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【摘要】本文对整体思想在初中数学解题中的运用作初步的分析探讨，论述了整体思想在数学学习中的重要性。
【关键词】整体思想；运用
整体思想是一种重要的思想方法，什么是整体思想？整体思想就是将问题看成一个完整的整体，注重问题的整体结构和结构改造的思维过程。它的特点是从宏观上全面观察事物的整体结构，从整体上去揭示事物的本质。在数学解题中灵活应用整体思想能够达到快捷、简洁、过程容易的功效。我们在学好基本概念 和基本知识的前提下应多注重学习体会这种数学思想在实际解题中的运用，从而体会这种思想，努力提高分析问题和解决问题的能力。初中数学运用整体思想解题的具体表现形式有全局整体法、整体代换法、整体改造法、局部整体法、整体补形法等。现就结合自己多年的教学实践，在广泛吸取同行经验的基础上，谈谈整体思想在如下几方面的实际运用。
一、整体思想在代数式求值中的运用
七年级上册《数学》的第三章中用字母表示数就是一个整体思想运用的体现，代数式中的字母不仅可以表示一个数，还可以表示成一个式子或一系列的数值。
例1：已知x+y=3，x3+y3+x2y+xy2=9，求x2+y2的值。
分析与解答：欲求x2+y2的值，最容易想到的是先求x与y的值。因而要先解方程。这样便产生两个问题，其一，我们现在还没学过解方程；其二，即使将用x来表示出y的代数式代入解那计算也是复杂的事，不过，能从整体上改变，将x3+y3+x2y+xy2=9变形为（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=9，即x2-xy+y2+xy=3，故x2+y2=3。
解：∵ x3+y3+x2y+xy2=（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）
=（x+y）（x2-xy+y2+xy）=（x+y）（x2+y2）=9，x+y=3
∴ x2+y2=3
像这类问题从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从“整体” 上把握已知量之间的关系，则思路更为明朗、解法更为巧妙。
二、整体思想在解方程中的运用
我们在解方程的过程中常会发现一些计算较复杂的方程，但若能运用整体思想加以详细考察的话往往会是“柳暗花明又一村”。
例2：已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值。
分析：若把（a2+b2）看作一个整体，则原方程是以（a2+b2）为未知数的一元二次方程，可用因式分解法去解。
解：[（a2+b2）-3][（a2+b2）+2]=0
∴a2+b2-3=0或a2+b2+2=0
a2+b2=3或a2+b2=－2
∵a2+b2>0 ∴a2+b2=－2 （不合题意，舍去）
∴a2+b2=3
从上面的例子可以看出，在分析解题过程中，通过研究问题的整体形式，作整体处理后，便顺利简洁地处理了问题。
三、整体思想在因式分解中的运用
一些因式分解题，分了又分，解了又解，走了山路十八弯仍分解不出来，或者是算了满满的几页草稿方得出答案。此类问题不妨运用整体思想来加以考虑问题、解决问题，你会真正体会到这种思想在解题中的奇迹性，真有“水到渠成”的感觉。
例3：分解因式（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3
分析：如果展开后消掉一部分项再分解，运算量较大。通过观察不难发现a+2b+c=（a+b）+（b+c），那么就可以通过局部整体处理换元简化我们的运算过程。
解：设A=a+b，B=b+c则A+B=a+2b+c 从而
原式=（A+B）3-A3-B3
=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3
=3A2B+3AB2
=3AB（A+B）
=3（a+b）（b+c）（a+2b+c）
例4：因式分解（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）-120a4
分析：观察（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）中（x-a）（x-4a）=x2-5ax+4a2，（x-2a）（x-3a）=x2-5ax+6a2，这两个乘积中都含有x2-5ax二次项，一次项的系数分别相同，此时即可通过局部整体换元，令u=x2-5ax代入原式，将原式转化为u=x2-5ax代入原式，将原式转化为u的二次三次式后再用分组分解法分解因式。
