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[摘要]学习数学学科往往需要较多的训练才能使学生充分理解知识点并形成初步的应用能力，因此‘课本和课外参考书提供了丰富的例题和习题以达到此目的如何让学生在数学学习和解题的过程中，既能减轻负担，又能提高学习兴趣和探索能力，从而有效提高数学教学质量是一个值得探讨的问题。文中笔者也作了很重要地阐述。
[关键词]中学数学；巧用对比法；探究
学习数学学科往往需要较多的训练才能使学生充分理解知识点并形成初步的应用能力，因此课本和课外参考书提供了丰富的例题和习题以达到此目的。然而，盲目训练很容易使学生陷入题海战术，大大降低其学习数学的兴趣，造成事倍功半的效果，甚至导致畏惧心理。如何让学生在数学学习和解题的过程中，既能减轻负担，又能提高学习兴趣和探索能力，从而有效提高数学教学质量是一个值得探讨的问题。我在多年的教学实践中进行了一些探索和实验，取得了很好的效果。
我的做法是引导学生在学习每一章后，以小组为单位，将课本知识点、例题和习题为基础，将参考资料上的练习题进行对比，形成知识串或习题串，然后引导学生归纳隐藏在相似习题背后的本质规律以及联系，然后将各组在班上展示出来。这样在调动了学生学习兴趣的同时，又让学生易于熟记、理解、掌握，也为期末复习、中考复习做好了铺垫，更为重要的是通过引导学生归纳总结，形成对未知数学问题初步探索的能力和掌握正确的思维方法。
下面以北师大版数学八年级上册第四章《四边形性质探索》为例进行阐述。
1 充分利用教材本身存在的知识点进行对比，形成知识串，并重点引导学生探索知识点之间的联系而不是死记硬背知识点本身
比如：
平行四边形的这四个判别既是解题的依据，又常出现在选择题中，这四个判别方法本身在文字上需要对比，在知识上也需要对比。老师在备课时需要引起重视，上课时在语气、重音上要进行强调。另外，还需要添上第5个判别方法：以上5个判别方法形成一个知识串，此时加上《议一议》和《随堂练习》，使学生在学习到这5个判据后，可马上练习从而加深对该知识点的理解，并形成初步的应用能力。此外，老师还应该让学生在该处注明“对比××页××题”，这样使知识点和习题能够有机结合形成“网络”从而方便课后复习。
为进一步提高学生的数学思维能力和探索精神，在熟练使用这5个判别方法的基础上，老师可适当地提出一些更为深入的问题，以加深对这些判定命题的理解。比如说，“两组对边分别平行”与“一组对边并行且相等”是否等价?，如果等价，请给出一个数学证明；如果不等价，就让学生想一个反例，即是否存在这样的一个四边形它的两组对边分别平行但是存在一组对边不相等。然后在黑板上写出“等价”的数学定义，即A→B且B→A。对于深入思考过这几个命题的学生是不难给出如下两组证明的：
首先根据图1推证“两组对边分别平行“→”一组对边并行且相等”
因为AB||CD，所以角3等于角4；因为AC||BD，所以角1等于角2。又因为三角形ACD和三角形ABD共享边AD，则三角形ACD全等三角形ABD。因此，AC＝BD且AB＝CD
然后根据图1推证“一组对边并行且相等”－>“两组对边分别平行”
因为AB||CD，所以角3等于角4。又因为AB＝CD，可判定三角形ACD全等三角形ABD，这样角1等于角2，所以AC||BD。
基于以上推证我们可帮助学生建立如下观点：这5条判定法则本质上是相互等价的。这样，学生不仅不用通过死记硬背的方式来学习这些判定法则，同时还可在感性上明白等价变换可将一个数学形式转换成具有同等意义的另一个形式，从而加深对数学的认识。
在学习了正方形后，特殊的平行四边形已经学完，需要在定义、图形上进行对比，形成知识串。如平行四边形、菱形、矩形、正方形这四种四边形被两条对角线分成的三角形有许多的特征，同时这些特征之间又有许多联系，需要对比，形成知识串便于理解、掌握。
2 以课本上的例题为着力点，把习题和复习题串成习题串。进行对比、掌握，在例题处需注明“对比××页××题”，引导学生探索课本例题和习题的变化规律
梯形的辅助线在本章中既是重点又是难点，而且辅助线的作法较多，需要归纳辅助线的种类、有关辅助线的题型，课本上第120页的例1提供了两种辅助线的作法，这时在例1处注明梯形常见辅助线①②③④⑤⑥……，学生在看见后立即想到有几钟常见的辅助线和题型。习题4，8的第1题、第2题又涉及两种辅助线，在题上勾划辅助线③的具体内容，又在题前注明对比例1，这样把辅助线归纳在一起，形成对比，另外，在参考书上遇到有关梯形辅助线的题型进行同样的对比，形成知识串和习题串，今后一旦看到例1，就看到所有的辅助线和题型，这样既便于熟记、掌握，又便于回忆。
