论文部分内容阅读
金立建 江苏省数学特级教师，1997年获江苏省首届中等学校“红杉树”园丁奖金奖，1999年被评为江苏省首批名教师.曾独力承担江苏教育电视台《高中生学习指导》栏目“高三数学复习指导”主讲任务；还曾参加第一、二批中国教育部“烛光工程”特级教师讲学团.发表论文和出版著作四百余万字，现任南京市学术委员会委员。
(接上期)
3.沟通“方法”的联系，提高解题的灵活性.
为了提高解题能力，一方面在解题时应注意养成从不同的角度去观察、分析、思考问题的习惯，探索多种解题途径.另一方面，应认识到不论哪种方法，它总受一定数学思想或原理的支配，方法仅仅是表象，其实质是一定数学思想(或原理)的具体体现.因而沟通“方法”之间的联系，洞察方法中蕴涵的数学思想(或原理)，不仅可以开拓解题思路，提高解题的灵活性，而且有利于把握问题的本质.
例5 (2002•江苏卷)已知a>0，函数f(x)＝ax-bx2.
(Ⅰ)、(Ⅲ)略
(Ⅱ)当b>1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b.
分析：求参量的范围问题，因涉及到函数、方程、不等式等多方面的知识，具有很强的综合性，因而是高考的热点问题之一.求参量的范围，无论它的背景是代数问题还是几何问题，其实质都是基于对函数性质的深入发掘.
解这一类二次问题，通常是通过考察相应的抛物线的开口方向以及与所给的闭区间的相对位置关系，按情况分类讨论，据题意确定参变量的值或取值范围.
思路1：将y视为x的函数：y＝f(x)＝ax-bx2，问题转化为求函数f(x)在［0，1］上满足|f(x)|≤1的充要条件，这个条件应是b-1≤a≤2b.显然，这里区间是给定的，而抛物线处于运动之中，这就需要依据抛物线与定区间的相对位置关系进行分类讨论.
证法1：因为f(0)＝0，b>1，
所以抛物线y＝ax-bx2开口向下，且经过原点.
设它的顶点坐标为(x0，y0)，则x0＝a2b>0，y0＝a24b>0，即它的顶点在第一象限.故满足题意的情况只能如图1或图2所示.
(2)在图2的情况下，|f(x)|≤1a2b≥1,
f(1)≤1a≥2b,a≤b+1.此不等式在b>1时无解.
由(1)、(2)知，a的取值范围是［b-1，2b］.
分析2：从解法1可以看出，直接通过画出二次函数的图象，讨论图象与定区间的相关位置，由于常有多种情况，且充要条件的寻找也较困难，因而解题过程一般都较为冗长，运算也较繁琐.
不妨设想：若将所给的二次函数分离为一个二次和一个一次函数，利用它们的图象在直角坐标平面上的相对位置关系去处理，能否达到简化讨论和运算的目的呢？
证法2：将不等式等价变形：|f(x)|≤1ax-bx2≥-1,ax-bx2≤1bx2≤ax+1,①在①、②两式中，我们将不等式的左、右两边分别分离出一个函数，其图象一个是抛物线，一个是直线，因而可以考虑通过这两个函数在同一直角坐标系中的图象的位置关系求解.
对①式，令y1＝bx2，y2＝ax＋1.因为b>1，故前一个函数的图象是顶点在原点，开口向上的抛物线，后一个函数的图象是经过点(0，1)且斜率为a>0的直线(如图3).
于是，不等式①成立的充要条件是在［0，1］上，直线不在抛物线的下方.
因为y1(1)＝b，由图可知，直线方程应满足y2(1)≥b，即a≥b-1.
对②式，令y3＝ax-1，这是经过点(0，-1)且斜率为a>0的直线(如图4)，记作l.
显然，不等式②成立的充要条件是：当直线l与抛物线的切点的横坐标大于1时，只须y3(1)≤b；当l与抛物线的切点在区间［0，1］内时，只须a不大于该切线的斜率.
