本文着重讨论在解排列组合问题时,如何把握特殊元素、特殊位置,准确、简捷地解决问题。
　　求排列数A■■可以按依次填m个空位来考虑:假定有排好顺序的m个空位,从n个不同元素a1,a2,…,an中任意取m个去填空,一个空位填1个元素,每一种填法对应一个排列,所有不同填法的种数就是排列数。这里有两个对象:元素、位置。在排列组合实际问题中,找出元素、位置两个对象,应用两个基本原理,引入一些方法,就可以灵活地、简捷地解决问题。
　　例1.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一人游览,每人只游览一个城市,且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同选择方案共有()种。
　　A.300 B.240 C.144 D.96
　　分析:把6个人看作6个不同的元素,把四个城市看作依次排好顺序的四个不同的空位,如图1,第一位巴黎,甲、乙两元素受条件限制,可以从特殊元素甲、乙是否入选入手。
　　
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　　【解法1】(分类计数原理)
　　(1)不选甲、乙,N1=A■■=24;
　　(2)只选甲,先填甲,有C■■种,再从除甲、乙外的四个元素中选3个,填在剩下的3个空位中,有A■■种,则N2=C■■·A■■=72;
　　(3)只选乙,N3=C■■·A■■=72;
　　(4)选甲、乙,先填甲、乙有A■■种,再填剩下2个空位,有A■■种,则N4=A■■·A■■=72;
　　所以N=N1+N2+N3+N4=240.
　　【解法2】(间接法)
　　A■■-A■■-A■■=240.
　　【解法3】(分步计数原理)
　　第一步:先从除甲、乙外的四个元素中选1个,填第一位,有C■■种;
　　第二步:再填后三位,有A■■种;
　　∴N=C■■·A■■=240
　　评:当位置受到条件限制时,必有元素受到条件限制,特殊元素、特殊位置是同时存在的。实际问题中的元素、位置可能对应排列数定义中的位置、元素,如解法1中(4)从3个空位中选2个空位,供甲、乙元素填,为等。
　　例2.用0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的数。
　　(1)能组成多少个六位奇数?(2)能组成多少个能被5整除的六位数?
　　分析:(1)首位、末位受到条件限制,元素0、1、3、5受到条件限制。进一步发现:首位、末位可填元素的集合是真子集关系,因而,从特殊位置入手(分步计数原理):
　　
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　　第一步,先从1、3、5中选1个填末位,有C■■种;
　　第二步,再从1、3、5中剩下的2个元素,还有2、4四个元素中选1个填首位,有C■■种;
　　第三步,最后填中间四位,有A■■种;
　　∴N=C■■·C■■·A■■=288.
　　(2)首位、末位、元素0、5受到条件限制,进一步发现,首位、末位可填元素的集合交集为{5},因而,从末位入手按分类计数原理。(下转第148页)
　　(上接第142页)
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　　第一类,当末位填5时,再填首位C■■,则C■■·A■■=96;
　　第二类,当末位填0时,A■■=120;
　　∴N=96+120=216.
　　评:分析受条件限制的元素、位置的特点,找出合适的入手点,确定分步、分类的标准。
　　例3.一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员,其中有6人会表演口技,有5人会表演魔术,今从这8名演员中选出2人,1人表演口技,1人魔术,则选法种数为多少种?
　　分析:8名演员中,3人只会口技,2人只会魔术,3人二者都会。8名演员看作8个不同元素,二者都会的3人是3个特殊元素—“多面手”,口技、魔术看作两个不同空位。
　　【解法1】从特殊元素“多面手”入手(分类计数原理)
　　(1)若“多面手”不出场,则有C■■·C■■种;
　　(2)若“多面手”有一人出场:
　　①“多面手”表演口技,有C■■·C■■种;
　　②若“多面手”表演魔术,有C■■·C■■种。
　　(3)若“多面手”有2人出场,1人表演口技,1人表演魔术,则有A■■种。
　　∴N=C■■·C■■+C■■·C■■+C■■·C■■+A■■=27.
　　【解法2】从位置魔术入手
　　第一类,选“多面手”时,C■■·C■■=15;
　　第二类,不选“多面手”时,C■■·C■■=12;
　　∴N=15+12=27.
　　【解法3】从位置口技入手
　　第一类,选“多面手”时,C■■·C■■=12;
　　第二类,不选“多面手”时,C■■·C■■=15;
　　∴N=12+15=27.
　　评:多掂量元素与位置,找出最佳入手点位置。
　　在解排列组合问题时,只要善于把握元素、位置这两个对象,揭示本质,就可以正确地解决问题。