然后，老师还应着重讲解这些辅助线画法之间的相互联系，比如说，辅助线6和辅助线7两种画法的根本目的就是要在图中存在与“梯形上底和下底之和”有明确联系的“线”，如辅助线6中的线MO就是“梯形上底和下底之和”的一半，而辅助线7种的线BF就等于“梯形上底和下底之和”。这样就告诉学生画辅助线的根本目的是在图形上充分“显示”已知条件或者得到不容易直接观察出的等价关系，从而有效避免其进入盲目画辅助线的误区。基于以上认识，学生就不会仅仅局限于课本讲解的几种辅助线画法，还可以去探索一些更加有效辅助线画法，从而使数学的学习更加有趣。
3 以课本上的习题为着力点。将课本上的习题进行引申、拓展、归纳形成知识串。或者将前后的习题进行对比形成习题串。并培养学生深入探索本质原因的能力
学生解完此习题后，只掌握了解题的方法，还应还有以此为着力点，加以引申。除掌握顺次连接四边形的四边中点得到平行四边形外，连接平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的四边中点得到的图形，而且结果本身需要对比。
正方形对角线和边的数量关系在有关正方形的习题和等腰直角三角形、三角函数中运用非常广泛。这既需要通过推导得出结果，又需要熟记结果，便于运用。课本第115页随堂练习和第117页的习题4.7，在解完题后需要对比结果，并通过利用结果的近似值来熟记边和对角线之间的关系。
基于上题的结论，老师应该在课堂上提出如下问题：既然正方形是一种特殊的平行四边形，那么对于一般的平行四边形其对角线和边长之间有怎样的数学联系?并作为课后作业引导学生用多种手段(如：翻阅教辅材料、上网查阅等)来解决。学生在探索这个延伸问题的过程中，可充分发挥其能动意识，提高学习数学的兴趣。最后，老师选择合适的时候在课堂上给出这个问题的答案，从而使学生获得平行四边形边角关系的一个更为深层次的认识。
4、以课本上的例题、习题为着力点，与参考资料、试卷上的关系紧密的习题进行对比，完善知识串。
学生在利用这种方法后，学习效率明显提高，在考试中，成绩不断上升，越学越有劲，而且学生将这种方法由数学拓展运用到物理、化学等其它学科，由初中拓展运用到高中。我所带的初2000级1班有4位学生在中考进入全区前20名，有黄煜可2003年高考考入清华大学数学系。初2005级学生在中考中同样取得优异的成绩。
引导学生利用对比法进行学习，是一个值得研究的课题，我在这方面作了一些探索，主要目的不只着眼于形成知识串，而是发挥它训练学生思维能力、探究发现能力以及学习能力的功能，从而对学生的终身发展有利。
[关键词]中学数学；巧用对比法；探究
学习数学学科往往需要较多的训练才能使学生充分理解知识点并形成初步的应用能力，因此课本和课外参考书提供了丰富的例题和习题以达到此目的。然而，盲目训练很容易使学生陷入题海战术，大大降低其学习数学的兴趣，造成事倍功半的效果，甚至导致畏惧心理。如何让学生在数学学习和解题的过程中，既能减轻负担，又能提高学习兴趣和探索能力，从而有效提高数学教学质量是一个值得探讨的问题。我在多年的教学实践中进行了一些探索和实验，取得了很好的效果。
我的做法是引导学生在学习每一章后，以小组为单位，将课本知识点、例题和习题为基础，将参考资料上的练习题进行对比，形成知识串或习题串，然后引导学生归纳隐藏在相似习题背后的本质规律以及联系，然后将各组在班上展示出来。这样在调动了学生学习兴趣的同时，又让学生易于熟记、理解、掌握，也为期末复习、中考复习做好了铺垫，更为重要的是通过引导学生归纳总结，形成对未知数学问题初步探索的能力和掌握正确的思维方法。
下面以北师大版数学八年级上册第四章《四边形性质探索》为例进行阐述。
1 充分利用教材本身存在的知识点进行对比，形成知识串，并重点引导学生探索知识点之间的联系而不是死记硬背知识点本身
比如：
平行四边形的这四个判别既是解题的依据，又常出现在选择题中，这四个判别方法本身在文字上需要对比，在知识上也需要对比。老师在备课时需要引起重视，上课时在语气、重音上要进行强调。另外，还需要添上第5个判别方法：以上5个判别方法形成一个知识串，此时加上《议一议》和《随堂练习》，使学生在学习到这5个判据后，可马上练习从而加深对该知识点的理解，并形成初步的应用能力。此外，老师还应该让学生在该处注明“对比××页××题”，这样使知识点和习题能够有机结合形成“网络”从而方便课后复习。
为进一步提高学生的数学思维能力和探索精神，在熟练使用这5个判别方法的基础上，老师可适当地提出一些更为深入的问题，以加深对这些判定命题的理解。比如说，“两组对边分别平行”与“一组对边并行且相等”是否等价?，如果等价，请给出一个数学证明；如果不等价，就让学生想一个反例，即是否存在这样的一个四边形它的两组对边分别平行但是存在一组对边不相等。然后在黑板上写出“等价”的数学定义，即A→B且B→A。对于深入思考过这几个命题的学生是不难给出如下两组证明的：
