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一 数学问题解决的表征
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它具有很强的概括性、抽象性和逻辑性。问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和问题的解，数学学习的核心就是培养解决数学问题的能力。数学问题解决是一个比较复杂的心理过程，其中最关键的活动是思维。对数学问题解决中的元认知进行研究就显得尤为必要。这里所谓数学问题，是指有一定难度，需要一定的思维程序和方法，经过反复思考才能正确解答的数学问题。因此，这类数学问题自然需要一定的元认知参与才能得到有效解决。尽管现实生活中的数学问题多种多样，并且数学问题解决的过程也不尽相同，但是，所有数学问题的解决都具有共同的特征。
(一)目的指向性
所有的数学问题解决都必须具有明确的目的性，在数学问题解决进程中，问题解决者必须朝向某一心理目标，形成解决问题的目标意识。…这一目标是数学问题解决的终结状态。没有明确目标的冥想不被称之为数学问题解决。因此，数学问题解决也就必然是目的指向性的活动，只有这样，数学问题解决才具有可控性和有效性。
(二)操作序列性
数学问题解决必须由重要的认知操作来进行。没有重要的认知操作的参与，就无所谓数学问题解决。与此同时，数学问题解决必须包括心理过程的序列性，也就是说，数学问题解决中包括一系列有序的认知操作阶段，大体上可划分为四大阶段：1 激活阶段，即数学问题材料与数学认知结构中“相似块”的耦合、接通和活化阶段；2 寻求阶段，即利用大脑中数学认知结构寻求数学问题解决的途径；3 评价阶段，即利用数学认知结构评价解法的合理性，这一阶段应贯穿在整个数学问题解决过程的始终；4 重组阶段，即保持和重新组织有效的认知结构，以便能应用到更广泛的场合中。这些认知操作阶段具有明显的策略性，也即路径可直可曲，而直与曲的分野常常在于策略的区别。
(三)连续性与突发性
数学问题解决有两种类型，即良构问题解决(常规性问题解决)和非良构问题解决(创造性问题解决)。大量现实中的数学问题初遇时都是非良构问题，一旦解决后则变为良构问题。因此，两类问题的差别是相对的。数学问题解决包含着内部心理活动的潜在搜索过程，体现着内部机制的互动效应。因为数学问题解决实际上是解决者对数学问题的内部表征，即解决者把数学问题转换成自己能够理解的语言，然后接通认知结构，寻找并建立符合期望的联想链条，最后达到心理目标终结状态。
(四)延伸性与发散性
在数学问题解决中，充满着诸多“算子”(数学法则、公式、经验结论等)和策略。而这些“算子”和策略可以进行纵横交错地发散，以不同角度向不同方向进行延伸，实现策略的转换，也即能应用到更广泛的场合中。在延伸和发散过程中体现着新知识与原有认知结构的同化和顺应机制。同化和顺应的机制在于“算子”和策略能更好地在以后的应用场合得以广泛应用，即数学问题解决中的诸多“算子”和“策略”能发散和延伸其内在机制。
二 元认知在数学问题解决中的作用
元认知的实质在于主体对认知活动的自我意识和自我调控。简单地说，元认知就是认知的认知。它包括元认知知识(即有关认知的知识)，元认知体验(即伴随认知产生的情感体验)和元认知调控(即主体对认知活动的调节和监控)。三者互为依据、互相制约、有机结合为一个统一的整体，对数学问题解决的各个阶段起着目标修正、激活策略、监控进程等作用。
(一)元认知能修正数学问题解决的目标
数学问题解决具有明确的目标指向性。目标是解题者主观经验的觉知，它既是问题解决的出发点，也是问题解决的归宿，它影响和制约着问题解决的进程。因为解题者在自拟目标的影响下，将自己正在进行的认知活动作为意识的对象，不断发挥主动性和自觉性对问题解的进程进行积极、自觉的监视。一旦进程与目标不符，而又相信自己的进程时，则将怀疑目标，将对目标修改或放弃，以确定新的目标。对目标的修正由元认知来进行，通过元认知体验，在元认知知识的基础上，解题者要监控其解题计划，制订切实可行的目标结构，致使问题解决得以顺利进行。元认知对目标所起的作用是通过定向、调节和控制功能表现出来的。
