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“平面图形的认识（二）”是在七年级上学期学完“平面图形的认识（一）”后，继续几何学习的又一段旅程.在本章中，对数学知识和能力要求都有了进一步的提高，学习本章的过程中，很容易出现对知识理解及应用方面的问题.下面呈现同学们在学习中出现的一些典型错误，希望同学们认清错误原因，在后续的学习和解题中避免出现类似的错误.
易错点一，对课本中的结论断章取义
例1 下列说法中，正确的是（ ）.
A.同位角相等
B.同旁内角相等
C.两平行线被第三条直线截成的同位角的平分线平行
D.两平行线被第三条直线截成的同旁内角的平分線平行
【错解】A.
【正解】C.
【学生自述】认为课本上有“同位角相等”这句话.[图1]
【剖析】部分同学的错误在于将课本上的“两直线平行，同位角相等”这个结论断章取义了，认为所有的同位角、内错角都是相等的，同旁内角都是互补的，实际上他们忘记了要想得到这些结论，都有一个大前提，那就是“两直线平行”.其实，举出反例（如图1），即能说明问题，当两直线a与b不平行时，显然同位角∠1与∠2是不相等的，可以通过画图加深对结论的认识和理解.D选项中两平行线被第三条直线截成的同旁内角的平分线互相垂直.
例2 已知三角形三边的长分别为3、a、8，那么a的取值范围是 .
【错解】a<11.
【正解】5 【学生自述】利用“三角形两边之和大于第三边”的结论可以得到a<3 8.
【剖析】本题的错误源还是在于对课本中的结论断章取义，苏科版教材七年级下册第23页有结论“三角形任意两边之和大于第三边”，很多同学把“任意”两个字丢掉了，一般我们只要看最小的两条边之和大于最大的边即可.由于本题中a的大小的不确定性，故需分类讨论：①a最大，故a<3 8；②8最大，故8<3 a，综合①②可得a的范围.当然，对于课本上的这个结论，我们经过变形还可以得出这样的结论：[两边之差]<第三边<两边之和，灵活地运用这个结论，可以提高解题的效率.
易错点二，列举时无序，导致考虑不周全
例3 长为2、3、4、5的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 种.
【错解】2.
【正解】3.
【学生自述】解答时要考虑的情况多了，容易乱，有一组漏考虑了.
【剖析】对于四个数中选三个，部分同学在考虑问题时思维上缺乏有序性，应该按照2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5的顺序罗列，这样能够不重不漏.写出各种情况后再利用“三角形任意两边之和大于第三边”的结论（其实只要看最小的两边之和大于第三边即可），判断哪些不能组成三角形.掌握了具体的方法，面对在更多的木条中选择3根组成三角形的问题，便都能从容面对了.
易错点三，搞不清钝角三角形的高怎么画
例4 过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）.
【错解】B.
【正解】A.
【学生自述】作BC边上的高，以为只要和BC垂直就行了.
【剖析】在作三角形的高时，最容易出错的就是画钝角三角形中钝角所在的两条边上的高，因为这两条高都是在三角形的外部.对于三角形的高，课本上是这样描述的：“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.”由定义可知，BC边上的高，肯定要过顶点A，同时垂直于BC所在直线；同样，要作AC边上的高，也是要过顶点B，而且垂直于AC所在直线.
易错点四，等腰三角形分类讨论时未检验三边能否构成三角形
例5 （1）已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为 .
（2）已知等腰三角形的一边长是4，周长是18，则它的腰长为 .
【错解】（1）10或8；（2）4或7.
【正解】（1）10；（2）7.
【学生自述】知道等腰三角形的腰和边不明确时要分类讨论，但忘记检验结果了.
【剖析】有的同学做有关此类等腰三角形题目时，头脑中已经有明确的分类讨论思想了，是值得肯定的，但是讨论完了，一定不要忘了检验三边是否能构成三角形.如（1）中，2，4，4；2，2，4（2 2=4，故舍去），如（2）中，7，7，4；4，4，10（4 4<10，故舍去）.
易错点五，不会正确列出关于未知数的表达式
例6 在△ABC中，∠A=[12]∠B=[13]∠C，则∠A=
°，∠B= °.
【错解】[108011]，[54011].
【正解】30，60.
【学生自述】设∠A=x，则∠B=[12x]，∠C=[13x]，根据x [12x] [13x]=180°，解出x，再算出∠B即可.
【剖析】就本题而言，很多同学的困惑是：有三个未知量∠A，∠B，∠C，它们之间有一定的比例关系，大部分同学都想到了用关于未知数x的表达式来表示这三个未知量.其实只要选定一个量，如∠A，那么其他的量∠B，∠C都设法用∠A去表示即可.如设∠A=x，则根据∠A=[12]∠B，可知∠B=2∠A=2x，同理∠C=3∠A=3x，根据x 2x 3x=180°，解出x即可.
易错点六，对平行线的判定掌握不牢
例7 如图，若∠1=∠2，则 ∥ ；
若∠3=∠4，则 ∥ .
【错解】AD∥BC；AB∥CD.
【正解】AB∥CD；AD∥BC.
【学生自述】有点搞不清到底是哪两边平行.
【剖析】此题的错误源在于没有弄清楚图形中角的位置关系，如∠1和∠2是内错角.分析时不妨借助基本的“N”或“Z”字型，再搞清是哪两条线被第三条线所截，这样便能轻松解决问题.
易错点七，对多边形内角和公式缺少理解
例8 一个多边形的内角和是1620°，这个多边形的边数是 .
【错解】9.
【正解】11.
【学生自述】直接用算术方法1620°÷180°=9，最后忘记加2了.
