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摘 要：2011年江苏卷压轴题，师生通过探究式教学，顺利地攻克此题，体现了新课程标准下的课堂教学模式的改变，以学生个性发展为前提，立足于学生的长远发展，着眼于学生的创造能力和教师的主动学习能力的提升． 通过引导，培养学生研究问题的兴趣，同时教者应加大教学反思力度，从而做到精益求精，不断提高教学探究的能力和品位．
关键词：探究式教学；教学反思
■问题
（江苏2011，20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛ａn｝的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．
（1）设M=｛1｝，a2=2，求a5的值．
（2）设M=｛3，4｝，求数列｛ａn｝的通项公式．
作为压轴题，着重考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查学生分析探究及逻辑思维能力，但标准答案解法较抽象，学生表述困难．解题思路教师都难想到，更何况是学生．
由于第1问较简单，从略，本人选取了符合学生认知规律的解法对第2问进行了探究式教学，过程如下，与同仁交流．
■探究
教师：第2问，M=｛3，4｝，k值可能为多少？又能得到怎样的关系式？
学生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②
教师：①中，怎样做才能得到各项之间的关系？
（学生沉默一会）
学生2：根据①再写一个等量关系，将它们作差，但不知行不行．
该生接着说，
Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′
①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．
②中，类似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．
（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛ａn｝成等差数列．
学生3：｛ａn｝不成等差数列，因为它们不是相邻三项之间的关系．
教师：对，怎样才能找到相邻三项之间的关系？（提示一下）
由（*）知｛ａn｝每隔两项成等差数列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差数列；
由（**）知｛ａn｝每隔三项成等差数列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差数列．
学生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．
学生5：｛ａn｝每隔一项成等差数列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差数列，则an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．
故｛ａn｝成等差数列．
学生6：｛ａn｝不一定成等差数列，因为n≥8，所以从第9项起成等差数列．
教师：设从第9项起公差为d，再探究前8项是否成等差数列，公差是否相同．
（沉默一段时间）
学生7：（急切地站起来），我将（*）（**）两式分别用几个值代入，
得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11， 2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13. 最下面一行两个等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再将第二组相邻两行两个等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．
（全班学生鼓掌）
教师：如何确定第一、二项之间的关系？
学生8：由起始关系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．
由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．
由③④解得a2=3，d=2，
所以an=2n－1．
教师：解题的关键在何处？是如何处理的？
学生9：在等量关系式①②中消去常数S3，S4，从一个等量关系式中构造出一个等式（用n+1代n），再将它们作差．
■拓展
教师：M=｛3，4｝，换成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通项公式an仍可以求出吗？
（学生沉默一会）
学生10：M=｛2，3｝，方法和刚才一样，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，
则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．
学生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立． M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差数列．
学生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，
从而an=2n－1，其余形式不行．
本探究过程自然、合理，合乎学生的思考习惯，对培养学生逻辑思维能力、推理能力大有裨益．
■溯源
本高考题是在《教学大纲》《考试说明》的要求下，重点考查了等差数列这一C级知识点，假设｛ａn｝成等差数列，则Sn=An2+Bn，然后构造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）这个条件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）
对n∈N*恒成立，则2Ak2=2k2，2Bk=0 （k≠0），所以A=1，B=0. 从而Sn=n2，an=2n－1.