(二)元认知能激活和改组数学问题解决的策略
数学问题解决具有明显的策略性。策略是在思维模式的作用下反映出来的，它影响着数学问题解决的进程和质量。解题者在解题过程中通过三种方式来操作策略。1 激活策略，即以目标的期望为出发点，将材料系统放入知识背景，在操作系统的作用下激活认知结构，选择解题策略；2 制订策略，即在元认知知识的基础上，根据材料系统在认知结构中的相似性，寻求数学认知结构中的“相似块”，制订解题策略；3 改组策略，即通过问题解决进程的反馈，解题者要进行自我评价，对进程的评价实质上也就是对问题解决策略的评价，一旦对自己的目标确信无疑而又达不到或不能顺利达到目标时，则将怀疑其策略，有必要对策略进行改组。解题者在操作策略时，实际上均受元认知的指示和指导，即通过元认知体验，在元认知知识的基础上，检验回顾解题方法，调控解题策略，最终逼近问题目标状态。调控策略的指标是通过策略的可行性、简捷性、有效性反应出来的。
(三)元认知能够强化解题者在数学问题解决中的主体意识
解题者能否自我激活是关系到问题解决系统能否优化的先决条件。由于数学问题实际上都是非良构问题，有一定的障碍性，这就要求解题者必须发挥主体作用，排除障碍，激发解决问题的欲望。而元认知在问题解决中自始至终存在着内反馈的调节，即通过元认知体验来调动积极性和探究性，因此，元认知能积极监控、调节自身学习活动的思维过程，并逐步强化解题者对问题解决的主体意识。元认知主要通过三种方式来强化解题者的主体意识：1 通过元认知知识的导引作用，使解题者能主动审清题意，揭示问题矛盾之所在，主动搜索解题策略；2 通过元认知体验的自我启发作用，调动非智力因素的参与，积极超越障碍；3 通过元认知的调控作用，来刺激解题者思维模式深层结构的内部运行机制，并通过对解题过程进行自我控制、自我评价，使思维活动成为一种有目的性、可控性的组织活动，这在很大程度上强化了解题者的主体意识，使问题得以最快、最好地解决。
三 在数学教学中，通过数学问题的解决，对学生进行元认知开发的策略
正是因为元认知在数学问题解决中起着重大作用，所以，在数学教学中，通过数学问题解决对学生进行元认知开发就显得尤为重要。通过对学生进行元认知开发，不仅能调动学生学习的自觉性、主动性，充分发挥其主体作用，而且能增进学生学习和解题的效率。但是，在目前学校教学中，尤其是在数学教学中，却忽视了对学生进行元认知能力的培养和开发，只注重任务的完成和问题的最终解决，而缺乏对数学目标进行分析，教师与学生都缺乏目标意识，也不能采用深层次加工 策略，及时监控理解状态，致使学生采取敷衍了事，不求甚解的态度去完成教师布置的作业。因此，在数学教学中，教师必须强化学生解题的主体意识，使学生能主动确定解题目标，分析解题任务，使元认知能力在学生的目标分析和任务调控中得到很好的开发。因此，教师在数学教学中必须注意以下策略。
(一)目标激励和目标强化
在数学教学中，教师应当强化学生的目标意识，用目标去激励学生解题的自主性。在数学问题解决中，首先应当让学生明确问题目标，即明确应该达到什么终结状态，然后使其明确，为了达到问题目标，自己应该做些什么，如果做不到，那么就会失败。这样，通过目标的激励和目标强化，学生就能自觉地确定解题目标，订出解题计划，设计解题策略，调节解题进程。目标激励和目标强化能使学生调节自己的解题进程，反馈解题策略，使学生的解题能力得到内在强化，从而提高元认知能力。
(二)加强知识发生过程的教学