令方程bx2-ax＋1＝0的判别式Δ＝a2-4b＝0，得a＝2b.此时，切点的横坐标x＝1b∈［0，1］.所以a≤2b.所以a的取值范围是［b-1，2b］.
评析：两种解法同属数形结合的范畴，但显然解法2优于解法1.因为在解法2中，当将函数的图象分离为一条抛物线y1＝bx2和一条y2＝ax＋1后，抛物线是定的，直线是动的，由于直线显见的单调性，因而让直线处于运动状态远比让抛物线处于运动状态要易于观察和易于解决，但两种方法的指导思想都是以“形”解“数”，祗是观察的角度不同而已.例6 如图5，已知AD//EF//BC，AE∶EB＝m∶n，若AD＝a，BC＝b，求EF的长.
2共线的充要条件.
从以上三例可以看出，三个问题存在着内在的联系，它们的结论的本质是一样的，不同的仅仅是表述形式.尽管每个问题的证题方法不尽相同，可以是“几何”的，或是“平面向量的线性运算”，或是“平面向量的坐标运算”，但当我们将“斜”线段置于坐标系，并将斜线段投影至坐标轴后，不仅可以使我们深刻认识定比分点公式和向量共线定理的本质，而且“平行截割定理”就成了这些方法的纽带和内核，化“斜”为“直”也就成了解这类问题的通法.例9 (2004•江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F(-m,0)(m是大于零的常数).
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|＝2|QF|，求直线l的斜率.
评析：如果你将上述解法与当年的高考试卷的标准答案相比较的话，你就会发现“化斜为直”的优越性.不可忘记的是这一方法的得来是沟通了“知识”和“方法”联系的结果.
在结束这一讲的时候，我们要再次强调：高三的数学复习，首先应理清知识脉络，抓住主干知识，并在此基础上通过分析、整理、归纳，在头脑中构建起知识网络；其次要沟通网络之间的联系，以深化对知识的理解，并在此基础上将知识内化为自己的能力，真正提高自己的数学素养和综合运用知识的能力，只有这样，你才能在高考中立于不败之地.
(接上期)
3.沟通“方法”的联系，提高解题的灵活性.
为了提高解题能力，一方面在解题时应注意养成从不同的角度去观察、分析、思考问题的习惯，探索多种解题途径.另一方面，应认识到不论哪种方法，它总受一定数学思想或原理的支配，方法仅仅是表象，其实质是一定数学思想(或原理)的具体体现.因而沟通“方法”之间的联系，洞察方法中蕴涵的数学思想(或原理)，不仅可以开拓解题思路，提高解题的灵活性，而且有利于把握问题的本质.
例5 (2002•江苏卷)已知a>0，函数f(x)＝ax-bx2.
(Ⅰ)、(Ⅲ)略
(Ⅱ)当b>1时，证明：对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b.
分析：求参量的范围问题，因涉及到函数、方程、不等式等多方面的知识，具有很强的综合性，因而是高考的热点问题之一.求参量的范围，无论它的背景是代数问题还是几何问题，其实质都是基于对函数性质的深入发掘.
解这一类二次问题，通常是通过考察相应的抛物线的开口方向以及与所给的闭区间的相对位置关系，按情况分类讨论，据题意确定参变量的值或取值范围.
思路1：将y视为x的函数：y＝f(x)＝ax-bx2，问题转化为求函数f(x)在［0，1］上满足|f(x)|≤1的充要条件，这个条件应是b-1≤a≤2b.显然，这里区间是给定的，而抛物线处于运动之中，这就需要依据抛物线与定区间的相对位置关系进行分类讨论.
证法1：因为f(0)＝0，b>1，
所以抛物线y＝ax-bx2开口向下，且经过原点.
设它的顶点坐标为(x0，y0)，则x0＝a2b>0，y0＝a24b>0，即它的顶点在第一象限.故满足题意的情况只能如图1或图2所示.
