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[摘 要] 发现式教学强调学生以发现者的身份出现在课堂，并在教师的指导下，经过一系列科学探究活动来发现知识，提升能力. 本文从发现式教学的特点和原理出发，联系初中数学的教学实践，对教学策略进行了研究和分析.
[关键词] 初中数学；发现式教学；实践策略
与接受式教学法相比，发现式教学是一种更加尊重学生主体意识的教学方式，它指教师从学生好奇、好问、好学等心理特点出发，引导学生在教师精心设计和周密组织的学习活动中，通过自主探究、合作交流等一系列活动，像科学家一样发现数学知识、提升数学认知能力，这种方式更符合新课程理念，将其运用于初中数学教学有着重要的实践价值和意义.
初中数学发现式教学的特点和原理
与其他教学方式相比，发现式教学法存在其独到之处. 一般的教学方式侧重于将数学知识呈现给学生，其教学结构往往呈现为：先提供数学概念的定义，再围绕概念讲解定理和公式，然后通过例题示范概念和定理的使用方法，最后通过随堂练习来巩固学生的认识. 发现式教学是对上述教学程序的一种颠覆，它强调学生以发现者的身份出现在课堂，学生一般在教师的指导下，从具体的情境中发现数学问题，建立数学模型，并通过表格、图像等工具来解读情境中的相关信息，进而对问题进行猜想和推理，并在严谨的證明中证实或修正自己的猜想，最终发现数学规律、概括数学命题.
从人类认识的发展过程来看，数学知识体系内的概念、定理以及公式的产生和演变都是基于人们对生产生活实践的观察和感悟，在这一过程中人们通过比较、联想、类比、归纳等理性思维机制，最终实现对数学本质的抽象与概括. 而且在上述过程中，人们所提升的不仅是对数学问题更加透彻的理解和认识，他们的思维能力和探究方法也得到了深层次的发展. 而我们采用发现式教学就是要让学生将课本上的那些“间接的知识”变成学生自己的“直接经验”，其主要途径是让学生亲身经历知识的探索与发现过程.
发现式教学实际上属于学生的一种“再发现”过程，因为我们要让学生所发现的内容早就成为人们已经发现的真理. 但是在初中数学教学中，教师要将这些知识重新埋藏在某些特殊的情境背后，鼓励学生自己动手参与探索，运用他们已有的知识，再结合科学的研究方法和思维方法，将事物的本质和规律提取出来，让学生成为数学知识的创造者和发现者，这就是发现式教学最本质的特点.
初中数学发现式教学在实践中的另一个特点是师生关系的转变. 在传统的教学模式下，教师有着最直接而明显的主导地位，整个课堂的推进由教师一手包办，而在发现式教学过程中，虽然每一个教学细节都融入了教师的教学智慧和艺术，但是这些表现形式都是间接和潜在的. 在组织教学的过程中，教师要积极渗透自己的引导作用，鼓励学生自主学习、主动发现，这里不意味着彻底地放任自流. 教学中，教师一方面要对基础较好、思维敏捷的学生给予深层次的引导，鼓励他们对问题进行引申和拓展，从而形成更加深刻的认识；另一方面，对于基础较为薄弱、反应较慢的学生，教师要给予善意的鼓励和耐心，要启发他们发现问题的切入口，由浅入深地展开分析和研究.
初中数学发现式教学的第三个特点是要利用学生的错误资源，引导学生在纠错过程中发现数学知识，同时提升他们的思维品质. 教师为学生创设问题情境的目的在于启发学生进行思维和探索，学生在问题分析过程中自然会见仁见智，出现认识上的错误或思维上的偏差也是非常普遍的情形. 当学生的思维方向出现偏差时，教师要以引导为主，而不能越俎代庖代替学生解决问题. 教师要明确一种观念，即“错误是正确认识的先导”，如果学生能够克服一种错误认识，那么他们就向着正确认知方向迈出了最为坚实的一步. 此外，教师要积极肯定学生创新思维过程中的错误，因为这是学生敢于创新、勇于突破的重要表现，如果其思维方式有推广价值，教师要及时变更教学计划，鼓励创新思路的提出者站出来向其他学生展示自己的观点，同时教师要启发学生发现其中的智慧结晶，这些内容将引导学生以更加新颖而独特的视野来认识问题，从而衍生出更有意义的发现.
初中数学发现式教学的实施策略
结合上述理论分析，我们基本明确所谓发现式教学就是要让学生亲历知识的形成和发现过程，要让学生充分体验问题的分析和解决过程，从而引导学生实现知识的建构和能力的提升. 那么如何有效地将发现式教学与我们原有的初中数学课程进行整合呢？下面，笔者结合初中数学教学实践，谈谈自己的认识.