数学的各个组成部分不是孤立存在的，而是相互联系、互为因果的。否定“过程”就切断了知识之间的内在联系。在教学中，教师应当注重问题解决的思维过程，展开逻辑思维，采用合适的思维方法(分析、综合、抽象、概括、比较、归纳、演绎等)，多搞合情推理，遵循从个别到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的规律；抓住已知和未知之间的联系，新旧知识之间的联系，使“静”态知识内化到“动”态的数学思维中去思考和认识。因为课堂教学中的学生思维过程，实际上是知识发生过程，也是揭示和建立新旧知识联系的过程，因此，加强知识发生过程的教学，是形成程序性知识，建立良好的知识结构的需要，也是领略思维，体会数学基本方法的需要，更主要的是开发学生元认知能力，大面积、高效率地激发学生思维活动的需要。加强知识发生过程的教学，符合元认知本身所具有的监控性特点。因为监控总是对过程的监控，离开过程，监控作用也就无从发挥。元认知过程是揭示解题变量与解题方法之间关系的过程，加强知识发生过程的教学就是为了使学生在教学进程中加强元认知体验，使学生的元认知能力在教学过程中得到发展，在数学问题解决过程中得到开发。
(三)注重教学的及时反馈
在数学教学中，教师要引导学生善于想象、联想和多反思、回顾。这里既包括对刚学组块或知识单元的回顾，也包括对与当前内容有关的旧知识的回顾，更重要的是还包括对数学问题解决过程或结果的反思与回顾。通过总结、回顾和反思使个人的元认知能力得到更高层次的发挥。这样，学生的思维能力就在这种结合实际的最佳思维过程和最佳解题方案的不断探索和回顾反思中产生出新颖性、独特性和巩固性。因此，在数学教学中，也就要求教师精心设计课堂范例。课堂范例应注重典型性以及解答方法的多样性和灵活性。设计的课堂范例应当在教师引导下鼓励全体学生在自己知识经验基础上大胆设想，各抒己见，最后教师给予评价总结。对于设计的“范例”应以摆脱题海战术，减轻学生负担，提高课堂质量、效率为目的。同时教师对反馈信息应有的放矢地对共性问题进行宏观强化，对个别问题作微观指导。
参考文献
[1]汪岸对数学解题思维的一些探索[J]，数学通讯，2002(23)
[2]唐善刚，李伟，数学解题中的思维转化策略[J]数学教学研究，2010(01)：56-59
[3]刘东辉，例谈数学解题中的转化思想[J].中学数学研究，2010(02)：33—35
数学是研究客观世界的数量关系和空间形式的科学，它具有很强的概括性、抽象性和逻辑性。问题是数学的心脏，数学的真正组成部分是问题和问题的解，数学学习的核心就是培养解决数学问题的能力。数学问题解决是一个比较复杂的心理过程，其中最关键的活动是思维。对数学问题解决中的元认知进行研究就显得尤为必要。这里所谓数学问题，是指有一定难度，需要一定的思维程序和方法，经过反复思考才能正确解答的数学问题。因此，这类数学问题自然需要一定的元认知参与才能得到有效解决。尽管现实生活中的数学问题多种多样，并且数学问题解决的过程也不尽相同，但是，所有数学问题的解决都具有共同的特征。
(一)目的指向性
所有的数学问题解决都必须具有明确的目的性，在数学问题解决进程中，问题解决者必须朝向某一心理目标，形成解决问题的目标意识。…这一目标是数学问题解决的终结状态。没有明确目标的冥想不被称之为数学问题解决。因此，数学问题解决也就必然是目的指向性的活动，只有这样，数学问题解决才具有可控性和有效性。
(二)操作序列性
数学问题解决必须由重要的认知操作来进行。没有重要的认知操作的参与，就无所谓数学问题解决。与此同时，数学问题解决必须包括心理过程的序列性，也就是说，数学问题解决中包括一系列有序的认知操作阶段，大体上可划分为四大阶段：1 激活阶段，即数学问题材料与数学认知结构中“相似块”的耦合、接通和活化阶段；2 寻求阶段，即利用大脑中数学认知结构寻求数学问题解决的途径；3 评价阶段，即利用数学认知结构评价解法的合理性，这一阶段应贯穿在整个数学问题解决过程的始终；4 重组阶段，即保持和重新组织有效的认知结构，以便能应用到更广泛的场合中。这些认知操作阶段具有明显的策略性，也即路径可直可曲，而直与曲的分野常常在于策略的区别。
(三)连续性与突发性
