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我刚刚进入高中学习数学时，感觉很难，尤其是学习函数。但老师告诫我们：函数是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础。后来用心学习，不仅数学成绩斐然，还有了一些心得体会。
对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数本身的对称性
我们学习了函数之后知道了如下的一些对称性质：
奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称。
同时我又发现了如下结论：
（1）函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b。
证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，因为点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，所以2b-y=f（2a-x），
即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。
（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。
因为f（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。
故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。
（2）函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。
（3）若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
（1）函数f（x）与f（-x）的图像关于y轴对称。
（2）函数f（x）与-f（x）的图像关于x轴对称。
（3）函数f（x）与-f（-x）的图像关于原点对称。
（4）函数f（x）与f（2a-x）的图像关于直线x=a对称。
（5）曲线f（x，y）=0与曲线f（2a-x，2b-y）=0的图像关于点（a，b）对称。
（6）|f（x）|的图像先保留f（x）原来在x轴上方的图像，作出x轴下方的图像关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到。
（7）f（|x|）的图像先保留f（x）在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后作出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到。
除上面的性质外，我们还可以发现：
（8）函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称。
（9）函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。
（10）函数y=f（x）与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx（kπ，0）x=kπ+π[]2y=cosxkπ+π[]2，0x=kπy=tanxkπ[]2，0无
注：①上表中k∈Z；
②y=tanx的所有对称中心坐标应该是kπ[]2，0，而我们很多同学都认为y=tanx的所有对称中心坐标是（kπ，0），这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1定义在R上的非常数函数满足：f（2+x）为偶函数，且f（1-x）=f（1+x），则f（x）（）。
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D.是奇函数，但不是周期函数
解析：因为f（2+x）为偶函数，所以f（2+x）=f（2-x）。
所以f（x）有两条对称轴x=1与x=2，因此f（x）是以2为其一个周期的周期函数，所以x=0，即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选A。
例2作函数y=1|x|-1的图像。
解析：定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数。又当x≥0且x≠1时，y=1x-1。
先作函数y=1x的图像，并将图像向右平移1个单位，得到函数y=1x-1（x≥0且x≠1）的图像，如图1所示。
又函数是偶函数，作关于y轴对称的图像，得y=1|x|-1的图像，如图2所示。
例3函数y=sin2x+5π2的图像的一条对称轴的方程是（）。
A.x=-π2B.x=-π4
C.x=π8D.x=5π4
解析：函数y=sin2x+5π2的图像的所有对称轴的方程是2x+5π2=kπ+π2，
所以x=kπ2-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-π2。故选A。
例4设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（）。
A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5
解析：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以点（0，0）是其对称中心。又因为f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以直线x=1是y=f（x）的对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。
所以f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5。故选B。
例5函数f（x）的部分图像如图3所示，则函数f（x）的解析式是（）。
A.f（x）=x+sinx
B.f（x）=cosxx
C.f（x）=xcosx
D.f（x）=x·x-π2·x-3π2