1. 创设情境，让学生在自主探究中体验“发现”
弗赖登塔尔有这样一种观点，他认为学生学习数学唯一正确的方法就是“再创造”. 这一点与我们的发现式教学相吻合，即教师要让学生自己发现和创造知识. 在实际教学中，由于学生的数学基础和思维水平存在差异，而每一个学生都应该享有“再发现”的权力. 要做到这一点，教师就要积极研究学生的知识基础和思维特点，结合教学内容，选择素材以创设情境，以此来搭建学生进行思维和发现的舞台，在这一过程中，教师要善于启发学生，鼓励学生不断反思. 在学生进行自主探究的过程中，教师应该提供学生自主发现和思考的空间与方法，让学生在“再发现”和“再创造”的过程中实现知识的顺应和同化.
例如，在“同类项”的概念教学过程中，笔者就通过情境创设为学生提供了典型的单项式例子，让学生在自主分类和对比中发现规律，从而形成概念.
问题情境：旅馆来了一群猴子，共有六只，每只猴子身上都贴有写着单项式的标签，单项式分别为3x2，-4a2b，-3a2b，-3xy，2x2，6xy. 你能根据这些单项式的特点，将这些猴子分到不同的房间吗？（不限定使用几个房间）
童话色彩的问题情境非常符合初中生的兴趣特点，他们积极而主动地投入到知识的发现过程，通过分析、对比、辨析，最终对上述单项式的属性进行分类，找出在形式上相同的单项式，并归类如下：3x2和2x2；-4a2b和-3a2b，-3xy和6xy. 没有依赖教师的讲授和提醒，学生自发地发现了“同类”的单项式，但是笔者并没有立刻提问怎样的项是同类项，也没有要求学生对同类别单项式的字母特点进行比较和说明，更没有直接给出同类项的概念，或提供一系列单项式让学生通过辨析来强化认识. 取而代之的是，笔者为学生设计了一些问题，以此启发学生进行自主发现，问题如下：你能和大家分享一下你刚才分类的理由吗？学生回答：对比一下单项式中的字母部分是否一样就可以了. 教师追问：什么叫“字母部分一样”？学生回答：字母相同，而且字母的指数也相同. 在问题提出之后，笔者为学生提供了足够的时间进行研究和分析，而第二个问题则是在学生提供答案基础上衍生的追问. 通过问题的引导，学生的思维和发现有了更加明确的针对性和方向性，从而避免了学生探索过程中的盲目性. 此外，教师在问题设计中没有任何知识性的点拨和暗示，所有的内容都是学生总结出来的. 在交流答案的过程中，学生不一定能一步到位地给出答案，教师可以让更多的学生站起来交流自己的认识和想法，这样，不同的学生展示出认识问题不同的角度，能有效拓宽分析问题的视角，并对“同类项”的本质产生深层次、多角度的认识. 这样一来，“同类项”的本质结论才能真正成为学生发现和创造的结果，他们的认识自然也就不再肤浅.
2. 开展实验，让学生在实际操作中经历“发现”
皮亚杰指出，智慧的花朵应该绽放在手指尖上. 这一句话点明了实验操作对认知建构的重要性. 在初中数学教学中，教师要让学生通过实验操作探索数学知识. 学生在实践操作中将获取大量的感性材料，这也有助于增强学生的数学学习兴趣，提升他们的数学求知欲. 此外，让学生在实验操作中学习数学能让学生更加接近数学的本质，从而纠正学生的误解，让他们知道数学不仅仅是一些习题练习，它不能等同于写写算算.
例如，在引导学生对勾股定理进行学习时，笔者还引导学生通过实验来进行定理的发现. 笔者提出要求：请大家按照如图1所示的要求，用纸剪出四个全等的直角三角形，你能将它们拼成一个正方形吗？你最多能够找到几种拼法？学生自主思考并操作，在尝试的过程中也和其他同学一起相互讨论，最终按照不同的方式拼成正方形. 在展示环节，笔者让学生走上讲台，将自己的思路通过实物呈现出来，如图2所示. 教师继续提问：请观察图形中的面积特征，你能找到原本三角形的三条边存在怎样特殊的关系吗？问题的提出给学生指明了探索的方向，他们由此出发，很快发现了a，b，c三条边平方的关系，勾股定理的相关结论逐渐浮出水面. 几何知识的探索如果定格在纸面上，无疑会增加发现认知的难度，教师采用实验的方法，让学生在动态的操作中探索静态认知的发现，这将促进学生更加深刻而透彻地理解数学知识. 此外，即便是学生通过图形发现了规律，教师还要鼓励学生通过数形结合思想对规律进行严谨的证明，从而让他们的理解和认知更加深入、严谨.