本题通过整体考虑代换后达到思路清晰、明了，便于提高分析问题与解决问题的能力。
四、整体思想在几何解题中的运用
在初中几何教学中，加强整体思维训练，有利于培养学生思维的全面性、创造性；有利于开发智力和增进学习兴趣，运用整体思想解某些几何题的独到之处是把已知图形看作某个图形的一部分，然后补形构造出整体图形，从分析整体与局部的有机联系中，使问题迅速获解。
例5：如图，CD，BE分别是△ABC的∠ACB，∠ABC的外角的平方线，且CD⊥AD、AE⊥BE，若BC=a、CA=b，AB=c，求DE的长。
分析：从已知图形中直接求出DE的长较难，若用整体的观点看待此题，可以先作出Rt△BEA，Rt△CDA分别关于BE、CD对称的图形，即作出整个三角形AFG，问题便迎刃而解。
解：如右图，延长AE、AD分别交CB的延长线和反向延长线于F、G，则由已知易得。
AE=EF、AD=DG 且BF=AB= c，CG=AC= b
从而ED是△AFG的中位线
∴ DE = FG = （a+b+c）。
由这道几何题可以看出运用整体思想指导解题使得我们解题明晰快捷。
五、整体思想在解综合题中的运用
有些综合题，如果拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；如从整体考虑，则“峰回路转”，迅速求解。
例7：在Rt△ABC中∠C=90°，若其周长为+4，斜边上的中线为2。⑴求这个三角形的面积；⑵求这个直角三角形内切圆的面积；⑶若这个直解三角形两个锐角的正切tanA和tanB是一个一元二次方程的两个根，试写出这个一元二次方程。
解：⑴∵c=2×2=4，a+b+c=+4
∴a+b=
又a2+b2 = 42 ∴ ab= 6
S△=ab=3
⑵Rt△ABC内切圆半径r =（a+b-c）= -2
∴S内切圆=πr2=（11- 4）π
⑶∵tanA+ tanB =+ =，tanA·tanB=1
∴所求方程为x2-x+1=0
即 3x2-8x+3=0
分析：本题求面积，不必分别求出a、b，而以ab=6和a+b=2，而且求方程时利用根的性质运用韦达定理，直接整体运用，从而使问题易于求解。
综上所述，运用整体思想解题，能够拓展学生的思维，提高学生的分析问题和解决问题的能力，是一种重要的数学思想方法。随着同学们知识面的拓宽，这一方法必将会得到更加广泛的运用。
参考文献：
[1]希扬，《初中数学状元题库》，科学出版社，2010年版；
[2]王林栓、林国泰《中学数学思想方法概论》，暨南大学出版社，2010年版；
[3]薛金星，《中学教材全解》初一数学（上） 陕西人民教育出版社，2011年版 。
【关键词】整体思想；运用
整体思想是一种重要的思想方法，什么是整体思想？整体思想就是将问题看成一个完整的整体，注重问题的整体结构和结构改造的思维过程。它的特点是从宏观上全面观察事物的整体结构，从整体上去揭示事物的本质。在数学解题中灵活应用整体思想能够达到快捷、简洁、过程容易的功效。我们在学好基本概念 和基本知识的前提下应多注重学习体会这种数学思想在实际解题中的运用，从而体会这种思想，努力提高分析问题和解决问题的能力。初中数学运用整体思想解题的具体表现形式有全局整体法、整体代换法、整体改造法、局部整体法、整体补形法等。现就结合自己多年的教学实践，在广泛吸取同行经验的基础上，谈谈整体思想在如下几方面的实际运用。
一、整体思想在代数式求值中的运用
七年级上册《数学》的第三章中用字母表示数就是一个整体思想运用的体现，代数式中的字母不仅可以表示一个数，还可以表示成一个式子或一系列的数值。
例1：已知x+y=3，x3+y3+x2y+xy2=9，求x2+y2的值。
分析与解答：欲求x2+y2的值，最容易想到的是先求x与y的值。因而要先解方程。这样便产生两个问题，其一，我们现在还没学过解方程；其二，即使将用x来表示出y的代数式代入解那计算也是复杂的事，不过，能从整体上改变，将x3+y3+x2y+xy2=9变形为（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）=9，即x2-xy+y2+xy=3，故x2+y2=3。
解：∵ x3+y3+x2y+xy2=（x2-xy+y2）（x+y）+xy（x+y）
=（x+y）（x2-xy+y2+xy）=（x+y）（x2+y2）=9，x+y=3
∴ x2+y2=3
像这类问题从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从“整体” 上把握已知量之间的关系，则思路更为明朗、解法更为巧妙。
二、整体思想在解方程中的运用
