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2004年高考数学湖北卷上有一道选择题。原题是这样的:已知平面α与β所成的二面角为80°,P为α、β外一定点,过点P的一条直线与α、β所成的角都是30°,则这样的直线有且仅有
A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条
此题被很多专家和老师认同为2004年湖北卷上一道较有创意的好题,它全面的考察了学生对空间点、线、面的认知情况,考题的背后隐藏着丰富的知识背景。解答此题需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力,更为称道的是,此题只是“冰山一角”,它提出了一个更一般的命题:与两相交平面成等角的直线问题。下文将围绕这一主旨作一点粗浅研究,仅供参考。
如图:在棱l上任取一点M,过P作PA⊥α于A,过P作PB⊥β于B,连接MP,MA,MB,易知∠PMA是MP与α所成的角,∠PMB是MP与β所成的角。由题意可得∠PMA=∠PMB。
从而得到RtΔPMA≌RtΔPMB,所以PA=PB,即点P满足到平面α与平面β的距离相等,故点P在α与β的角平分面上,故直线MP在角平分面内。
结论2:若二面角的平面角为θ,则角平分面内的直线与两个半平面所成的最大角为θ2。下面给出结论2的简单证明:
过点P作棱l的垂面与棱l交于N,连NA,NB,NP,易知NA⊥l,NB⊥l,则∠BNA为二面角的平面角,大小为θ,∠PNA =∠PNB=θ/2,在RtΔPNA中,tan∠PNA=|PA/NA|,在棱I 上任取一点M(异于点N),连接MA,在RtΔPMA中tan∠PMA=|PA/MA|,因为|MA|>|NA|,所以tan∠PNA>tan∠PMA,从而∠PMA<∠PNA,而∠PNA=θ/2,故结论2成立。
由上述两个结论,我们可以得到关于第二类直线的一般结论:
若较小的二面角大小为θ,直线与两个半平面所成角为α(0<α<π/2),
当α<θ/2时,无论点P在何区域,有且仅有2条;
当α=θ/2时,点P若在区域Ⅰ,则有1条,点P若在区域Ⅱ,则有2条;
当θ2<α<(π-θ)/2时,点P若在区域Ⅰ,则没有,点P若在区域Ⅱ,则有2条;
当α=(π-θ)/2时,点P若在区域Ⅰ,则没有,点P若在区域Ⅱ,则有1条;
当α>(π-θ)/2时,点P无论在何区域,这样的直线均不存在。
由此可见,与两相交平面成等角的直线究竟有多少,与这两个平面所成的二面角以及直线与平面所成角的大小均有关,要视具体情况而定。
(审稿:周沛耕编校:吴春燕)
A. 1条 B. 2条C. 3条D. 4条
此题被很多专家和老师认同为2004年湖北卷上一道较有创意的好题,它全面的考察了学生对空间点、线、面的认知情况,考题的背后隐藏着丰富的知识背景。解答此题需要较强的空间想象能力和逻辑思维能力,更为称道的是,此题只是“冰山一角”,它提出了一个更一般的命题:与两相交平面成等角的直线问题。下文将围绕这一主旨作一点粗浅研究,仅供参考。
如图:在棱l上任取一点M,过P作PA⊥α于A,过P作PB⊥β于B,连接MP,MA,MB,易知∠PMA是MP与α所成的角,∠PMB是MP与β所成的角。由题意可得∠PMA=∠PMB。
从而得到RtΔPMA≌RtΔPMB,所以PA=PB,即点P满足到平面α与平面β的距离相等,故点P在α与β的角平分面上,故直线MP在角平分面内。
结论2:若二面角的平面角为θ,则角平分面内的直线与两个半平面所成的最大角为θ2。下面给出结论2的简单证明:
过点P作棱l的垂面与棱l交于N,连NA,NB,NP,易知NA⊥l,NB⊥l,则∠BNA为二面角的平面角,大小为θ,∠PNA =∠PNB=θ/2,在RtΔPNA中,tan∠PNA=|PA/NA|,在棱I 上任取一点M(异于点N),连接MA,在RtΔPMA中tan∠PMA=|PA/MA|,因为|MA|>|NA|,所以tan∠PNA>tan∠PMA,从而∠PMA<∠PNA,而∠PNA=θ/2,故结论2成立。
由上述两个结论,我们可以得到关于第二类直线的一般结论:
若较小的二面角大小为θ,直线与两个半平面所成角为α(0<α<π/2),
当α<θ/2时,无论点P在何区域,有且仅有2条;
当α=θ/2时,点P若在区域Ⅰ,则有1条,点P若在区域Ⅱ,则有2条;
当θ2<α<(π-θ)/2时,点P若在区域Ⅰ,则没有,点P若在区域Ⅱ,则有2条;
当α=(π-θ)/2时,点P若在区域Ⅰ,则没有,点P若在区域Ⅱ,则有1条;
当α>(π-θ)/2时,点P无论在何区域,这样的直线均不存在。
由此可见,与两相交平面成等角的直线究竟有多少,与这两个平面所成的二面角以及直线与平面所成角的大小均有关,要视具体情况而定。
(审稿:周沛耕编校:吴春燕)