3. 合作交流，在思维碰撞中促成“发现”
和传统的讲授式教学相比，发现式教学的每一个教学环节都由学生的活动来推进，这必然要求教师给予学生足够的空间和时间，如此，课堂的节奏必然放慢. 而且学生的能力和基础千差万别，对于某些问题，思维活跃的学生一下子就发现了结论，而思维比较缓慢的学生却很难看出眉目，如何解决这一矛盾，在促进学生同步发展的前提下，也能有效提升发现式教学效率呢？笔者认为合作学习是发现式教学最为重要的组织形式. 在初中数学教学中，教师提出探究课题，让学生在自主思考的前提下，以小组为单位展开合作探究，鼓励学生在小组内部积极交流、讨论，甚至争论，从而让他们在思维碰撞的过程中迸发出发现的灵感，最终实现问题解决、认知建构.
例如，在引导学生学习平均数的过程中，考虑到学生在小学阶段已有一定的基础，他们通过自主学习可以完成相应认知. 但是，为了促进学生获得更加深刻的发现，笔者设计了以下问题让学生以合作交流的方式来展开发现式学习：（1）你能通过哪些方法进行算术平均数的计算？（2）你能解释一下“加权平均数”和“算术平均数”的关系吗？（3）如何理解“加权平均数”中的“权”字？（4）请阐述平均数在实际生活中有哪些用途. 这一系列问題可以引导学生进一步探索平均数的本质和价值. 围绕问题，学生展开激烈的讨论，他们在讨论过程中相互启发、相互质疑，教师则将主动权全部交给学生，让他们在讨论中进行自主发现. 果然，在最终的展示环节，随着各组学生的陈述、质疑、辩论和评价，相关问题得到了很好的解决.
发现式教学法是一种符合时代需要的教学方式，是启发式教学的进一步深化和发展. 将发现式教学运用于初中数学课堂，有助于培养学生的求索精神和创新意识. 为了实现相应的教学目标，教师要善于创设情境，要积极引导学生在实验中探索，同时要鼓励学生以合作交流的方式进行学习和认知.
[关键词] 初中数学；发现式教学；实践策略
与接受式教学法相比，发现式教学是一种更加尊重学生主体意识的教学方式，它指教师从学生好奇、好问、好学等心理特点出发，引导学生在教师精心设计和周密组织的学习活动中，通过自主探究、合作交流等一系列活动，像科学家一样发现数学知识、提升数学认知能力，这种方式更符合新课程理念，将其运用于初中数学教学有着重要的实践价值和意义.
初中数学发现式教学的特点和原理
与其他教学方式相比，发现式教学法存在其独到之处. 一般的教学方式侧重于将数学知识呈现给学生，其教学结构往往呈现为：先提供数学概念的定义，再围绕概念讲解定理和公式，然后通过例题示范概念和定理的使用方法，最后通过随堂练习来巩固学生的认识. 发现式教学是对上述教学程序的一种颠覆，它强调学生以发现者的身份出现在课堂，学生一般在教师的指导下，从具体的情境中发现数学问题，建立数学模型，并通过表格、图像等工具来解读情境中的相关信息，进而对问题进行猜想和推理，并在严谨的證明中证实或修正自己的猜想，最终发现数学规律、概括数学命题.
从人类认识的发展过程来看，数学知识体系内的概念、定理以及公式的产生和演变都是基于人们对生产生活实践的观察和感悟，在这一过程中人们通过比较、联想、类比、归纳等理性思维机制，最终实现对数学本质的抽象与概括. 而且在上述过程中，人们所提升的不仅是对数学问题更加透彻的理解和认识，他们的思维能力和探究方法也得到了深层次的发展. 而我们采用发现式教学就是要让学生将课本上的那些“间接的知识”变成学生自己的“直接经验”，其主要途径是让学生亲身经历知识的探索与发现过程.
发现式教学实际上属于学生的一种“再发现”过程，因为我们要让学生所发现的内容早就成为人们已经发现的真理. 但是在初中数学教学中，教师要将这些知识重新埋藏在某些特殊的情境背后，鼓励学生自己动手参与探索，运用他们已有的知识，再结合科学的研究方法和思维方法，将事物的本质和规律提取出来，让学生成为数学知识的创造者和发现者，这就是发现式教学最本质的特点.