解析：由图像知f（x）为奇函数，排除D；又0，±π2，±3π2为方程f（x）=0的根，故选C。
从以上解答中我们可以发现，充分利用函数的对称性，结合函数的奇偶性和周期性等性质来解题，会有事半功倍、四两拨千斤的效果。
作者单位：湖南省长沙市雅礼中学高1318班
对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美。下面通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质。
一、函数本身的对称性
我们学习了函数之后知道了如下的一些对称性质：
奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称。
同时我又发现了如下结论：
（1）函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b。
证明：（必要性）设点P（x，y）是y=f（x）图像上任一点，因为点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a-x，2b-y）也在y=f（x）图像上，所以2b-y=f（2a-x），
即y+f（2a-x）=2b，故f（x）+f（2a-x）=2b，必要性得证。
（充分性）设点P（x0，y0）是y=f（x）图像上任一点，则y0=f（x0）。
因为f（x）+f（2a-x）=2b，所以f（x0）+f（2a-x0）=2b，即2b-y0=f（2a-x0）。
故点P′（2a-x0，2b-y0）也在y=f（x）图像上，而点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得征。
（2）函数y=f（x）的图像关于直线x=a对称的充要条件是
f（a+x）=f（a-x），即f（x）=f（2a-x）。
（3）若函数y=f（x）的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y=f（x）是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。
二、不同函数对称性的探究
（1）函数f（x）与f（-x）的图像关于y轴对称。
（2）函数f（x）与-f（x）的图像关于x轴对称。
（3）函数f（x）与-f（-x）的图像关于原点对称。
（4）函数f（x）与f（2a-x）的图像关于直线x=a对称。
（5）曲线f（x，y）=0与曲线f（2a-x，2b-y）=0的图像关于点（a，b）对称。
（6）|f（x）|的图像先保留f（x）原来在x轴上方的图像，作出x轴下方的图像关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图像得到。
（7）f（|x|）的图像先保留f（x）在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后作出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到。
除上面的性质外，我们还可以发现：
（8）函数y=f（x）与y=2b-f（2a-x）的图像关于点A（a，b）成中心对称。
（9）函数y=f（x）与y=f（2a-x）的图像关于直线x=a成轴对称。
（10）函数y=f（x）与x=f（y）的图像关于直线x=y成轴对称。
三、三角函数图像的对称性列表
函数对称中心坐标对称轴方程y=sinx（kπ，0）x=kπ+π[]2y=cosxkπ+π[]2，0x=kπy=tanxkπ[]2，0无
注：①上表中k∈Z；
②y=tanx的所有对称中心坐标应该是kπ[]2，0，而我们很多同学都认为y=tanx的所有对称中心坐标是（kπ，0），这明显是错的。
四、函数对称性应用举例
例1定义在R上的非常数函数满足：f（2+x）为偶函数，且f（1-x）=f（1+x），则f（x）（）。
A.是偶函数，也是周期函数
B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数
D.是奇函数，但不是周期函数
解析：因为f（2+x）为偶函数，所以f（2+x）=f（2-x）。
所以f（x）有两条对称轴x=1与x=2，因此f（x）是以2为其一个周期的周期函数，所以x=0，即y轴也是f（x）的对称轴，因此f（x）还是一个偶函数。故选A。
例2作函数y=1|x|-1的图像。
解析：定义域是{x|x∈R且x≠±1}，且函数是偶函数。又当x≥0且x≠1时，y=1x-1。
先作函数y=1x的图像，并将图像向右平移1个单位，得到函数y=1x-1（x≥0且x≠1）的图像，如图1所示。
又函数是偶函数，作关于y轴对称的图像，得y=1|x|-1的图像，如图2所示。
例3函数y=sin2x+5π2的图像的一条对称轴的方程是（）。
A.x=-π2B.x=-π4
C.x=π8D.x=5π4
解析：函数y=sin2x+5π2的图像的所有对称轴的方程是2x+5π2=kπ+π2，
所以x=kπ2-π，显然取k=1时的对称轴方程是x=-π2。故选A。
例4设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=（）。
A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5
解析：因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以点（0，0）是其对称中心。又因为f（x+2）=-f（x）=f（-x），即f（1+x）=f（1-x），所以直线x=1是y=f（x）的对称轴，故y=f（x）是周期为2的周期函数。
所以f（7.5）=f（8-0.5）=f（-0.5）=-f（0.5）=-0.5。故选B。
例5函数f（x）的部分图像如图3所示，则函数f（x）的解析式是（）。
A.f（x）=x+sinx
B.f（x）=cosxx
C.f（x）=xcosx
D.f（x）=x·x-π2·x-3π2
解析：由图像知f（x）为奇函数，排除D；又0，±π2，±3π2为方程f（x）=0的根，故选C。
从以上解答中我们可以发现，充分利用函数的对称性，结合函数的奇偶性和周期性等性质来解题，会有事半功倍、四两拨千斤的效果。
作者单位：湖南省长沙市雅礼中学高1318班