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在人教版（A版）教材数学选修4-5第一节，我们开始向学生介绍了算术平均数与几何平均数，以基本不等式（也叫均值不等式）为重点，以基本不等式的灵活运用为难点。它可以用于比较大小，求最值，求取值范围，不等式的证明，解决实际应用题等，这是整个高中数学不等式教学的核心，如何让学生理解并掌握基本不等式是课堂教学中要解决的主要问题。下面仅就如何用基本不等式来求最值作简单探讨，不当之处，恳请同行指正。
1、知识分析
基本不等式：如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）。证明可构造完全平方式得到，条件容易记，故在对定理内容和条件上的记忆不会有太大的困难，但往往对同一类式子进行变形和引申时学生就会产生混淆，定理中“一正二定三相等”的条件更是学生容易犯错的地方，甚至没有思路。
2、课堂探究
下面就教材中第7页例3的一般结论谈谈“变式”在教学中的应用，并以此来寻求基本不等式的教学思路，激发学生学习兴趣，提高课堂效率。
例1内容：已知x、y都是正数，
（1）如果积xy是定值P，那么当时，和x y有最小值；
（2）如果和x y是定值S，那么当时，积xy有最大值.
命题的证明不难，只要对x y正向用一次基本不等式即可得到（1），对xy用一次反向的基本不等式即可得到（2）. 结论（1）、（2）可以起到放缩的作用，应用非常广泛.
首先我给出题目：求的最小值. 很多学生马上反应到这是上学期讲过的打勾函数，所以有部分学生通过画图来最最小值，这时勾底横坐标为1，对应最小值为2. 但当我把题目变形为时，很多人就分不清勾底横坐标到底是还是，所以我就引导学生思索，如果把x看成例题1（1）中的x，看成例题1（1）中的y，则xy乘积就是定值，根据该结论，和就有最小值，事实上我们有：x>0时，，当且仅当时等号成立，而这时对应的x就是图象勾底的横坐标，这时学生对打勾函数勾底的横坐标的求法就有了一定的理解.
这时我又把题目变为：求的最值. 很多学生马上动笔得到. 很显然这是直接应用基本不等式得到的结果，这时我又举一个例子，取a=b=-1得，此时会不会成立呢？学生反应当然不会成立，因为x>0时，y<0. 为什么会出现这种情况呢，学生马上进入思考，最后发现运用基本不等式时还要注意正数这个条件的重要性. 认识到这一点之后，就可以很快纠正刚才的错误，得到正确的解答：
解：
当时，，当且仅当即（x>0，负根舍）时取等号，对应此时的x便是函数图象勾底的横坐标；
当时，，当且仅当即（x>0，负根舍）时取等号.
此时，学生兴趣浓厚，积极性得到调动，我又抛出：
①求的最大值；
②求的值域；
③求的最小值.
以上3小题都是基本不等式的典型题目，其中
①可化为，然后运用基本不等式求解；②可先化为，然后对分母运用基本不等式，结合反比例函数图像即可求解；这两步仅是的简单推广，学生很容易就得出结论. 而对第③题，很多学生误解如下：
. 而显然等号成立当且仅当即，但，x无解.故不能使用定理.
此时就我又引导学生回忆求函数最值的方法，马上向学生提出一个问题：如何求的最大值最小值. 很多学生就会想到画图寻找最高点与最低点，事实上画图本质正是利用函数的单调性来求解最值，所以就可引导学生考虑打勾函数的单调性. 若大部分学生忘记则可复习一下单调区间的求法（这仅涉及到勾底和勾顶横坐标的求法，刚才已经讲过，只需令可得到对应两个x的分界点；或者利用导数工具求解也可以）.
由此可得③的正确解法如下：
解：设，其中，则. 而在(0,2]内递减，又定义在(0,1]上，故在t=1时取得最小值，，此时.
