力
如何在复习课中关注知识升华的同时促进能力提高，本节课做了很好的尝试.执教者立足一个图形，通过逐步添加条件衍生问题，引导学生经历图形由简到繁，问题由浅入深的攀登过程.如在环节4中，教师先立足于图形拓展后得到的四边形OGAH，探究其特殊之处，然后引导学生探究是否存在进一步特殊的可能，进而在正方形OGAH的基础上证明OE=OF，问题由浅入深，解决角度丰富.添加OE，OF的中点M、N后，更让学生经历了由静入动，由特殊到一般探究的全过程，有效提升了综合能力.
2.3启发式追问驱动学生思考，有效經历探究过程
创设合适的问题，能有效驱动学生思考，互动中有效展开追问，能引导学生思考得更深入，进而有效经历探究的全过程.在具体执教过程中，教师如何抓住追问契机，用怎样的方式追问，本节课中的执教者提供了一些可供参考的做法.
如在本节课的环节1中，教师抓住生3第一次涉及反比例函数图象性质的回答，先进行简洁概括（“这是反比例函数的一个性质”），为后面追问（“还能补充其他性质吗？”）做好铺垫，更为学生在思考这个问题时提供一种方向性的启发.又如，在环节3中，面对学生9解决“CE=DF”时主要采取计算的代数思维，执教者不是简单而苍白地追问：“还有其他方法吗”，而是先进行统领性概括，提升为“算”的方法，进而追问是否有其他方法，这样，学生在进一步思考时，就会从算以外的其他途径去寻觅方法，真正实现了让学生多角度思考问题，从而也就有效实现了问题的探究过程.
2.4点睛式归纳助推学生内化，有效积累活动经验
以“知识盘点 知识运用”的方式呈现，立足于“知识 技能”的复习课在当下仍不少见，此类课往往较少关注思想、方法和经验.须知，帮助学生积累数学活动经验也是数学教学的重要目标.
如在环节2中，生6利用函数图象来补充说明生7的答案遗漏处后，教师及时捕捉，适时概括，有效提炼出数形结合这一思想方法.点睛式的归纳，让课堂少了“贴标签”式的告知，多了“学后悟”的鲜活，有效助推了学生数学活动经验的积累.再如，环节4中在与生9互动后，教师通过启发式追问，精彩地生成了生10的思路，进而适时归纳解决问题的两种途径：算和证.方法的产生过程很鲜活，作为亲历者的学生印象深刻，自然容易被学生内化吸收（环节4中生16、生17即用这两种途径解决问题）.
当然，课堂教学永远是一门充满缺憾的艺术.从改进教学的角度思考，本节课或许还可以作如下改进：（1）环节4中问题拓展1中第1个小题的方法学生极易形成，教师若点到为止，则可以为问题拓展2的解决节省时间，有效弥补教学内容未完成的缺憾；（2）环节4中问题拓展1如果期望学生通过反比例函数k的几何意义解决问题，则应在巩固练习中添加一个小题作为回顾，则能让学生想到这一方法更流畅；（3）环节3的问题3，尽管有生11、生12两种方法求△OEF的面积，但都不是解决这一问题的通法，教师应适机补充（分别过E、F做x轴的垂线段，将△OEF转化为直角梯形解决）.
最后，需要提及，本节课教师通过几何画板与电子白板相互交融的方式实施教学，有效实现了抽象问题直观化的目的，生动地体现了媒体、软件等技术支持学习的优势，值得教师们深入探讨.
参考文献
[1]周立志.题组为媒串知识，顺学而导重“四基”：以“一元一次不等式（组）”的中考复习为例[J].中国数学教育（初中版），2015（7-8）：58-62.
[2]梁艳云，涂爱玲.运用“变式”进行复习课昀教学设计与反思：例谈全等三角形复习课的教学设计[J].中学数学杂志，2016（4）：25-28.
【关键词】开放设问；变式探究；活动经验
数学复习课一直是初中数学教学的重要组成部分，教师要在“唱老歌”的过程中，实现“印深痕”的教学目的.因此，对复习课的研讨成了数学教研活动一个持久不息的主题.一次区级教研活动中，以浙教版八年级下的《反比例函数》为内容，笔者（钟伟）执教了一节单元复习课.教师在开放设问的基础上，通过变式探究，引导学生梳理所学知识，巩固所学技能，积累活动经验，取得了较好的效果.现将本节课的教学实录与思考整理成文，与同行交流分享.
1教学实录
生9：（在白板上标出相应的数量及辅助线）由题意知直线过点E、F，故可通过待定系数法求得直线y2=-2x 6，再求出点D坐标（3，0），点C坐标（0，6），过点E、F分别作y轴和x轴垂线段EG和FH.由坐标计算得CG=FH=2，EG=DH=1，由勾股定理计算得：DF=5，CE=5，所以CE=DF.