我们在解方程的过程中常会发现一些计算较复杂的方程，但若能运用整体思想加以详细考察的话往往会是“柳暗花明又一村”。
例2：已知（a2+b2）2-（a2+b2）-6=0，求a2+b2的值。
分析：若把（a2+b2）看作一个整体，则原方程是以（a2+b2）为未知数的一元二次方程，可用因式分解法去解。
解：[（a2+b2）-3][（a2+b2）+2]=0
∴a2+b2-3=0或a2+b2+2=0
a2+b2=3或a2+b2=－2
∵a2+b2>0 ∴a2+b2=－2 （不合题意，舍去）
∴a2+b2=3
从上面的例子可以看出，在分析解题过程中，通过研究问题的整体形式，作整体处理后，便顺利简洁地处理了问题。
三、整体思想在因式分解中的运用
一些因式分解题，分了又分，解了又解，走了山路十八弯仍分解不出来，或者是算了满满的几页草稿方得出答案。此类问题不妨运用整体思想来加以考虑问题、解决问题，你会真正体会到这种思想在解题中的奇迹性，真有“水到渠成”的感觉。
例3：分解因式（a+2b+c）3-（a+b）3-（b+c）3
分析：如果展开后消掉一部分项再分解，运算量较大。通过观察不难发现a+2b+c=（a+b）+（b+c），那么就可以通过局部整体处理换元简化我们的运算过程。
解：设A=a+b，B=b+c则A+B=a+2b+c 从而
原式=（A+B）3-A3-B3
=A3+3A2B+3AB2+B3-A3-B3
=3A2B+3AB2
=3AB（A+B）
=3（a+b）（b+c）（a+2b+c）
例4：因式分解（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）-120a4
分析：观察（x-a）（x-2a）（x-3a）（x-4a）中（x-a）（x-4a）=x2-5ax+4a2，（x-2a）（x-3a）=x2-5ax+6a2，这两个乘积中都含有x2-5ax二次项，一次项的系数分别相同，此时即可通过局部整体换元，令u=x2-5ax代入原式，将原式转化为u=x2-5ax代入原式，将原式转化为u的二次三次式后再用分组分解法分解因式。
本题通过整体考虑代换后达到思路清晰、明了，便于提高分析问题与解决问题的能力。
四、整体思想在几何解题中的运用
在初中几何教学中，加强整体思维训练，有利于培养学生思维的全面性、创造性；有利于开发智力和增进学习兴趣，运用整体思想解某些几何题的独到之处是把已知图形看作某个图形的一部分，然后补形构造出整体图形，从分析整体与局部的有机联系中，使问题迅速获解。
例5：如图，CD，BE分别是△ABC的∠ACB，∠ABC的外角的平方线，且CD⊥AD、AE⊥BE，若BC=a、CA=b，AB=c，求DE的长。
分析：从已知图形中直接求出DE的长较难，若用整体的观点看待此题，可以先作出Rt△BEA，Rt△CDA分别关于BE、CD对称的图形，即作出整个三角形AFG，问题便迎刃而解。
解：如右图，延长AE、AD分别交CB的延长线和反向延长线于F、G，则由已知易得。
AE=EF、AD=DG 且BF=AB= c，CG=AC= b
从而ED是△AFG的中位线
∴ DE = FG = （a+b+c）。
由这道几何题可以看出运用整体思想指导解题使得我们解题明晰快捷。
五、整体思想在解综合题中的运用
有些综合题，如果拘泥于常规，从局部着手，则举步维艰；如从整体考虑，则“峰回路转”，迅速求解。
例7：在Rt△ABC中∠C=90°，若其周长为+4，斜边上的中线为2。⑴求这个三角形的面积；⑵求这个直角三角形内切圆的面积；⑶若这个直解三角形两个锐角的正切tanA和tanB是一个一元二次方程的两个根，试写出这个一元二次方程。
解：⑴∵c=2×2=4，a+b+c=+4
∴a+b=
又a2+b2 = 42 ∴ ab= 6
S△=ab=3
⑵Rt△ABC内切圆半径r =（a+b-c）= -2
∴S内切圆=πr2=（11- 4）π
⑶∵tanA+ tanB =+ =，tanA·tanB=1
∴所求方程为x2-x+1=0
即 3x2-8x+3=0
分析：本题求面积，不必分别求出a、b，而以ab=6和a+b=2，而且求方程时利用根的性质运用韦达定理，直接整体运用，从而使问题易于求解。
综上所述，运用整体思想解题，能够拓展学生的思维，提高学生的分析问题和解决问题的能力，是一种重要的数学思想方法。随着同学们知识面的拓宽，这一方法必将会得到更加广泛的运用。
参考文献：
[1]希扬，《初中数学状元题库》，科学出版社，2010年版；
[2]王林栓、林国泰《中学数学思想方法概论》，暨南大学出版社，2010年版；
[3]薛金星，《中学教材全解》初一数学（上） 陕西人民教育出版社，2011年版 。