初中数学发现式教学在实践中的另一个特点是师生关系的转变. 在传统的教学模式下，教师有着最直接而明显的主导地位，整个课堂的推进由教师一手包办，而在发现式教学过程中，虽然每一个教学细节都融入了教师的教学智慧和艺术，但是这些表现形式都是间接和潜在的. 在组织教学的过程中，教师要积极渗透自己的引导作用，鼓励学生自主学习、主动发现，这里不意味着彻底地放任自流. 教学中，教师一方面要对基础较好、思维敏捷的学生给予深层次的引导，鼓励他们对问题进行引申和拓展，从而形成更加深刻的认识；另一方面，对于基础较为薄弱、反应较慢的学生，教师要给予善意的鼓励和耐心，要启发他们发现问题的切入口，由浅入深地展开分析和研究.
初中数学发现式教学的第三个特点是要利用学生的错误资源，引导学生在纠错过程中发现数学知识，同时提升他们的思维品质. 教师为学生创设问题情境的目的在于启发学生进行思维和探索，学生在问题分析过程中自然会见仁见智，出现认识上的错误或思维上的偏差也是非常普遍的情形. 当学生的思维方向出现偏差时，教师要以引导为主，而不能越俎代庖代替学生解决问题. 教师要明确一种观念，即“错误是正确认识的先导”，如果学生能够克服一种错误认识，那么他们就向着正确认知方向迈出了最为坚实的一步. 此外，教师要积极肯定学生创新思维过程中的错误，因为这是学生敢于创新、勇于突破的重要表现，如果其思维方式有推广价值，教师要及时变更教学计划，鼓励创新思路的提出者站出来向其他学生展示自己的观点，同时教师要启发学生发现其中的智慧结晶，这些内容将引导学生以更加新颖而独特的视野来认识问题，从而衍生出更有意义的发现.
初中数学发现式教学的实施策略
结合上述理论分析，我们基本明确所谓发现式教学就是要让学生亲历知识的形成和发现过程，要让学生充分体验问题的分析和解决过程，从而引导学生实现知识的建构和能力的提升. 那么如何有效地将发现式教学与我们原有的初中数学课程进行整合呢？下面，笔者结合初中数学教学实践，谈谈自己的认识.
1. 创设情境，让学生在自主探究中体验“发现”
弗赖登塔尔有这样一种观点，他认为学生学习数学唯一正确的方法就是“再创造”. 这一点与我们的发现式教学相吻合，即教师要让学生自己发现和创造知识. 在实际教学中，由于学生的数学基础和思维水平存在差异，而每一个学生都应该享有“再发现”的权力. 要做到这一点，教师就要积极研究学生的知识基础和思维特点，结合教学内容，选择素材以创设情境，以此来搭建学生进行思维和发现的舞台，在这一过程中，教师要善于启发学生，鼓励学生不断反思. 在学生进行自主探究的过程中，教师应该提供学生自主发现和思考的空间与方法，让学生在“再发现”和“再创造”的过程中实现知识的顺应和同化.
例如，在“同类项”的概念教学过程中，笔者就通过情境创设为学生提供了典型的单项式例子，让学生在自主分类和对比中发现规律，从而形成概念.
问题情境：旅馆来了一群猴子，共有六只，每只猴子身上都贴有写着单项式的标签，单项式分别为3x2，-4a2b，-3a2b，-3xy，2x2，6xy. 你能根据这些单项式的特点，将这些猴子分到不同的房间吗？（不限定使用几个房间）
童话色彩的问题情境非常符合初中生的兴趣特点，他们积极而主动地投入到知识的发现过程，通过分析、对比、辨析，最终对上述单项式的属性进行分类，找出在形式上相同的单项式，并归类如下：3x2和2x2；-4a2b和-3a2b，-3xy和6xy. 没有依赖教师的讲授和提醒，学生自发地发现了“同类”的单项式，但是笔者并没有立刻提问怎样的项是同类项，也没有要求学生对同类别单项式的字母特点进行比较和说明，更没有直接给出同类项的概念，或提供一系列单项式让学生通过辨析来强化认识. 取而代之的是，笔者为学生设计了一些问题，以此启发学生进行自主发现，问题如下：你能和大家分享一下你刚才分类的理由吗？学生回答：对比一下单项式中的字母部分是否一样就可以了. 教师追问：什么叫“字母部分一样”？学生回答：字母相同，而且字母的指数也相同. 在问题提出之后，笔者为学生提供了足够的时间进行研究和分析，而第二个问题则是在学生提供答案基础上衍生的追问. 通过问题的引导，学生的思维和发现有了更加明确的针对性和方向性，从而避免了学生探索过程中的盲目性. 此外，教师在问题设计中没有任何知识性的点拨和暗示，所有的内容都是学生总结出来的. 在交流答案的过程中，学生不一定能一步到位地给出答案，教师可以让更多的学生站起来交流自己的认识和想法，这样，不同的学生展示出认识问题不同的角度，能有效拓宽分析问题的视角，并对“同类项”的本质产生深层次、多角度的认识. 这样一来，“同类项”的本质结论才能真正成为学生发现和创造的结果，他们的认识自然也就不再肤浅.