师：通过计算坐标，利用直角三角形勾股定理计算求得，方法上突出了一个“算”字.还有不同解法吗？
生10：我前面的和刚刚这位同学一样，后面由题意知：CG=FH，EG=DH，还有∠CGE=∠FHD=90°，所以可以通过SAS证明△CGE≌△FHD，故CE=DF.
师：找到三个等量关系，利用三角形全等的方法来证得CE=DF.可见，说明线段相等，可以从“算”和“证”两种途径来思考.下面我们来看问③.
生11：我是利用生9解决上一题所用的图形，通过S△OEF=S△COD-S△OCE-S△ODF来计算的.S△COD=12·OC·OD=9；S△OCE=12·GE·OC=3；S△ODF=12·OD·FH=3；所以S△OEF=9-3-3=3.
师：通过面积差来求指定三角形的面积，是常用的方法.还有其它解法吗？
生12：老师，我的想法是这样的：通过计算得CD=35，又由②知道：CE=DF=5，所以EF=5.由同底等高的三角形面积相等知S△OEF=S△ODF=S△OCE，所以S△OEF=13S△COD=3.
師：很好，把不便于直接计算面积的△OEF，转化为容易求得面积的△COD来解决，体现了转化思想.更值得学习的是，生12在解决该问题过程中，充分利用了前面已求证的结论（CE=DF），体现了递进求解的策略.
点评孤立的知识无法构建出良好的认知结构，也就很难内化成学生解决问题的能力[1].因此，复习课除了要完成指定内容的知识与方法的梳理，还要通过适当的载体引导学生关注它与其他数学知识的关联与整合.本环节正是通过问题串的层层递进，引导学生将反比例函数与一次函数、三角形全等、三角形面积的计算等知识关联，进而内化方法.
1.4拓展生长，提升能力
图6拓展1如图6，过点E的直线y=kx b分别交x轴，y轴于点D、C.若直线y2=kx b与双曲线y1=4x（x>0）的另一个交点是F点.
①过点E，F分别作x轴，y轴的平行线，得到四边形OGAH.试探究四边形OGAH的形状并说明理由.
②当矩形OGAH是正方形时，求证：OE=OF.
生13：由坐标系知：∠COD=90°，又因为AG∥x轴，AH∥y轴，所以∠OGA=90°=∠OHA=90°，故四边形OGAH是矩形.
师：很好，通过证明四边形有三个角是直角来判定矩形.还有其它证法吗？
生14：由AG∥x轴，AH∥y轴判定四边形OGAH是平行四边形，又因为∠COD=90°，故判定四边形OGAH是矩形.
师：通过证明有一个角是直角的平行四边形是矩形来解决问题，方法也很典型.那么，当点F在反比例函数图象上运动时，四边形OGAH是否还是矩形？有可能形成其他特殊四边形吗？
生15（短暂思考后）：在点F运动的过程中，四边形OGAH是矩形，当OH=OG时，四边形OGAH成为正方形.
师：很好（几何画板动态演示）.下面我们来探究问题②.
生16：我是用算的方法.由题意得：OG=4，GE=1，由勾股定理得OE=17，又因为四边形OGAH是正方形，所以OG=OH，即F点的横坐标是4，又因点F在反比例函数图象上，所以代入y1=4x得F（4，1），所以FH=1，在Rt△OHF中，由勾股定理得OE=17，所以OE=OF.
生17：那还可以考虑证的方法.既然求得F（4，1），那么GE=FH，因为OG=OH，∠OGE=∠OHF=90°，所以△OGE≌△OHF，故OE=OF.
师：太好了，两位同学分别从算和证的角度解决了问题.联想反比例函数相关结论，是否还有其它解法？
（几分钟后）生17：其实把我刚才的方法改一下就是新方法.因为点E，F在反比例函数图象上，根据k的几何意义，有S△OGE=S△OHF，又因为OG=OH，所以GE=FH，由勾股定理或全等得到OE=OF.
师：很好.从图象上挖掘出几何信息，利用反比例函数性质，使它和几何图形产生一定关联，帮助解题.
图7拓展2如图7，M、N是线段OE、OF的中点，连结MN.将△OEF沿x轴正方向平移，当点M运动到反比例函数图象上时，请直接写出线段MN所扫过的图形的面积.
（下课铃声响起，给本节课留下了一点遗憾）
点评本阶段教师基于原有探究问题，适当拓展生长，形成新的问题情境，引导学生深入思考，既巩固了前面梳理的学习成果，又进一步关联了之前所学的几何知识，通过知识的整合与问题的变式较好地提升了学生分析问题、解决问题的能力. 2教学总评
文[2]提及，复习课不是简单的重复，而是学生知识的升华和能力的提高，更是方法的提炼和总结以及思维能力的培养与训练.纵观本节复习课，教学环节相互关联，预设问题层层递进，有效激发了学生参与的热情与探究的欲望，取得了理想的复习效果.