最后用k=3，k=4两个条件确定这个数列，该数列就成了等差数列． 由于函数的表达式与数列通项既有联系又有区别，故反过来推导出等差数列就困难得多．
■反思
1. 注重教师素养提升
随着课改的深入，教师不仅要重视教学结果，而且越来越要关注教学过程，教师除了将主要精力放在学生身上，也越来越注重自身发展，努力提升自己的教育教学素养． 对于习题讲解，首先教者要“沉”下去，亲自做一做，想一想，找到符合学生认知规律的最优解法，不能“人云亦云”，决不能“拿来主义”，课堂上生搬硬抄标准答案．
2. 鼓励学生自主探究
建构式理论告诉我们，只有把知识的“根”扎在学生自己的经验里，才能实现真正意义上的建构． 学生利用自己的经验去感受、理解知识的产生与发展过程，通过课堂教学活动养成自主探究的习惯，学生能讲的让学生讲，学生能做的让学生做，学生的解题方略与“标准答案”有差距，加以肯定，尽可能激发学生的灵感火花，对一些独到的解法应及时鼓励和表扬．
3. 培养良好心理素质
对于这道高考题，考后很多学生非常懊恼，无论如何也不至于只得了这么一点分（省平均分为2.8分）． 这与时间紧，此题难有关系，但主要的还是应试的心理素质不高，瞬时乱了方寸，针对这种情况，平时做作业、测试中，要求学生做到审题细，演算准，表达清，向他们灌输这样的理念：未弄清题意切勿下笔，要审清问题涉及哪些知识，用什么方法去突破，表达要完整清晰，过程要简洁明了． 教师要培养学生的良好心理素质，解决学生题目怕新、运算怕繁的心理问题，使学生的认知水平和思维能力呈螺旋式上升．
关键词：探究式教学；教学反思
■问题
（江苏2011，20）设M为部分正整数组成的集合，数列｛ａn｝的首项a1=1，前n项和为Sn，已知对任意的整数k∈M，当整数n>k时，Sn+k＋Sn-k=2（Sn+Sk）都成立．
（1）设M=｛1｝，a2=2，求a5的值．
（2）设M=｛3，4｝，求数列｛ａn｝的通项公式．
作为压轴题，着重考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查学生分析探究及逻辑思维能力，但标准答案解法较抽象，学生表述困难．解题思路教师都难想到，更何况是学生．
由于第1问较简单，从略，本人选取了符合学生认知规律的解法对第2问进行了探究式教学，过程如下，与同仁交流．
■探究
教师：第2问，M=｛3，4｝，k值可能为多少？又能得到怎样的关系式？
学生1：k=3或k=4，能得到Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-4=2（Sn+S4）（n≥5）②
教师：①中，怎样做才能得到各项之间的关系？
（学生沉默一会）
学生2：根据①再写一个等量关系，将它们作差，但不知行不行．
该生接着说，
Sn+3+Sn-3=2（Sn+S3）（n≥4）①Sn+4+Sn-2=2（Sn+1+S3）（n≥3）①′
①′－①得，Sn+4－Sn+3+Sn-2－Sn-3=2Sn+1－2Sn，即2an+1=an-2+an+4（n≥4）（*）．
②中，类似可得到2an+1=an-3+an+5（n≥5）（**）．
（**）－（*）得，an+5－an+4=an-2－an-3=…=a3－a2=d（n≥5），故｛ａn｝成等差数列．
学生3：｛ａn｝不成等差数列，因为它们不是相邻三项之间的关系．
教师：对，怎样才能找到相邻三项之间的关系？（提示一下）
由（*）知｛ａn｝每隔两项成等差数列，即an-6，an-3，an，an+3，an+6（n≥8）成等差数列；
由（**）知｛ａn｝每隔三项成等差数列，即an-6，an-2，an+2，an+6（n≥8）成等差数列．
学生4：由（*）（**）得2an=an+3+an-3=an-6＋an+6=an-2+an+2．
学生5：｛ａn｝每隔一项成等差数列，即an-3，an-1，an+1，an+3，成等差数列，则an-1+an+1=an-3+an+3=2an（n≥8）．
故｛ａn｝成等差数列．
学生6：｛ａn｝不一定成等差数列，因为n≥8，所以从第9项起成等差数列．