2. 开展实验，让学生在实际操作中经历“发现”
皮亚杰指出，智慧的花朵应该绽放在手指尖上. 这一句话点明了实验操作对认知建构的重要性. 在初中数学教学中，教师要让学生通过实验操作探索数学知识. 学生在实践操作中将获取大量的感性材料，这也有助于增强学生的数学学习兴趣，提升他们的数学求知欲. 此外，让学生在实验操作中学习数学能让学生更加接近数学的本质，从而纠正学生的误解，让他们知道数学不仅仅是一些习题练习，它不能等同于写写算算.
例如，在引导学生对勾股定理进行学习时，笔者还引导学生通过实验来进行定理的发现. 笔者提出要求：请大家按照如图1所示的要求，用纸剪出四个全等的直角三角形，你能将它们拼成一个正方形吗？你最多能够找到几种拼法？学生自主思考并操作，在尝试的过程中也和其他同学一起相互讨论，最终按照不同的方式拼成正方形. 在展示环节，笔者让学生走上讲台，将自己的思路通过实物呈现出来，如图2所示. 教师继续提问：请观察图形中的面积特征，你能找到原本三角形的三条边存在怎样特殊的关系吗？问题的提出给学生指明了探索的方向，他们由此出发，很快发现了a，b，c三条边平方的关系，勾股定理的相关结论逐渐浮出水面. 几何知识的探索如果定格在纸面上，无疑会增加发现认知的难度，教师采用实验的方法，让学生在动态的操作中探索静态认知的发现，这将促进学生更加深刻而透彻地理解数学知识. 此外，即便是学生通过图形发现了规律，教师还要鼓励学生通过数形结合思想对规律进行严谨的证明，从而让他们的理解和认知更加深入、严谨.
3. 合作交流，在思维碰撞中促成“发现”
和传统的讲授式教学相比，发现式教学的每一个教学环节都由学生的活动来推进，这必然要求教师给予学生足够的空间和时间，如此，课堂的节奏必然放慢. 而且学生的能力和基础千差万别，对于某些问题，思维活跃的学生一下子就发现了结论，而思维比较缓慢的学生却很难看出眉目，如何解决这一矛盾，在促进学生同步发展的前提下，也能有效提升发现式教学效率呢？笔者认为合作学习是发现式教学最为重要的组织形式. 在初中数学教学中，教师提出探究课题，让学生在自主思考的前提下，以小组为单位展开合作探究，鼓励学生在小组内部积极交流、讨论，甚至争论，从而让他们在思维碰撞的过程中迸发出发现的灵感，最终实现问题解决、认知建构.
例如，在引导学生学习平均数的过程中，考虑到学生在小学阶段已有一定的基础，他们通过自主学习可以完成相应认知. 但是，为了促进学生获得更加深刻的发现，笔者设计了以下问题让学生以合作交流的方式来展开发现式学习：（1）你能通过哪些方法进行算术平均数的计算？（2）你能解释一下“加权平均数”和“算术平均数”的关系吗？（3）如何理解“加权平均数”中的“权”字？（4）请阐述平均数在实际生活中有哪些用途. 这一系列问題可以引导学生进一步探索平均数的本质和价值. 围绕问题，学生展开激烈的讨论，他们在讨论过程中相互启发、相互质疑，教师则将主动权全部交给学生，让他们在讨论中进行自主发现. 果然，在最终的展示环节，随着各组学生的陈述、质疑、辩论和评价，相关问题得到了很好的解决.
发现式教学法是一种符合时代需要的教学方式，是启发式教学的进一步深化和发展. 将发现式教学运用于初中数学课堂，有助于培养学生的求索精神和创新意识. 为了实现相应的教学目标，教师要善于创设情境，要积极引导学生在实验中探索，同时要鼓励学生以合作交流的方式进行学习和认知.