2.1开放式起点激发学生参与，有效实现知识梳理
复习课的主要任务之一是唤醒并梳理已学知识.尽管是“炒冷饭”，但却想让学生品出“新味”，那么，兴趣的激发就显得尤为重要.从本节课看，执教者通过一个简单的函数图象，提出问题：你能获得哪些信息？问题起点很低，又极具开放性，有效激发了学生的参与兴趣，形成“破冰”效应，为后续学习创设了良好氛围.另一方面，开放性的问题又能从多角度唤醒学生对所学内容的回顾，激活已有经验，教师在生生互动与补充中完成有效梳理.
需要指出的是，对知识的梳理可能不是一蹴而就的.学生对问题的思考会因知识掌握程度或思考角度不同而表现不一.因此，实现知识的梳理需要教师在师生交流中有意识地补充完善，拉长梳理过程.例如本节课中环节1的主要目的是梳理知识，但从学生表现来看，对于反比例函数图象的中心对称性显然印象不深.对此，上课教师并未“及时”补充，而是拉长过程，通过让学生6在环节2的交流中补充这一性质.再如，反比例函数图象增减性的描述需指出x的取值范围，教师同样是通过学生5在具体问题的解决中来加以完善的.
2.2渐进式问题引导学生攀登，有效提升综合能力
如何在复习课中关注知识升华的同时促进能力提高，本节课做了很好的尝试.执教者立足一个图形，通过逐步添加条件衍生问题，引导学生经历图形由简到繁，问题由浅入深的攀登过程.如在环节4中，教师先立足于图形拓展后得到的四边形OGAH，探究其特殊之处，然后引导学生探究是否存在进一步特殊的可能，进而在正方形OGAH的基础上证明OE=OF，问题由浅入深，解决角度丰富.添加OE，OF的中点M、N后，更让学生经历了由静入动，由特殊到一般探究的全过程，有效提升了综合能力.
2.3启发式追问驱动学生思考，有效經历探究过程
创设合适的问题，能有效驱动学生思考，互动中有效展开追问，能引导学生思考得更深入，进而有效经历探究的全过程.在具体执教过程中，教师如何抓住追问契机，用怎样的方式追问，本节课中的执教者提供了一些可供参考的做法.
如在本节课的环节1中，教师抓住生3第一次涉及反比例函数图象性质的回答，先进行简洁概括（“这是反比例函数的一个性质”），为后面追问（“还能补充其他性质吗？”）做好铺垫，更为学生在思考这个问题时提供一种方向性的启发.又如，在环节3中，面对学生9解决“CE=DF”时主要采取计算的代数思维，执教者不是简单而苍白地追问：“还有其他方法吗”，而是先进行统领性概括，提升为“算”的方法，进而追问是否有其他方法，这样，学生在进一步思考时，就会从算以外的其他途径去寻觅方法，真正实现了让学生多角度思考问题，从而也就有效实现了问题的探究过程.
2.4点睛式归纳助推学生内化，有效积累活动经验
以“知识盘点 知识运用”的方式呈现，立足于“知识 技能”的复习课在当下仍不少见，此类课往往较少关注思想、方法和经验.须知，帮助学生积累数学活动经验也是数学教学的重要目标.
如在环节2中，生6利用函数图象来补充说明生7的答案遗漏处后，教师及时捕捉，适时概括，有效提炼出数形结合这一思想方法.点睛式的归纳，让课堂少了“贴标签”式的告知，多了“学后悟”的鲜活，有效助推了学生数学活动经验的积累.再如，环节4中在与生9互动后，教师通过启发式追问，精彩地生成了生10的思路，进而适时归纳解决问题的两种途径：算和证.方法的产生过程很鲜活，作为亲历者的学生印象深刻，自然容易被学生内化吸收（环节4中生16、生17即用这两种途径解决问题）.
当然，课堂教学永远是一门充满缺憾的艺术.从改进教学的角度思考，本节课或许还可以作如下改进：（1）环节4中问题拓展1中第1个小题的方法学生极易形成，教师若点到为止，则可以为问题拓展2的解决节省时间，有效弥补教学内容未完成的缺憾；（2）环节4中问题拓展1如果期望学生通过反比例函数k的几何意义解决问题，则应在巩固练习中添加一个小题作为回顾，则能让学生想到这一方法更流畅；（3）环节3的问题3，尽管有生11、生12两种方法求△OEF的面积，但都不是解决这一问题的通法，教师应适机补充（分别过E、F做x轴的垂线段，将△OEF转化为直角梯形解决）.
最后，需要提及，本节课教师通过几何画板与电子白板相互交融的方式实施教学，有效实现了抽象问题直观化的目的，生动地体现了媒体、软件等技术支持学习的优势，值得教师们深入探讨.
参考文献
[1]周立志.题组为媒串知识，顺学而导重“四基”：以“一元一次不等式（组）”的中考复习为例[J].中国数学教育（初中版），2015（7-8）：58-62.
[2]梁艳云，涂爱玲.运用“变式”进行复习课昀教学设计与反思：例谈全等三角形复习课的教学设计[J].中学数学杂志，2016（4）：25-28.