至此，题目好像是解完了，学生也稍微放松。此时我又提出，这解法总感觉不太令人满意，一是单调区间的求法很多学生掌握不到位，二是解法的表达逻辑性要求较高，基础薄弱的学生不易立刻掌握. 是否有其他更好的解法呢？刚才讨论过不能运用基本不等式，但这又是学生看到题目最容易得到的反应，错误解法原因出在何处呢？我们是否可以改变一下式子，让它可以用上基本不等式，又可以求出题目所要的最值呢？等号！只要等号条件能取到那就好办了. 其实只要将中分子4换成小于等于1的正实数就可以保证取到等号，于是试将题目变形为
那么等号是否成立呢？第一个等号成立的条件是，第二个等号成立条件也刚好是，最后等号刚好成立，妙极！整个题目通过这种转变很快就得到结果. 学生惊叹不已！
到此为止，学生对这个均值不等式兴趣更浓，课堂气氛达到高潮。借此机会，我又提出一个问题：
对于，故，但由二次函数的图象很容易知道，问题出在哪呢？学生便马上反应出这是前后两个等号不能同时取到的缘故！从基本不等式的角度来看，是因为乘积非定值所致！
到此为止，可以总结一下在正向使用基本不等式求函数最值时的注意事项：一正二定三相等！即“正数，乘积为定值和等号必须成立”三个条件，缺一不可！学生印象深刻。此时，课堂已经接进尾声，但学生仍意犹未尽，我最后又抛出问题“和定值，积有最大值”注意点又会是什么呢？与“积定值，和有最大值”类似，并布置课外作业留给给他们思考（有时间可在课堂上当场完成）：
（1）已知，求的最大值；
（2）已知x 2y=1，则的最小值为________.
（3）①已知，求的最大值；
②已知，求的最大值；
（4）①已知，且，求函数的最小值；
②已知，且，求x y的最小值.
至此，均值不等式的基本应用和其处理技巧就在变的过程中体现得淋漓尽致，基础较薄弱的学生也能够欣然接受。
3、教学反思
数学课程标准明确指出：“高中数学课程应用力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识.”数学探究是学生学习的心理回归，它有利于学生深入理解数学知识，把握数学思想方法，提高数学探究能力。
古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”数学教学也一样，我们不但要教会学生知识，更要教会学生如何去思考。由刚才的案例，我们发现通过“变”，通过对比，可以让学生看到数学无穷的魅力。变，充满着神奇；变，孕育着创造！变的魅力吸引着好奇心、好胜心强的中学生，他能不断促进学生去思考，去探索，逐步引导他们爱好数学、学好数学，从而发展他们的智力！这是否能叫体验、探索式的教学方式呢？
参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书．数学选修4-5（A版）[M]．人民教育出版社
[2]任勇．数学学习指导与数学教学艺术[M]．人民教育出版社
[3]周建华．数学探究：数学思想是灵魂[M]．教育研究与评论，2010.11.75~81
1、知识分析
基本不等式：如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”）。证明可构造完全平方式得到，条件容易记，故在对定理内容和条件上的记忆不会有太大的困难，但往往对同一类式子进行变形和引申时学生就会产生混淆，定理中“一正二定三相等”的条件更是学生容易犯错的地方，甚至没有思路。
2、课堂探究
下面就教材中第7页例3的一般结论谈谈“变式”在教学中的应用，并以此来寻求基本不等式的教学思路，激发学生学习兴趣，提高课堂效率。
例1内容：已知x、y都是正数，
（1）如果积xy是定值P，那么当时，和x y有最小值；
（2）如果和x y是定值S，那么当时，积xy有最大值.
命题的证明不难，只要对x y正向用一次基本不等式即可得到（1），对xy用一次反向的基本不等式即可得到（2）. 结论（1）、（2）可以起到放缩的作用，应用非常广泛.
首先我给出题目：求的最小值. 很多学生马上反应到这是上学期讲过的打勾函数，所以有部分学生通过画图来最最小值，这时勾底横坐标为1，对应最小值为2. 但当我把题目变形为时，很多人就分不清勾底横坐标到底是还是，所以我就引导学生思索，如果把x看成例题1（1）中的x，看成例题1（1）中的y，则xy乘积就是定值，根据该结论，和就有最小值，事实上我们有：x>0时，，当且仅当时等号成立，而这时对应的x就是图象勾底的横坐标，这时学生对打勾函数勾底的横坐标的求法就有了一定的理解.
这时我又把题目变为：求的最值. 很多学生马上动笔得到. 很显然这是直接应用基本不等式得到的结果，这时我又举一个例子，取a=b=-1得，此时会不会成立呢？学生反应当然不会成立，因为x>0时，y<0. 为什么会出现这种情况呢，学生马上进入思考，最后发现运用基本不等式时还要注意正数这个条件的重要性. 认识到这一点之后，就可以很快纠正刚才的错误，得到正确的解答：
解：
当时，，当且仅当即（x>0，负根舍）时取等号，对应此时的x便是函数图象勾底的横坐标；
当时，，当且仅当即（x>0，负根舍）时取等号.