数学问题解决有两种类型，即良构问题解决(常规性问题解决)和非良构问题解决(创造性问题解决)。大量现实中的数学问题初遇时都是非良构问题，一旦解决后则变为良构问题。因此，两类问题的差别是相对的。数学问题解决包含着内部心理活动的潜在搜索过程，体现着内部机制的互动效应。因为数学问题解决实际上是解决者对数学问题的内部表征，即解决者把数学问题转换成自己能够理解的语言，然后接通认知结构，寻找并建立符合期望的联想链条，最后达到心理目标终结状态。
(四)延伸性与发散性
在数学问题解决中，充满着诸多“算子”(数学法则、公式、经验结论等)和策略。而这些“算子”和策略可以进行纵横交错地发散，以不同角度向不同方向进行延伸，实现策略的转换，也即能应用到更广泛的场合中。在延伸和发散过程中体现着新知识与原有认知结构的同化和顺应机制。同化和顺应的机制在于“算子”和策略能更好地在以后的应用场合得以广泛应用，即数学问题解决中的诸多“算子”和“策略”能发散和延伸其内在机制。
二 元认知在数学问题解决中的作用
元认知的实质在于主体对认知活动的自我意识和自我调控。简单地说，元认知就是认知的认知。它包括元认知知识(即有关认知的知识)，元认知体验(即伴随认知产生的情感体验)和元认知调控(即主体对认知活动的调节和监控)。三者互为依据、互相制约、有机结合为一个统一的整体，对数学问题解决的各个阶段起着目标修正、激活策略、监控进程等作用。
(一)元认知能修正数学问题解决的目标
数学问题解决具有明确的目标指向性。目标是解题者主观经验的觉知，它既是问题解决的出发点，也是问题解决的归宿，它影响和制约着问题解决的进程。因为解题者在自拟目标的影响下，将自己正在进行的认知活动作为意识的对象，不断发挥主动性和自觉性对问题解的进程进行积极、自觉的监视。一旦进程与目标不符，而又相信自己的进程时，则将怀疑目标，将对目标修改或放弃，以确定新的目标。对目标的修正由元认知来进行，通过元认知体验，在元认知知识的基础上，解题者要监控其解题计划，制订切实可行的目标结构，致使问题解决得以顺利进行。元认知对目标所起的作用是通过定向、调节和控制功能表现出来的。
(二)元认知能激活和改组数学问题解决的策略
数学问题解决具有明显的策略性。策略是在思维模式的作用下反映出来的，它影响着数学问题解决的进程和质量。解题者在解题过程中通过三种方式来操作策略。1 激活策略，即以目标的期望为出发点，将材料系统放入知识背景，在操作系统的作用下激活认知结构，选择解题策略；2 制订策略，即在元认知知识的基础上，根据材料系统在认知结构中的相似性，寻求数学认知结构中的“相似块”，制订解题策略；3 改组策略，即通过问题解决进程的反馈，解题者要进行自我评价，对进程的评价实质上也就是对问题解决策略的评价，一旦对自己的目标确信无疑而又达不到或不能顺利达到目标时，则将怀疑其策略，有必要对策略进行改组。解题者在操作策略时，实际上均受元认知的指示和指导，即通过元认知体验，在元认知知识的基础上，检验回顾解题方法，调控解题策略，最终逼近问题目标状态。调控策略的指标是通过策略的可行性、简捷性、有效性反应出来的。
(三)元认知能够强化解题者在数学问题解决中的主体意识
解题者能否自我激活是关系到问题解决系统能否优化的先决条件。由于数学问题实际上都是非良构问题，有一定的障碍性，这就要求解题者必须发挥主体作用，排除障碍，激发解决问题的欲望。而元认知在问题解决中自始至终存在着内反馈的调节，即通过元认知体验来调动积极性和探究性，因此，元认知能积极监控、调节自身学习活动的思维过程，并逐步强化解题者对问题解决的主体意识。元认知主要通过三种方式来强化解题者的主体意识：1 通过元认知知识的导引作用，使解题者能主动审清题意，揭示问题矛盾之所在，主动搜索解题策略；2 通过元认知体验的自我启发作用，调动非智力因素的参与，积极超越障碍；3 通过元认知的调控作用，来刺激解题者思维模式深层结构的内部运行机制，并通过对解题过程进行自我控制、自我评价，使思维活动成为一种有目的性、可控性的组织活动，这在很大程度上强化了解题者的主体意识，使问题得以最快、最好地解决。