(2)在图2的情况下，|f(x)|≤1a2b≥1,
f(1)≤1a≥2b,a≤b+1.此不等式在b>1时无解.
由(1)、(2)知，a的取值范围是［b-1，2b］.
分析2：从解法1可以看出，直接通过画出二次函数的图象，讨论图象与定区间的相关位置，由于常有多种情况，且充要条件的寻找也较困难，因而解题过程一般都较为冗长，运算也较繁琐.
不妨设想：若将所给的二次函数分离为一个二次和一个一次函数，利用它们的图象在直角坐标平面上的相对位置关系去处理，能否达到简化讨论和运算的目的呢？
证法2：将不等式等价变形：|f(x)|≤1ax-bx2≥-1,ax-bx2≤1bx2≤ax+1,①在①、②两式中，我们将不等式的左、右两边分别分离出一个函数，其图象一个是抛物线，一个是直线，因而可以考虑通过这两个函数在同一直角坐标系中的图象的位置关系求解.
对①式，令y1＝bx2，y2＝ax＋1.因为b>1，故前一个函数的图象是顶点在原点，开口向上的抛物线，后一个函数的图象是经过点(0，1)且斜率为a>0的直线(如图3).
于是，不等式①成立的充要条件是在［0，1］上，直线不在抛物线的下方.
因为y1(1)＝b，由图可知，直线方程应满足y2(1)≥b，即a≥b-1.
对②式，令y3＝ax-1，这是经过点(0，-1)且斜率为a>0的直线(如图4)，记作l.
显然，不等式②成立的充要条件是：当直线l与抛物线的切点的横坐标大于1时，只须y3(1)≤b；当l与抛物线的切点在区间［0，1］内时，只须a不大于该切线的斜率.
令方程bx2-ax＋1＝0的判别式Δ＝a2-4b＝0，得a＝2b.此时，切点的横坐标x＝1b∈［0，1］.所以a≤2b.所以a的取值范围是［b-1，2b］.
评析：两种解法同属数形结合的范畴，但显然解法2优于解法1.因为在解法2中，当将函数的图象分离为一条抛物线y1＝bx2和一条y2＝ax＋1后，抛物线是定的，直线是动的，由于直线显见的单调性，因而让直线处于运动状态远比让抛物线处于运动状态要易于观察和易于解决，但两种方法的指导思想都是以“形”解“数”，祗是观察的角度不同而已.例6 如图5，已知AD//EF//BC，AE∶EB＝m∶n，若AD＝a，BC＝b，求EF的长.
2共线的充要条件.
从以上三例可以看出，三个问题存在着内在的联系，它们的结论的本质是一样的，不同的仅仅是表述形式.尽管每个问题的证题方法不尽相同，可以是“几何”的，或是“平面向量的线性运算”，或是“平面向量的坐标运算”，但当我们将“斜”线段置于坐标系，并将斜线段投影至坐标轴后，不仅可以使我们深刻认识定比分点公式和向量共线定理的本质，而且“平行截割定理”就成了这些方法的纽带和内核，化“斜”为“直”也就成了解这类问题的通法.例9 (2004•江苏卷)已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F(-m,0)(m是大于零的常数).
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设Q是椭圆上的一点,且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|＝2|QF|，求直线l的斜率.
评析：如果你将上述解法与当年的高考试卷的标准答案相比较的话，你就会发现“化斜为直”的优越性.不可忘记的是这一方法的得来是沟通了“知识”和“方法”联系的结果.
在结束这一讲的时候，我们要再次强调：高三的数学复习，首先应理清知识脉络，抓住主干知识，并在此基础上通过分析、整理、归纳，在头脑中构建起知识网络；其次要沟通网络之间的联系，以深化对知识的理解，并在此基础上将知识内化为自己的能力，真正提高自己的数学素养和综合运用知识的能力，只有这样，你才能在高考中立于不败之地.