此时，学生兴趣浓厚，积极性得到调动，我又抛出：
①求的最大值；
②求的值域；
③求的最小值.
以上3小题都是基本不等式的典型题目，其中
①可化为，然后运用基本不等式求解；②可先化为，然后对分母运用基本不等式，结合反比例函数图像即可求解；这两步仅是的简单推广，学生很容易就得出结论. 而对第③题，很多学生误解如下：
. 而显然等号成立当且仅当即，但，x无解.故不能使用定理.
此时就我又引导学生回忆求函数最值的方法，马上向学生提出一个问题：如何求的最大值最小值. 很多学生就会想到画图寻找最高点与最低点，事实上画图本质正是利用函数的单调性来求解最值，所以就可引导学生考虑打勾函数的单调性. 若大部分学生忘记则可复习一下单调区间的求法（这仅涉及到勾底和勾顶横坐标的求法，刚才已经讲过，只需令可得到对应两个x的分界点；或者利用导数工具求解也可以）.
由此可得③的正确解法如下：
解：设，其中，则. 而在(0,2]内递减，又定义在(0,1]上，故在t=1时取得最小值，，此时.
至此，题目好像是解完了，学生也稍微放松。此时我又提出，这解法总感觉不太令人满意，一是单调区间的求法很多学生掌握不到位，二是解法的表达逻辑性要求较高，基础薄弱的学生不易立刻掌握. 是否有其他更好的解法呢？刚才讨论过不能运用基本不等式，但这又是学生看到题目最容易得到的反应，错误解法原因出在何处呢？我们是否可以改变一下式子，让它可以用上基本不等式，又可以求出题目所要的最值呢？等号！只要等号条件能取到那就好办了. 其实只要将中分子4换成小于等于1的正实数就可以保证取到等号，于是试将题目变形为
那么等号是否成立呢？第一个等号成立的条件是，第二个等号成立条件也刚好是，最后等号刚好成立，妙极！整个题目通过这种转变很快就得到结果. 学生惊叹不已！
到此为止，学生对这个均值不等式兴趣更浓，课堂气氛达到高潮。借此机会，我又提出一个问题：
对于，故，但由二次函数的图象很容易知道，问题出在哪呢？学生便马上反应出这是前后两个等号不能同时取到的缘故！从基本不等式的角度来看，是因为乘积非定值所致！
到此为止，可以总结一下在正向使用基本不等式求函数最值时的注意事项：一正二定三相等！即“正数，乘积为定值和等号必须成立”三个条件，缺一不可！学生印象深刻。此时，课堂已经接进尾声，但学生仍意犹未尽，我最后又抛出问题“和定值，积有最大值”注意点又会是什么呢？与“积定值，和有最大值”类似，并布置课外作业留给给他们思考（有时间可在课堂上当场完成）：
（1）已知，求的最大值；
（2）已知x 2y=1，则的最小值为________.
（3）①已知，求的最大值；
②已知，求的最大值；
（4）①已知，且，求函数的最小值；
②已知，且，求x y的最小值.
至此，均值不等式的基本应用和其处理技巧就在变的过程中体现得淋漓尽致，基础较薄弱的学生也能够欣然接受。
3、教学反思
数学课程标准明确指出：“高中数学课程应用力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的过程，发展他们的创新意识.”数学探究是学生学习的心理回归，它有利于学生深入理解数学知识，把握数学思想方法，提高数学探究能力。
古人云：“授人以鱼，不如授人以渔。”数学教学也一样，我们不但要教会学生知识，更要教会学生如何去思考。由刚才的案例，我们发现通过“变”，通过对比，可以让学生看到数学无穷的魅力。变，充满着神奇；变，孕育着创造！变的魅力吸引着好奇心、好胜心强的中学生，他能不断促进学生去思考，去探索，逐步引导他们爱好数学、学好数学，从而发展他们的智力！这是否能叫体验、探索式的教学方式呢？
参考文献：
[1]普通高中课程标准实验教科书．数学选修4-5（A版）[M]．人民教育出版社
[2]任勇．数学学习指导与数学教学艺术[M]．人民教育出版社
[3]周建华．数学探究：数学思想是灵魂[M]．教育研究与评论，2010.11.75~81