【剖析】n边形的内角和公式是（n-2）×180°，若建立方程（n-2）×180°=1620°来解，估计会大大降低此类问题的错误率；若用算术方法，那就要记住最后要加上2才行.
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学，无锡市庞彦福名师工作室）
易错点一，对课本中的结论断章取义
例1 下列说法中，正确的是（ ）.
A.同位角相等
B.同旁内角相等
C.两平行线被第三条直线截成的同位角的平分线平行
D.两平行线被第三条直线截成的同旁内角的平分線平行
【错解】A.
【正解】C.
【学生自述】认为课本上有“同位角相等”这句话.
【剖析】部分同学的错误在于将课本上的“两直线平行，同位角相等”这个结论断章取义了，认为所有的同位角、内错角都是相等的，同旁内角都是互补的，实际上他们忘记了要想得到这些结论，都有一个大前提，那就是“两直线平行”.其实，举出反例（如图1），即能说明问题，当两直线a与b不平行时，显然同位角∠1与∠2是不相等的，可以通过画图加深对结论的认识和理解.D选项中两平行线被第三条直线截成的同旁内角的平分线互相垂直.
例2 已知三角形三边的长分别为3、a、8，那么a的取值范围是 .
【错解】a<11.
【正解】5
【剖析】本题的错误源还是在于对课本中的结论断章取义，苏科版教材七年级下册第23页有结论“三角形任意两边之和大于第三边”，很多同学把“任意”两个字丢掉了，一般我们只要看最小的两条边之和大于最大的边即可.由于本题中a的大小的不确定性，故需分类讨论：①a最大，故a<3 8；②8最大，故8<3 a，综合①②可得a的范围.当然，对于课本上的这个结论，我们经过变形还可以得出这样的结论：[两边之差]<第三边<两边之和，灵活地运用这个结论，可以提高解题的效率.
易错点二，列举时无序，导致考虑不周全
例3 长为2、3、4、5的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有 种.
【错解】2.
【正解】3.
【学生自述】解答时要考虑的情况多了，容易乱，有一组漏考虑了.
【剖析】对于四个数中选三个，部分同学在考虑问题时思维上缺乏有序性，应该按照2、3、4；2、3、5；2、4、5；3、4、5的顺序罗列，这样能够不重不漏.写出各种情况后再利用“三角形任意两边之和大于第三边”的结论（其实只要看最小的两边之和大于第三边即可），判断哪些不能组成三角形.掌握了具体的方法，面对在更多的木条中选择3根组成三角形的问题，便都能从容面对了.
易错点三，搞不清钝角三角形的高怎么画
例4 过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）.
【错解】B.
【正解】A.
【学生自述】作BC边上的高，以为只要和BC垂直就行了.
【剖析】在作三角形的高时，最容易出错的就是画钝角三角形中钝角所在的两条边上的高，因为这两条高都是在三角形的外部.对于三角形的高，课本上是这样描述的：“从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.”由定义可知，BC边上的高，肯定要过顶点A，同时垂直于BC所在直线；同样，要作AC边上的高，也是要过顶点B，而且垂直于AC所在直线.
易错点四，等腰三角形分类讨论时未检验三边能否构成三角形
例5 （1）已知等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为 .
（2）已知等腰三角形的一边长是4，周长是18，则它的腰长为 .
【错解】（1）10或8；（2）4或7.
【正解】（1）10；（2）7.
【学生自述】知道等腰三角形的腰和边不明确时要分类讨论，但忘记检验结果了.
【剖析】有的同学做有关此类等腰三角形题目时，头脑中已经有明确的分类讨论思想了，是值得肯定的，但是讨论完了，一定不要忘了检验三边是否能构成三角形.如（1）中，2，4，4；2，2，4（2 2=4，故舍去），如（2）中，7，7，4；4，4，10（4 4<10，故舍去）.
易错点五，不会正确列出关于未知数的表达式
例6 在△ABC中，∠A=[12]∠B=[13]∠C，则∠A=
°，∠B= °.
【错解】[108011]，[54011].
【正解】30，60.
【学生自述】设∠A=x，则∠B=[12x]，∠C=[13x]，根据x [12x] [13x]=180°，解出x，再算出∠B即可.
【剖析】就本题而言，很多同学的困惑是：有三个未知量∠A，∠B，∠C，它们之间有一定的比例关系，大部分同学都想到了用关于未知数x的表达式来表示这三个未知量.其实只要选定一个量，如∠A，那么其他的量∠B，∠C都设法用∠A去表示即可.如设∠A=x，则根据∠A=[12]∠B，可知∠B=2∠A=2x，同理∠C=3∠A=3x，根据x 2x 3x=180°，解出x即可.
易错点六，对平行线的判定掌握不牢
例7 如图，若∠1=∠2，则 ∥ ；
若∠3=∠4，则 ∥ .
【错解】AD∥BC；AB∥CD.
【正解】AB∥CD；AD∥BC.
【学生自述】有点搞不清到底是哪两边平行.
【剖析】此题的错误源在于没有弄清楚图形中角的位置关系，如∠1和∠2是内错角.分析时不妨借助基本的“N”或“Z”字型，再搞清是哪两条线被第三条线所截，这样便能轻松解决问题.
易错点七，对多边形内角和公式缺少理解
例8 一个多边形的内角和是1620°，这个多边形的边数是 .
【错解】9.
【正解】11.
【学生自述】直接用算术方法1620°÷180°=9，最后忘记加2了.
【剖析】n边形的内角和公式是（n-2）×180°，若建立方程（n-2）×180°=1620°来解，估计会大大降低此类问题的错误率；若用算术方法，那就要记住最后要加上2才行.
（作者单位：江苏省无锡市蠡园中学，无锡市庞彦福名师工作室）