教师：设从第9项起公差为d，再探究前8项是否成等差数列，公差是否相同．
（沉默一段时间）
学生7：（急切地站起来），我将（*）（**）两式分别用几个值代入，
得到2a5=a2+a8，2a6=a3+a9，2a7=a4+a10，2a8=a5+a11， 2a6=a2+a10，2a7=a3+a11，2a8=a4+a12，2a9=a5+a13. 最下面一行两个等式作差得a9－a8=d，同理得a8－a7=a7－a6=a6－a5=d，再将第二组相邻两行两个等式作差，得a5－a4=a4－a3=a3－a2=d，即an+1－an=d（n≥2）．
（全班学生鼓掌）
教师：如何确定第一、二项之间的关系？
学生8：由起始关系式①得a5+a6+a7=a2+a3+a4+2S3，所以2S3=9d，即4a2－7d+2=0③．
由②得a6+a7+a8+a9=a2+a3+a4+a5+2S4，所以2S4=16d，即3a2－5d+1=0④．
由③④解得a2=3，d=2，
所以an=2n－1．
教师：解题的关键在何处？是如何处理的？
学生9：在等量关系式①②中消去常数S3，S4，从一个等量关系式中构造出一个等式（用n+1代n），再将它们作差．
■拓展
教师：M=｛3，4｝，换成M=｛2，3｝，｛4，5｝，｛4，6｝，通项公式an仍可以求出吗？
（学生沉默一会）
学生10：M=｛2，3｝，方法和刚才一样，得an+1－an=d（n≥2）且2S3=9d，2S2=4d，
则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立．
学生11：M=｛4，5｝，an+1－an=d（n≥2）且2S4=16d，2S5=25d，则a2=3，d=2，an=2n－1仍成立． M=｛4，6｝，不能得出an+1－an=d，故不成等差数列．
学生12：一般地，M=｛m，m+1｝（m∈N*），得an+1－an=d且2Sm=m2d，2Sm+1=（m+1）2d，
从而an=2n－1，其余形式不行．
本探究过程自然、合理，合乎学生的思考习惯，对培养学生逻辑思维能力、推理能力大有裨益．
■溯源
本高考题是在《教学大纲》《考试说明》的要求下，重点考查了等差数列这一C级知识点，假设｛ａn｝成等差数列，则Sn=An2+Bn，然后构造了Sn+k+Sn-k=2（Sn+Sk）这个条件，即A（n+k）2+B（n+k）+A（n－k）2+B（n－k）=2（An2+Bn+Ak2+Bk）
对n∈N*恒成立，则2Ak2=2k2，2Bk=0 （k≠0），所以A=1，B=0. 从而Sn=n2，an=2n－1.
最后用k=3，k=4两个条件确定这个数列，该数列就成了等差数列． 由于函数的表达式与数列通项既有联系又有区别，故反过来推导出等差数列就困难得多．
■反思
1. 注重教师素养提升
随着课改的深入，教师不仅要重视教学结果，而且越来越要关注教学过程，教师除了将主要精力放在学生身上，也越来越注重自身发展，努力提升自己的教育教学素养． 对于习题讲解，首先教者要“沉”下去，亲自做一做，想一想，找到符合学生认知规律的最优解法，不能“人云亦云”，决不能“拿来主义”，课堂上生搬硬抄标准答案．
2. 鼓励学生自主探究
建构式理论告诉我们，只有把知识的“根”扎在学生自己的经验里，才能实现真正意义上的建构． 学生利用自己的经验去感受、理解知识的产生与发展过程，通过课堂教学活动养成自主探究的习惯，学生能讲的让学生讲，学生能做的让学生做，学生的解题方略与“标准答案”有差距，加以肯定，尽可能激发学生的灵感火花，对一些独到的解法应及时鼓励和表扬．
3. 培养良好心理素质
对于这道高考题，考后很多学生非常懊恼，无论如何也不至于只得了这么一点分（省平均分为2.8分）． 这与时间紧，此题难有关系，但主要的还是应试的心理素质不高，瞬时乱了方寸，针对这种情况，平时做作业、测试中，要求学生做到审题细，演算准，表达清，向他们灌输这样的理念：未弄清题意切勿下笔，要审清问题涉及哪些知识，用什么方法去突破，表达要完整清晰，过程要简洁明了． 教师要培养学生的良好心理素质，解决学生题目怕新、运算怕繁的心理问题，使学生的认知水平和思维能力呈螺旋式上升．