首先根据图1推证“两组对边分别平行“→”一组对边并行且相等”
因为AB||CD，所以角3等于角4；因为AC||BD，所以角1等于角2。又因为三角形ACD和三角形ABD共享边AD，则三角形ACD全等三角形ABD。因此，AC＝BD且AB＝CD
然后根据图1推证“一组对边并行且相等”－>“两组对边分别平行”
因为AB||CD，所以角3等于角4。又因为AB＝CD，可判定三角形ACD全等三角形ABD，这样角1等于角2，所以AC||BD。
基于以上推证我们可帮助学生建立如下观点：这5条判定法则本质上是相互等价的。这样，学生不仅不用通过死记硬背的方式来学习这些判定法则，同时还可在感性上明白等价变换可将一个数学形式转换成具有同等意义的另一个形式，从而加深对数学的认识。
在学习了正方形后，特殊的平行四边形已经学完，需要在定义、图形上进行对比，形成知识串。如平行四边形、菱形、矩形、正方形这四种四边形被两条对角线分成的三角形有许多的特征，同时这些特征之间又有许多联系，需要对比，形成知识串便于理解、掌握。
2 以课本上的例题为着力点，把习题和复习题串成习题串。进行对比、掌握，在例题处需注明“对比××页××题”，引导学生探索课本例题和习题的变化规律
梯形的辅助线在本章中既是重点又是难点，而且辅助线的作法较多，需要归纳辅助线的种类、有关辅助线的题型，课本上第120页的例1提供了两种辅助线的作法，这时在例1处注明梯形常见辅助线①②③④⑤⑥……，学生在看见后立即想到有几钟常见的辅助线和题型。习题4，8的第1题、第2题又涉及两种辅助线，在题上勾划辅助线③的具体内容，又在题前注明对比例1，这样把辅助线归纳在一起，形成对比，另外，在参考书上遇到有关梯形辅助线的题型进行同样的对比，形成知识串和习题串，今后一旦看到例1，就看到所有的辅助线和题型，这样既便于熟记、掌握，又便于回忆。
然后，老师还应着重讲解这些辅助线画法之间的相互联系，比如说，辅助线6和辅助线7两种画法的根本目的就是要在图中存在与“梯形上底和下底之和”有明确联系的“线”，如辅助线6中的线MO就是“梯形上底和下底之和”的一半，而辅助线7种的线BF就等于“梯形上底和下底之和”。这样就告诉学生画辅助线的根本目的是在图形上充分“显示”已知条件或者得到不容易直接观察出的等价关系，从而有效避免其进入盲目画辅助线的误区。基于以上认识，学生就不会仅仅局限于课本讲解的几种辅助线画法，还可以去探索一些更加有效辅助线画法，从而使数学的学习更加有趣。
3 以课本上的习题为着力点。将课本上的习题进行引申、拓展、归纳形成知识串。或者将前后的习题进行对比形成习题串。并培养学生深入探索本质原因的能力
学生解完此习题后，只掌握了解题的方法，还应还有以此为着力点，加以引申。除掌握顺次连接四边形的四边中点得到平行四边形外，连接平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形的四边中点得到的图形，而且结果本身需要对比。
正方形对角线和边的数量关系在有关正方形的习题和等腰直角三角形、三角函数中运用非常广泛。这既需要通过推导得出结果，又需要熟记结果，便于运用。课本第115页随堂练习和第117页的习题4.7，在解完题后需要对比结果，并通过利用结果的近似值来熟记边和对角线之间的关系。
基于上题的结论，老师应该在课堂上提出如下问题：既然正方形是一种特殊的平行四边形，那么对于一般的平行四边形其对角线和边长之间有怎样的数学联系?并作为课后作业引导学生用多种手段(如：翻阅教辅材料、上网查阅等)来解决。学生在探索这个延伸问题的过程中，可充分发挥其能动意识，提高学习数学的兴趣。最后，老师选择合适的时候在课堂上给出这个问题的答案，从而使学生获得平行四边形边角关系的一个更为深层次的认识。
4、以课本上的例题、习题为着力点，与参考资料、试卷上的关系紧密的习题进行对比，完善知识串。
学生在利用这种方法后，学习效率明显提高，在考试中，成绩不断上升，越学越有劲，而且学生将这种方法由数学拓展运用到物理、化学等其它学科，由初中拓展运用到高中。我所带的初2000级1班有4位学生在中考进入全区前20名，有黄煜可2003年高考考入清华大学数学系。初2005级学生在中考中同样取得优异的成绩。
引导学生利用对比法进行学习，是一个值得研究的课题，我在这方面作了一些探索，主要目的不只着眼于形成知识串，而是发挥它训练学生思维能力、探究发现能力以及学习能力的功能，从而对学生的终身发展有利。