三 在数学教学中，通过数学问题的解决，对学生进行元认知开发的策略
正是因为元认知在数学问题解决中起着重大作用，所以，在数学教学中，通过数学问题解决对学生进行元认知开发就显得尤为重要。通过对学生进行元认知开发，不仅能调动学生学习的自觉性、主动性，充分发挥其主体作用，而且能增进学生学习和解题的效率。但是，在目前学校教学中，尤其是在数学教学中，却忽视了对学生进行元认知能力的培养和开发，只注重任务的完成和问题的最终解决，而缺乏对数学目标进行分析，教师与学生都缺乏目标意识，也不能采用深层次加工 策略，及时监控理解状态，致使学生采取敷衍了事，不求甚解的态度去完成教师布置的作业。因此，在数学教学中，教师必须强化学生解题的主体意识，使学生能主动确定解题目标，分析解题任务，使元认知能力在学生的目标分析和任务调控中得到很好的开发。因此，教师在数学教学中必须注意以下策略。
(一)目标激励和目标强化
在数学教学中，教师应当强化学生的目标意识，用目标去激励学生解题的自主性。在数学问题解决中，首先应当让学生明确问题目标，即明确应该达到什么终结状态，然后使其明确，为了达到问题目标，自己应该做些什么，如果做不到，那么就会失败。这样，通过目标的激励和目标强化，学生就能自觉地确定解题目标，订出解题计划，设计解题策略，调节解题进程。目标激励和目标强化能使学生调节自己的解题进程，反馈解题策略，使学生的解题能力得到内在强化，从而提高元认知能力。
(二)加强知识发生过程的教学
数学的各个组成部分不是孤立存在的，而是相互联系、互为因果的。否定“过程”就切断了知识之间的内在联系。在教学中，教师应当注重问题解决的思维过程，展开逻辑思维，采用合适的思维方法(分析、综合、抽象、概括、比较、归纳、演绎等)，多搞合情推理，遵循从个别到一般，从具体到抽象，从简单到复杂的规律；抓住已知和未知之间的联系，新旧知识之间的联系，使“静”态知识内化到“动”态的数学思维中去思考和认识。因为课堂教学中的学生思维过程，实际上是知识发生过程，也是揭示和建立新旧知识联系的过程，因此，加强知识发生过程的教学，是形成程序性知识，建立良好的知识结构的需要，也是领略思维，体会数学基本方法的需要，更主要的是开发学生元认知能力，大面积、高效率地激发学生思维活动的需要。加强知识发生过程的教学，符合元认知本身所具有的监控性特点。因为监控总是对过程的监控，离开过程，监控作用也就无从发挥。元认知过程是揭示解题变量与解题方法之间关系的过程，加强知识发生过程的教学就是为了使学生在教学进程中加强元认知体验，使学生的元认知能力在教学过程中得到发展，在数学问题解决过程中得到开发。
(三)注重教学的及时反馈
在数学教学中，教师要引导学生善于想象、联想和多反思、回顾。这里既包括对刚学组块或知识单元的回顾，也包括对与当前内容有关的旧知识的回顾，更重要的是还包括对数学问题解决过程或结果的反思与回顾。通过总结、回顾和反思使个人的元认知能力得到更高层次的发挥。这样，学生的思维能力就在这种结合实际的最佳思维过程和最佳解题方案的不断探索和回顾反思中产生出新颖性、独特性和巩固性。因此，在数学教学中，也就要求教师精心设计课堂范例。课堂范例应注重典型性以及解答方法的多样性和灵活性。设计的课堂范例应当在教师引导下鼓励全体学生在自己知识经验基础上大胆设想，各抒己见，最后教师给予评价总结。对于设计的“范例”应以摆脱题海战术，减轻学生负担，提高课堂质量、效率为目的。同时教师对反馈信息应有的放矢地对共性问题进行宏观强化，对个别问题作微观指导。
参考文献
[1]汪岸对数学解题思维的一些探索[J]，数学通讯，2002(23)
[2]唐善刚，李伟，数学解题中的思维转化策略[J]数学教学研究，2010(01)：56-59
[3]刘东辉，例谈数学解题中的转化思想[J].中学数学研究，2010(02)：33—35